迎战高考高三物理寒假专题复习导学案教师
迎战 2014 年高考高三物理专题复习导学案
第一部分 力学
一．选择题
专题 1：共点力平衡
【考纲要求】
内 容 要求 说 明
7、力的合成和分解 力的平行四边形定则（实
验、探究）
Ⅱ 力的合成和分解的计算，只限于
用作图法或直角三角形知识解
决
8、重力 形变和弹力 胡克定律 Ⅰ 弹簧组劲度系数问题的讨论不
作要求
9、静摩擦 滑动摩擦 摩擦力 动摩擦因数 Ⅰ 不引入静摩擦因数
10、共点力作用下物体的平衡 Ⅰ 解决复杂连接体的平衡问题不
作要求
31、库仑定律 Ⅱ
33、电场强度 点电荷的场强 Ⅱ 电场的叠加只限于两个电场
强度叠加的情形
50、安培力 安培力的方向 Ⅰ
51、匀强磁场中的安培力 Ⅱ 计算限于直导线跟B平行或垂
直的两种情况，通电线圈磁力
矩的计算不作要求
52、洛伦兹力 洛伦兹力的方向 Ⅰ
（一）力的合成与分解
例题 1．某欧式建筑物屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶
上向上缓慢爬行（如图），他在向上爬过程中（ AD ）
A．屋顶对他的支持力变大 B．屋顶对他的支持力变小
C．屋顶对他的摩擦力变大 D．屋顶对他的摩擦力变小
例题 2.如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料
滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且
撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料
滚的推力为 F1，涂料滚对墙壁的压力为 F2，以下说法正确的是 （D）
（A）F1 增大 ， F2 减小 （B）F1 减小， F2 增大
（C）F1、、F2 均增大 （D）F1、、F2 均减小
例题 3.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质
量为 m 的小滑块，在水平力 F 的作用下静止 P 点。设滑块所受支持力
O
θ
A
为 FN。OF 与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是 （ A ）
A．
tan
mgF
B．F＝mgtan C．
tanN
mgF
D．FN=mgtan
例题 4.两光滑平板 MO、NO 构成一具有固定的夹角θ0=75°的 V 形槽,一球置于槽内,用θ表
示NO板与水平面之间的夹角,如图所示.若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小,
则下列θ值中哪个是正确的 （ B ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
例题 5.如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光
滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的 A、B 两点，衣服处于静止状态．如
果保持绳子 A 端位置不变，将 B 端分别移动到不同的位置。下列判断正确的是 （AC ）
A．B 端移到 B1 位置时，绳子张力不变
B．B 端移到 B2 位置时，绳子张力变小
C．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大
D．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
例题 6.如图所示，两相同轻质硬杆 OO1、OO2 可绕其两端垂直纸面的水平轴 O、O1、O2 转
动，在 O 点悬挂一重物 M，将两相同木块 m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff
表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN 表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍
许增大后，系统仍静止且 O1、O2 始终等高，则( BD)．
A．Ff 变小 B．Ff 不变 C．FN 变小 D．FN 变大
例题 7．如题 1 图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ。若
此人所受重力为 G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为[ A ]
A．G B．Gsinθ C．Gcosθ D．Gtanθ
（二）连接体的平衡问题
例题 1.有一个直角支架 AOB，AO 是水平放置，表面粗糙．OB 竖直向下，
表面光滑．OA 上套有小环 P，OB 套有小环 Q，两环质量均为 m，两环间由
一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图 2-5-1
所示．现将 P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡
状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对 P 的支持力 FN 和细绳上的拉力 F
的变化情况是：（ B ）
A．FN 不变，F 变大 B．FN 不变，F 变小
图 2-5-1
C．FN 变大，F 变大 D．FN 变大，F 变小
例题 2.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑。
一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是 m1，m2. 当它们静止时，m1、m2 与球心的
连线跟水平面分别成 60°，30°角，则碗对两小球
的弹力大小之比是 （ B）
A．1：2 B． 1:3
C．1： 3 D． 3 ：2
例题 3.如图所示，当倾角为 45°时物体 m 处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体 m 仍
然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（BCD）
A．绳子受的拉力增大
B．物林 m 对斜面的正压力减小
C．物体 m 受到的静摩擦力可能增大
D．物体 m 受到的静摩擦力可能减小
例题 4.如图所示，用完全相同的轻弹簧 A、B、C 将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于
静止状态，弹簧 A 与竖直方向的夹角为 30o，弹簧 C 水平，则弹簧 A、C 的伸长量之比为[ D]
A． 4:3 B. 3:4 C. 1:2 D. 2:1
（三）动态平衡专题
例题 1.如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心 O 的正上方固定
一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的 A 点，另一
端绕过定滑轮，如图所示.今缓慢拉绳使小球从 A 点滑向半球顶点（未
到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小 N 及细绳的拉力 T 大小
的变化情况是 （C ）
A.N 变大，T 变大 B.N 变小，T 变大
C.N 不变，T 变小 D.N 变大，T 变小
例题 2.如图所示，竖直绝缘墙壁上固定一个带电质点 A，A 点正上方的 P 点用绝缘丝线悬挂
另一质点 B，A、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角.由于漏电 A、B
两质点的带电量缓慢减小，在电荷漏完之前，关于悬线对悬点 P 的拉力 F1 大小和 A、B 间
斥力 F2 在大小的变化情况，下列说法正确的是 （ AD）
A．F1 保持不变 B．F1 先变大后变
C．F2 保持不变 D.F2 逐渐减小
【能力训练】
1．如图所示，物体 A 靠在竖直墙面上，在力 F 作用下，A、B 保持静止．物体 A 的受力个
数为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
2 ．如图物体 A 在竖直向上的拉力 F 的作用下能静止在斜面上，则关于 A 受力的个数，
下列说法中正确的是
( A ) A 一定是受两个力作用
( B ) A 一定是受四个力作用
( C ) A 可能受三个力作用
( D ) A 不是受两个力作用就是受四个力作用
3.如图所示，轻绳的一端系在质量为 m 的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水
平横杆 MN 上，现用水平力 F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置.然后改变 F 的大小使
其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力 F、环与
横杆的摩擦力 f 和环对杆的压力 N 的变化情况是( B )
A.F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小
B.F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变
C.F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大
D.F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变
4．如图所示，物体 m 在沿斜面向上的拉力 F1 作用下沿斜
面匀速下滑．此过程中斜面仍静止，斜面质量为 M，则水平地面对斜面体：
[ BD ]
A．无摩擦力 B．有水平向左的摩擦力
C．支持力为(M+m)g D．支持力小于(M+m)g
5．如图所示，竖直杆上有相距为 L 的两点 A、B，现有一个质量为 m 的小球，用两根长为
L 的细线分别系于 A、B 两点，要使 m 处于如图所示的静止状态，且两细线均处于绷直状态，
则外加的恒力方向可能为哪个方向？（ ABC ）
A．F 1 B.F 2
C.F 3 D.F 4
6．两个倾角相同的滑杆上分别套 A、B 两圆环，两环上分别用细线悬吊着两物体 C、D，如
图 14 所示，当它们都沿滑杆向下滑动时，A 的悬线与杆垂直，B 的悬线竖直向下。则
（ AD ）
A．A 环与杆无摩擦力
B．B 环与杆无摩擦力
C．A 环做的是匀速运动 D．B 环做的是匀速运动
7.如图所示,表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮,两物块 P、Q 用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑
A
B
F
A B
C D
图 14
轮的质量和摩擦),P 悬于空中,Q 放在斜面上,均处于静止状态.当用水平向左的恒力推 Q
时,P、Q 静止不动,则( D )
A.Q 受到的摩擦力一定变小
B.Q 受到的摩擦力一定变大
C.轻绳上拉力一定变小
D.轻绳上拉力一定不变
8.如图所示，质量为 M 的斜面体 A 置于粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为 m 的小球 B 置于斜
面上，整个系统处于静止状态。已知斜面倾角θ=30°，轻绳与斜面平行且另一端固定在竖
直墙面上，不计小球与斜面间的摩擦，则[ BD ]
A.斜面对小球的作用力大小为 mg
B.轻绳对小球的作用力大小为 1
2
mg
C.斜面体对水平面的压力大小为（M+m）g
D.斜面体与水平面间的摩擦力大小为 3
4 mg 。
9．如图所示，M、N为装在水平面上的两块间距可以调节的光滑竖直挡板，两板间叠放着A、
B两个光滑圆柱体，现将两板间距调小些，这时与原来相比，下述结论中正确的是：（A ）
A．N板对圆柱体A的弹力变小
B．圆柱体A对圆柱体B的弹力变大
C．水平面对圆柱体B的弹力变大
D．水平面对圆柱体B的弹力变小
10.如图所示,轻质光滑滑轮两侧用轻绳连着两个物体 A 与 B,物体 B 放在水平地面上,A、B
均静止.已知 A 和 B 的质量分别为 mA、mB ,绳与水平方向的夹角为θ(θ < 90°),重力加速度
为 g,则(BD)
A.物体 B 受到的摩擦力可能为零
B.物体 B 受到的摩擦力为 mAgcosθ
C.物体 B 对地面的压力可能为零
D.物体 B 对地面的压力为 mBg - mAgsinθ
11．如图所示，倾角为θ的斜面体 C 置于水平面上，B 置于 斜面上，通过细绳跨过光滑的
定滑轮与 A 相连接，连接 B 的一段细绳与斜面平行，A、B、C 都处于静止状态。则[ D ]
A．物块 B、C 间的摩擦力一定不为零
B．斜面体 C 受到水平面的摩擦力一定为零
C．水平面对 C 的支持力与 B、C 的总重力大小相等
D．不论 B、C 间摩擦力大小、方向如何，水平面对 C 的摩擦力方向一定向左
12.如图所示，A、B 两物体用细绳相连跨过光滑轻小滑轮悬挂起来，B 物体放在水平地面
上，A、B 两物体均静止.现将 B 物体稍向左移一点，A、B 两物体仍静止，则此时与原来相
比【BC】
(A)绳子拉力变大 (B)地面对物体 B 的支持力变大
(C)地面对物体 B 的摩擦力变大 (D)物体 B 受到的合力变大
专题二 牛顿运动定律在直线运动中的应用
【考纲要求】
内 容 要求 说 明
1．质点 参考系和坐标系 Ⅰ 非惯性参考系不作要求
2．路程和位移 时间和时刻 Ⅱ
3．匀速直线运动 速度和速率 Ⅱ
4．变速直线运动 平均速度和瞬时速度 Ⅰ
5．速度随时间的变化规律（实验、探究） Ⅱ
6．匀变速直线运动 自由落体运动 加速度 Ⅱ
11．牛顿运动定律及其应用 Ⅱ 加速度不同的连接体问题不作
要求；在非惯性系内运动的问题
不作要求
12．加速度与物体质量、物体受力的关系（实
验、探究）
Ⅱ
(一)牛顿第一与第三定律
例题 1.关于运动和力的关系，下列说法中正确的是（AD ）
A．物体的速度不断增大，表示物体必受力的作用
B．物体的位移不断增大，表示物体必受力的作用
C．物体朝什么方向运动，则这个方向上必受力的作用
D．物体的速度不变，则其所受合外力必为零
例题 2.如图 所示, 在一辆表面光滑的小车上，有质量分别为 m1、m2 的两小球（m1> m2）随
车一起匀速运动，当车突然停止时，如不考虑其它阻力，设车无限长，则两
个小球 (B)
A．一定相碰
B．一定不相碰
C．不一定相碰
D．难以确定是否相碰
例题 3.如图 所示,P 和 Q 叠放在一起,静止在水平桌面上,下列各对力中属于作
用力和反作用力的是 ( C )
A.P 所受的重力和 Q 对 P 的支持力
B.Q 所受的重力和 Q 对 P 的支持力
C.P 对 Q 的压力和 Q 对 P 的支持力
D.P 所受的重力和 P 对 Q 的压力
例题 4.如图 3-1-4 所示，一个劈形物体 A，各面均光滑，放在固定斜面上，上面成水平，水
平面上放一光滑小球 B，劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前
的运动轨迹是（B）
A．沿斜面向下的直线
B．竖直向下的直线
C．无规则的曲线
D．抛物线
例题 5．伽利略理想实验将可靠的事实和抽象思维结合起来，能更深刻地反映自然规律．如
图所示，有关的实验程序内容如下：
（1）减小第二个斜面的倾角，小球在这斜面上仍然要达到原来的高度
（2）两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面
（3）如果没有摩擦，小球将上升到释放时的高度
图 3-1-6
m2m1
图 3-1-5
图 3-1-4
（4）继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成水平面，小球沿水平面做持续的匀速运动
请按程序先后次序排列，并指出它究竟属于可靠事实，还是通过思维过程的推论，下列选
项正确的是（括号内数字表示上述程序的号码） （ C ）
A．事实（2）→事实（1）→推论（3）→推论（4）
B．事实（2）→推论（1）→推论（3）→推论（4）
C．事实（2）→推论（3）→推论（1）→推论（4）
D．事实（2）→推论（1）→推论（4）→推论（3）
例题 6.如图所示，A 为电磁铁，C 为胶木秤盘，A 和 C（包括支架）的总质量为 M，B 为铁片，
其质量为 m，整个装置用轻绳悬挂于 O 点.当电磁铁通电，铁片 B 被吸引而
上升的过程中，轻绳拉力 F 的大小为 (D )
A.F=mg B.mg＜F＜(M+m)g
C.F=(M+m)g D.F＞(M+m)g
（二）牛顿第二定律的应用
例题 1.放在水平面上的物块，受到方向不变水平推力 F 的作用，F 与时间 t
的关系和物块速度 v 与时间 t 的关系如图所示，取重力加速度 g=10 m/s2。由
此两图线可以求得物块的质量 m 和物块与地面之间的动摩擦因数 分别为【A】
A．m=0.5kg， =0.4
B．m=1.5kg， = 15
2
C．m=0.5kg， =0.2
D．m=1kg， =0.2
例题 2.竖直放置的轻弹簧，上端与质量为 3kg 的物块 B 相连接。另一个质量为 1kg 的物块
A 放在 B 上。先向下压 A，然后释放，A、B 共同向上运动一段路程后将分离。分离后 A 又
上升了 0.2m 到达最高点，此时 B 的速度方向向下，且弹簧恰好为原长。则从 A、B 分离到
A 上升到最高点过程中，弹簧弹力对 B 做功的大小及弹簧回到原长时 B 的速度大小。（取
g=10m/s2）【 B】
A．12J，2m/s B．0，2m/s
C．0，0 D．4J，2m/s
例题 3. 如图所示，如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高
度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这
一全过程中，下列说法中正确的是【CD】
A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小
D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大
例题 4.如图所示，在光滑水平面上有甲、乙两木块，质量分别为 m1 和 m2，中间用一原长为
L、劲度系数为 k 的轻质弹簧连接起来，现用一水平力 F 向左推木块乙，当两木块一起匀加
速运动时，两木块之间的距离是 （B）
O 2 4 6 t/s
F/N
1
2
3
O 2 4 6 t/s
v/（m·s–1）
2
4
A
B
图 3-1-9
A． kmm
FmL )( 21
2
B． kmm
FmL )( 21
1
C． km
FmL
2
1 D．
km
FmL
1
2
例题 5．如右图所示，质量为 m 的小球用水平弹簧系住，并用倾角为 30 的光滑木板 AB 托
住，小球恰好处于静止状态.当木板 AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 （C）
A．0
B．大小为 g ，方向竖直向下
C．大小为 g3
32 ，方向垂直木板向下
D．大小为 g3
3 ，方向水平向右
例题 6.如图所示，将两相同的木块 a、b 置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹
簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。开始时 a、b 均静止。弹簧处于伸长状态，两细
绳均有拉力，a 所受摩擦力 faF
≠0，b 所受摩擦力 fbF =0，现将右侧细绳剪断，
则剪断瞬间（AD）
A
faF
大小不变 B
faF
方向改变 C fbF 仍然为零 D fbF 方向向右
例题 7．如图所示，物块 A、B 叠放在水平桌面上，装砂的小桶 C 通过细钱牵引 A、B 一起
在水平桌面上向右加速运动，设 A、B 间的摩擦力为 1f ，B 与桌面间的摩擦力为 2f ：．若增
大 C 桶内砂的质量，而 A、B 仍一起向右运动，则摩擦力 1f 和 2f 的变化情况是（ B ）
A． 1f 不变， 2f 变大 B． 1f 变大， 2f 不变
C． 1f 和 2f 都变大 D． 1f 和 2f 都不变
例题 8．如图 所示，质量为 M 的盒子，放在水平面上，盒的上面挂一轻弹簧，弹簧
下端挂有质量为 m 的小球 P，P 与盒底面用细线牵连，细线拉力为 F，今将细线剪断，
则细线剪断瞬间( B )
A. 地面支持力减少了 F B. 地面支持力增加了 F
C. P 的加速度为 2F/m D. P 处于失重状态
3．如图所示，质量为 M 的斜劈形物体放在水平地面上，质量为 m 的粗糙物块以某一初速
度沿劈的粗糙斜面向上滑，至速度为零后又加速返回，而物体 M 始终保持静止，则在物块
m 上、下滑动的整个过程中 （BCD ）
A．地面对物体 M 的摩擦力先向左后向右
B．地面对物体 M 的摩擦力方向没有改变
C．地面对物体 M 的支持力总小于 gmM )(
D．地面对物体 M 的摩擦力大小不同
例题 9．如图 a 所示，水平面上质量均为 5kg 的两木块 A、B 用一轻弹簧相连接，整个系统
处于平衡状态。现用一竖直向上的力 F 拉动木块 A，使木块 A 向上做加速度为 5m/s2 的匀加
速直线运动。研究从力 F 刚作用在木块 A 的瞬间到 B 刚离开地面的瞬间这个过程，并且选
定这个过程的起始位置为坐标原点，则下列 b 图中可以表示力 F 与木块 A 的位移 X 之间关
系的是：（g=10m/s2）【A】
例题 10．一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连。小球某
时刻正处于图示状态。设斜面对小球的支持力为 N，细绳对小球的拉力为 T，关于此时刻小
球的受力情况，下列说法正确的是 （AB）
A.若小车向左运动，N 可能为零 B.若小车向左运动，T 可能为零
C.若小车向右运动，N 不可能为零 D.若小车向右运动，T 不可能为零
例题 11．如图所示，小车上固定着三角硬杆，杆的端点固定着一个质量为 m 的小球．当小
车水平向右的加速度逐渐增大时，杆对小球的作用力的变化（用 F1 至 F4 变化
表示）可能是下图中的（OO＇沿杆方向） （C ）
A
B
F
a
x
F
0
25
125
(N)
A x
F
0
75
125
(N)
B x
F
0
25
100
(N)
C
100
x
F
0
(N)
D
O
’F2F1
O
F3
F4
A
O
'’F2F1
O
F3 F4
B
O
’F2F1
O
F3 F4
C
O
O
’
F2
F1
F3
F4
D
＇ ＇ ＇ ＇
例题 12．如图 3-3-14 所示，一粗糙的水平传送带以恒定的速度 v1 沿顺时针方向运动，传送
带的左、右两端皆有一与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定的速度 v2 沿水平面分别
从左、右两端滑上传送带，下列说法正确的是（CD）
A.物体从右端滑到左端所须的时间一定大于物体从左
端滑到右端的时间
B.若 v2
tb,vatb,va>vb
C.tavb
13.如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车 A,小车下装有吊着物体 B 的吊钩,
在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体 B 向上吊起,A、
B 之间的距离以 d =H - 2t2（SI）（SI 表示国际单位制,式中 H 为吊臂离地面的高度）规律变
化,则物体做 ( BC )
A.速度大小不变的曲线运动 B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小方向均不变的曲线运动 D.加速度大小方向均变化
的曲线运动
14.在交通事故处理过程中,测定碰撞瞬间汽车的速度,对于事故责任的认定具有重要的作用.
《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式 v=
212 hh
Lg
,
式中△L 是被水平
抛出的散落在事故现场路面上的两物体沿公路方向上的水平距离,h1、h2 分别是散落物在
车上时候的离地高度,如图所示,只要用米尺测量出事故现场的△L、h1、h2 三个量,根据上
述公式就能计算出碰撞瞬间车辆的速度.不计空气阻力.g 取 9.8 m/s2,则下列叙述正确的
有 (BD )
A.P、Q 落地时间相同
B.P、Q 落地时间差与车辆速度无关
C.P、Q 落地时间差与车辆速度成正比
D.P、Q 落地时间差与车辆速度乘积等于△L
15．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中
山坡上的目标 A。已知 A 点高度为 h，山坡倾角为θ，由此可算出[ ABC ]
(A)轰炸机的飞行高度
(B)轰炸机的飞行速度
(C)炸弹的飞行时间
(D)炸弹投出时的动能
16.如图所示,在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上,有两个质量相等的小物块 A 和 B,它们分别
紧贴漏斗的内壁,在不同的水平面上做匀速圆周运动,则以下叙述正确的是(D )
A.物块 A 的线速度小于物块 B 的线速度
B.物块 A 的角速度大于物块 B 的角速度
C.物块 A 对漏斗内壁的压力大于物块 B 对漏斗内壁的压力
D.物块 A 的周期大于物块 B 的周期
17. 图所示是一个玩具陀螺。a、b 和 c 是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以
角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 （ B ）
A．a、b 和 c 三点的线速度大小相等 B．a、b 和 c 三点的角速度相等
C．a、b 的角速度比 c 的大 D．c 的线速度比 a、b 的大
18.图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为 r1,从转动的半径为 r2.已知主动轮做
顺时针转动,转速为 n,转动过程中皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.从动轮做顺时针转动
B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为 nr
r
2
1 D.从动轮的转速为 nr
r
1
2
19.如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴 O,现给球一初速度,使球和杆
一起绕 O 轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用 F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则
F ( D)
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
20．如图所示，可视为质点的、质量为 m 的小球，在半径为 R 的竖直放置的光滑圆形管道
内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ACD ）
A．小球能够通过最高点时的最小速度为 0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为 gR
C．如果小球在最高点时的速度大小为 2 gR ，则此时小球对管 道的
外壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为 gR5 ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力
专题四 航天与卫星的运动
开普勒行星运动定律 Ⅰ 定量计算不作要求
万有引力定律及其应用 Ⅱ
三个宇宙速度 Ⅰ 定量计算只限第一宇宙速度
【典型例题】
例题 1. 欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。
这颗围绕红矮星 Gliese581 运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地
球约为 20 光年，直径约为地球的 1.5 倍，质量约为地球的 5 倍，绕红矮星 Gliese581 运行的
周期约为 13 天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是【BC】
A．飞船在 Gliese581c 表面附近运行的周期约为 13 天
B．飞船在 Gliese581c 表面附近运行时的速度大于 7.9km/s
C．人在 Gliese581c 上所受重力比在地球上所受重力大
D．Gliese581c 的平均密度比地球平均密度小
例题 2.如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火将卫星
送入椭圆轨道 2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道 16.轨道 1、2 相切于 Q 点，2、3 相
切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，下列说法中正确的是【D】
(A)卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率
(B)卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度
(C)卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度
(D)卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度
例题 3．神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功。如果神舟七号飞船在离
地球表面 h 高处的轨道上做周期为 T 的匀速圆周运动，已知地球的半径 R，万有引力常量为
G。在该轨道上，神舟七号航天飞船【 BCD 】
A．运行的线速度大小为 2 h
T
B．运行的线速度小于第一宇宙速度
C．运行时的向心加速度大小为
2
2
4 ( )R h
T
D．地球表面的重力加速度大小可表示为
2 3
2 2
4 ( )R h
T R
例题 4．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭动力的航
天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在 B 处对接，已知空间站绕月轨道半
径为 r，周期为 T，万有引力常量为 G，下列说法错误．．的是【D】
A．图中航天飞机正加速飞向 B 处
B．航天飞机在 B 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
例题 5．宇宙飞船运动中需要多次“轨道维持”．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发
动机的点火时间和推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行
“轨道维持”，由于飞船受轨道上稀薄空气的影响，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞
船的动能、引力势能和机械能的变化情况将会是(D)
A．动能、重力势能和机械能逐渐减小
B．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
C．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变
D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
例题 6．2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利
亚上空约 805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中
产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，
甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ D）
A．甲的运行周期一定比乙的长 B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的加速度一定比乙的大
例题 7．2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天
员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高
度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟。下列判断正确的是（BC）
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨
道运动的加速度
例题 8.我国发射一颗绕月运行的探月卫星,设该卫星的轨道是圆形
的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的
81
1 ，月球的
半径约为地球半径的
4
1 ，地球上的第一宇宙速度约为 7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的
速率约为（B ）
A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s
例题 9．倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周
期也是 24 小时，又称 24 小时轨道，卫星的轨道周期等于地球的自转周期，且方向亦与之一
致，卫星在每天同一时间的星下点轨迹相同。我国 2011 年 4 月 10 日 4 时 47 分，在西昌卫
星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，成功发射的第八颗北斗导航卫星就是一颗倾斜地球
同步轨道卫星。关于这个卫星下列说法正确是【AB】
A．此卫星离地面的高度和同步卫星一样，约为 3.6 万千米
B．此卫星的运转速度一定比第一宇宙速度小
C. 发射此卫星要比发射同等质量的近地卫星少消耗能量。
D．根据这个卫星的相关数据和地球的相关数据，不能粗略计算出它的运转加速度和速度
例题 10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某
一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和
周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，
两星总质量为原来的 k 倍，双星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（ B ）
A、 Tk
n
2
3
B、 Tk
n3
C、 Tk
n2
D、 Tk
n
【能力训练】
1.火星的质量和半径分别约为地球的
10
1 和
2
1 ，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重
P
地球
Q
轨道 1
轨道 2
力加速度约为【B 】
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
2．A、B 是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星，若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径
2/BA RR ，则卫星 A 和 B 的（ＡＣ）
A．加速度大小之比是 4∶1 B．周期之比是 1∶22
C．线速度大小之比是 1∶2 D．向心力之比是 1∶1
3．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过
了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为
R、密度为ρ、质量为 M 且均匀分布的星球的最小自转周期 T．下列表达式中正确的是（AD）
Ａ．T＝2π GMR /3 B．T＝2π GMR /3 3 C．T＝ G/ Ｄ．T＝ G/3
4．（南京市调研性测试）银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体
S1 和 S2 构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 O 做匀速圆周运动。
由天文观察测得其运动周期为 T，S1 到 O 点的距离为 r1、S1 到 S2 间的距离为 r，已知引力常
量为 G。由此可求出 S2 的质量为（ D ）
A．
2
1
22 )(4
GT
rrr B． 2
3
1
24
GT
r C． 2
324
GT
r D． 2
1
224
GT
rr
5．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998 年 1 月发射的“月球勘探者号”
空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素
测定等方面取得最新成果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异
常区域时（AC）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大 B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大 D．探测器飞行的速率将变小
6．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面
高度为 h 的圆形轨道．已知飞船的质量为 m，地球半径为 R，地面处的重力加速度为 g．则
飞船在上述圆轨道上运行的动能 KE （B）
A．等于 )(
2
1 hRmg B．小于 )(2
1 hRmg C．大于 )(2
1 hRmg D．等于 mgh2
1
7.我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为 90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速
圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断中正
确的是（ ABD ）
A．飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B．飞船的动能小于同步卫星的动能
C．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D．发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
8.2003 年 10 月 15 日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过 21 小时的太空飞
行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的一个焦点
是地球的球心，如图 4-6-2 所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞
船从轨道 A 点沿箭头方向运行到 B 点的过程中，有以下说法正确的是（B）
①飞船的速度逐渐增大
A B
图 4-6-2
②飞船的速度逐渐减小
③飞船的机械能 EA=EB
④飞船的机械能 EA < EB
A．② ④ B．② ③
C．① ④ D．① ③
9.设一号飞船在离地 h 高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为 Ek，重力势能为 Ep，二号飞
船在离地 2h 高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为 Ekˊ，重力势能为 Epˊ，两飞船质量
相等，则下列关系正确的是【C 】
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep
’
10 地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为 F1，向心加速度为 a1，
线速度为 v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的
向心力为 F2，向心加速度为 a2，线速度为 v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力
为 F3，向心加速度为 a3，线速度为 v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为 g，第一宇宙
速度为 v，假设三者质量相等，则（ D）
A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3 C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
11.右图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月
转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是
【C】
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
12．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的
第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2= 12v ．已知某星球的半径为 r，它
表面的重力加速度为地球表面重力加速度 g 的
6
1 ．不计其它星球的影响．则该星
球的第二宇宙速度为（CD）
A． gr B．
gr6
1 C．
gr3
1 D． gr
3
1
专题五 动能定理和机械能守恒
【考纲要求】
内 容 要求 说 明
功和功率 Ⅱ
重力势能 Ⅱ
弹性势能 Ⅰ 弹性势能的表达式不作要求
恒力做功与物体动能变化的关系(实验探究) Ⅱ
动能 动能定理 Ⅱ
机械能守恒及其应用 Ⅱ
验证机械能守恒定律(实验探究) Ⅱ
能源和能量耗散 Ⅰ
【典型例题】
例题 1.以初速度 v0 竖直向上抛出一质量为 m 的小物体。假定物块所受的空气阻力 f 大小不
变。已知重力加速度为 g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为
4-6-
（ A ）
A．
2
0
2 (1 )
v
fg mg
和 0
mg fv mg f
B．
2
0
2 (1 )
v
fg mg
和 0
mgv mg f
C．
2
0
22 (1 )
v
fg mg
和 0
mg fv mg f
D．
2
0
22 (1 )
v
fg mg
和 0
mgv mg f
例题 2.小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为 H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能
面。在上升至离地高度 h 处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度 h 处，小球的势能
是动能的两倍，则 h 等于 （ D ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
例题 3.图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为 30°，质量为 M 的木
箱与轨道的动摩擦因数为 3
6
。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为 m 的货物装入木
箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短
时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶
端，再重复上述过程。下列选项正确的是 （ BC ）
A．m＝M B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
例题 4.质量为 m 的小球用长为 L 的轻绳悬于 O 点，如右图 4-4 所示，小球在水平力 F 作用
下由最低点 P 缓慢地移到 Q 点，在此过程中 F 做的功为（ C ）
A.FLsinθ B.mgLcosθ
C.mgL（1－cosθ） D.FLtanθ
例题 5.在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运 动，当速度达到 vm 后立即关闭发动
机直到停止，v-t 图像如图 4-6 所示。设汽车的牵引力为 F，摩擦力为 f，全过程中牵引力做
功 W1，克服摩擦力做功 W2，则( C )
A．F：f=1：3 B．F：f=4：1
C．W1：W2 =1：1 D．W1：W2=l：3
图 4-4
图 4-6
例题 6.如图所示,粗糙的斜面与光滑的水平面相连接,滑块沿水平面以度 v0 运动,设滑块运
动到 A 点的时刻为 t=0,距 B 点的水平距离为 x,水平速度为 vx.由于 v0 不同,从 A 点到 B 点的
几种可能的运动图象如下列选项所示,其中表示摩擦力做功最大的是 （ D）
例题 7.假定地球、月球都静止不动,用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器.假定探
测器在地球表面附近脱离火箭.用 W 表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引
力做的功,用 Ek 表示探测器脱离火箭时的动能,若不计空气阻力,则( BD)
A.Ek 必须大于或等于 W,探测器才能到达月球 B.Ek 小于 W,探测器也可能到达月球
C.Ek=
2
1 W,探测器一定能到达月球 D.Ek=
2
1 W,探测器一定不能到达月球
例题 8.如图所示, 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,
以大小恒定的拉力 F 拉绳,使滑块从 A 点起由静止开始上升.若从 A 点上升至 B 点和从 B 点上
升至 C 点的过程中拉力 F 做的功分别为 W1、W2,滑块经 B、C 两点时的动能分别为 EkB、EkC,图
中 AB=BC,则一定 （ A ）
A.W1>W2 B.W1< W 2 C.EkB>EkC D.EkBm）的滑块，通过不可伸长的
轻绳定滑轮连接，轻绳与斜面平等，两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑
轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（ CD ）
A、两滑块组成系统的机械能守恒
B、重力对 M 做的功等于 M 动能的增加
C、轻绳对 m 做的功等于 m 机械能的增加
D、两滑块组成系统的机械能损失等于 M 克服摩擦力做的功
【能力训练】
1.如图 4-13 所示，小球自 a 点由静止自由下落，到 b 点时与弹簧接触，到 c 点时弹簧被压缩
到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由 a→b→c 的运动过程中
( AD )
A.小球和弹簧总机械能守恒
B.小球的重力势能随时间均匀减少
C.小球在 b 点时动能最大
D.到 c 点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
2.如图 4-14 所示，一轻弹簧一端固定于 O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一
水平面且弹簧保持原长的 A 点无初速度释放，让它自由摆下.不计空气阻力，则在重物由 A
点摆向最低点 B 的过程中 ( AB )
A．弹簧与重物的总机械能守恒 B．弹簧的弹性势能增加
C．重物的机械能不变 D．重物的机械能增加
3．如图所示，一物体以一定的速度沿水平面由 A 点滑到 B 点，摩擦力做功
W1；若该物体从 A′沿两斜面滑到 B′，摩擦力做的总功为 W2，已知物体与各
接触面的动摩擦因数均相同，则（ A ）
A.W1=W2 B.W1＞W2
C.W1＜W2 D.不能确定 W1、W2 大小关系
4．有一斜轨道 AB 与同材料的 l／4 圆周轨道 BC 圆滑相接，数据
如 图 4-17 所示，D 点在 C 点的正上方，距地面高度为 3R，现让
一 个小滑块从 D 点自由下落，沿轨道刚好能滑动到 A 点，则它
再从 A 点沿轨道自由滑下，能上升到的距地面最大高度是（不计空气阻
a
b
c
图 4-13
图 4-14
图 4-16
力） ( A)
A．R B．2R C．在 0 与 R 之间 D．在 R 与 2R 之间
5.小物块位于光滑的斜面 Q 上,斜面位于光滑的水平地面上（如图所示）,从地面上
看,在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ B ）
A.垂直于接触面,做功为零 B.垂直于接触面,做功不为零
C.不垂直于接触面,做功为零 D.不垂直于接触面,做功不为零
6.汽车的额定功率为 90 kw，路面的阻力为 f,汽车行驶的最大速度为 v,则（ A）
A.如果阻力为 2f,汽车最大速度为 v/2
B.如果汽车的牵引力为原来的二倍,汽车的最大速度为 2v
C.如果汽车的牵引力变为原来的 1/2,汽车的额定功率就变为 45 KW
D.如果汽车做匀速运动,汽车发动机的输出功率大于 90 KW
7.机车以额定功率启动,假设所受的阻力始终不变,在此过程中,下列说法正确的是（ C ）
A.机车加速度逐渐减小后增大 B.机车速度逐渐减小后增大
C.机车位移一直增大 D.在任意两相等的时间内,机车速度变化相等
8.用起重机将一个质量为 m 的货物竖直向上以加速度 a 匀加速提升 H 米,在这个过程中,以下
说法正确的是 （ C ）
A.起重机对物体的拉力大小为 ma B.物体的机械能增加了 mgH
C.物体的动能增加了 maH D.物体的机械能增加了 maH
9.工厂车间的流水线,常用传送带传送产品,如图所示,水平的传送带以速度 v=6 m/s 顺时针
运转,两传动轮 M、N 之间的距离为 L=10 m,若在 M 轮的正上方,将一质量为 m=3 kg 的物体轻
放在传送带上,已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.3,在物体由M处传送到N处的过程
中,传送带对物体的摩擦力做功为（g 取 10 m/s2） （ A ）
A.54 J B.90 J C.45 J D.100 J
10.如图,从竖直面上大圆（直径 d）的最高点 A,引出两条不同的光滑轨道,端点都在大圆
上,同一物体由静止开始,从 A 点分别沿两条轨道滑到底端,则（C ）
A.到达底端的动能相等 B.重力做功都相同
C.机械能都相同 D.所用的时间不相同
11.某人用手将 5 kg 的铁饼水平掷出,落到 3.6 m 远处的地上,铁饼在空中运动 0.6 s(g 取
10 m/s2),下列说法中正确的是（ D）
A.手对铁饼做功 180 J B.铁饼落地时速度为 6 m/s
C.铁饼落地时动能为 90 J D.重力做功 90 J
12.如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球 A 和物块 B，跨过固定于斜面体顶端
的小滑轮 O，倾角为 30°的斜面体置于水平地面上．A 的质量为 m，B 的质量为 4m．开始时，
用手托住 A，使 OA 段绳恰处于水平伸直状态（绳中无拉力），OB 绳平行于斜面，此时 B 静止
不动．将 A 由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是( ABC )
A．物块 B 受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球 A 的机械能守恒
D．小球 A 的机械能不守恒，A、B 系统的机械能守恒
13.如图所示，带正电的小球穿在绝缘粗糙倾 角为θ的直杆上，整个空间存在着竖直向上的
匀强电场和垂直于杆斜向上的匀强磁场，小球沿杆向下滑动，在 a 点时动能为 100J，到 C
点时动能为零，则 b 点恰为 a、c 的中点，则在此运动过程中（BD）
A．小球经 b 点时动能为 50J
B．小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量
C．小球在 ab 段克服摩擦力所做的功与在 bc 段克服摩擦力所做的功相等
D．小球到 C 点后可能沿杆向上运动
14.在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为 m 的跳水运动员进入水中
后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F，那么在他减速下降高度为 h
的过程中，下列说法正确的是：（g 为当地的重力加速度）（ D ）
A.他的动能减少了 Fh B.他的重力势能增加了 mgh
C.他的机械能减少了（F－mg）h D.他的机械能减少了 Fh
A
B
O
30°
15.一汽车质量为 3×103 kg，它的发动机额定机率为 60 kW，它以额定功率匀速行驶时速度
为 120 km/h,若汽车行驶时受到的阻力和汽车的重力成正比，下列说法中正确的是（ ACD）
A.汽车行驶时受到的阻力的大小为 1.8×103 N
B.汽车以 54 km/h 的速度匀速行驶时消耗的功率为 30 kW
C.汽车消耗功率为 45 kW 时,若其加速度为 0.4 m/s2 则它行驶的速度为 15 m/s
D.若汽车保持额定功率不变从静止状态启动，汽车启动后加速度将会越来越小
16.如图所示,一个质量为 m 的物体（可视为质点）,以某一初速度由 A 点冲上倾角为 30 的
固定斜面,其加速度大小为 g,物体在斜面上运动的最高点为 B,B 点与 A 点的高度差为 h,则
从 A 点到 B 点的过程中,下列说法正确的是 （ BC）
A.物体动能损失了
2
mgh B.物体动能损失了 2mgh
C.系统机械能损失了 mgh D.系统机械能损失了
2
mgh
17.如图所示,一质量为 m 的物体放在水平地面上,上端用一根原长为 L、劲度系数为 k 的轻
弹簧相连.现用手拉弹簧的上端 P 缓慢向上移动.当 P 点位移为 H 时,物体离开地面一段距离
h,则在此过程中（ BC）
A.拉弹簧的力对系数做功为 mgH B.拉弹簧的力对系数做功为 mgh+
2k
mg 2)(
C.物体增加的重力势能为 mgH-
k
mg 2)( D.弹簧增加的弹性势能为 mg(H-h)
18.用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动,到 t1 秒末撤去拉力 F,物体做匀
速运动,到 t2 秒末静止.其速度图象如图所示,且 .若拉力 F 做的功为 W,平均功率为 P；
物体在加速和减速过程中克服摩擦阻力做的功分别为 W1 和 W2,它们在平均功率分别为 P1 和 P2,
则下列选项正确的是 （ AD）
A.W=W1+W2 B.W1=W2 C.P=P1+P2 D.P1=P2
专题六 力学图象
【典型例题】
例题 1.小球做自由落体，某同学作出 2v —h 图线，如图所示。则图中直线的斜率表示小球
的【A】
A.重力加速度的 2 倍
B.质量的大小
C.重力的大小
D.机械能的 2 倍
例题 2.一物块以一定的初速度沿斜面向上滑出，利用速度传感器可以在计算机屏幕上
得到其速度大小随时间的变化关系图像如图所示，则物块[AD]
A.上滑过程的加速度大小为8m/s
2
B.下滑过程的加速度与上滑过程的加速度方向相反
C.物块在斜面上不受摩擦力作用
D.物块 在 1.5s 时刻回到出发点
例题 3.如图所示为一质点作直线运动的速度-时间图像，下列说法中
正确的是【ACD】
(A)整个过程中，CD 段和 DE 段的加速度数值最大
(B)整个过程中，BC 段的加速度最大
(C)整个过程中，D 点所表示的状态，离出发点最远
(D)BC 段所表示的运动通过的路程是 34m
例题 4．甲、乙两质点在同一直线上做匀加速直线运动的 v－t 图象如图所示，在 3s 末两质
点在途中相遇，两质点位置关系是 (BD)
A．相遇前甲、乙两质点的最远距离为 2m
B．相遇前甲、乙两质点的最远距离为 4m
C．两质点出发点间的距离是乙在甲之前 4m
D．两质点出发点间的距离是甲在乙之前 4m
例题 5．如图所示，一质量为 m 的滑块以初速度 v0 自固定于地面的斜面底端 A 开始冲上斜面，
到达某一高度后返回 A，斜面与滑块之间有摩擦。下图分别表示滑块在斜面上运动的整个过
程中速度 v、加速度 a、势能 EP 和机械能 E 随时间的变化图线，可能正确的是【C】
例题 6.一物体从水面上方某一较大高度自由下落，进入水面后减速下降，最后匀速下沉，
整个过程中，下列图像可能符合事实的是（其中 t 表示下落的时间、h 表示离水底面的高度、
v 表示物体下落的速度、F 表示物体受到的合外力、E 表示物体的机械能）【C】
【能力训练】
1．如图所示，光滑轨道 MO 和 ON 底端对接且 ON=2MO， M 、 N 两点高度相同，小球自 M 点
由静止自由滚下，忽略小球经过 O 点时的机械能损失，以 v 、s、 a 、Ek 分别表示小球的
速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小．下列图象中能正确反映小球自 M 点到 N 点运
动过程的是(A)
2.如图所示一同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中 9 个连续的位置的图片。
观察图片，下列这度一时间图象中能够比较正确地反映该同学运动情况的是 C
3．设物体运动的加速度为 a、速度为 v、位移为 s。现有四个不同物体的运动图象如图所示，
假设物体在 t=0 时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是 C
4．两辆游戏赛车 a、b 在平直车道上行驶。t＝0 时两车都在距离终点相同位置处。此时比
赛开始它们在四次比赛中的 v－t 图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另
一辆？（ AC ）
5．一辆汽车由静止开始运动, 其 v-t 图象如图所示,则汽车在 0～1s 内和 1s～3s 内相比(B)
A．位移相等
B.平均速度相等
C.速度变化相同
D.加速度相同
0 5 10 152025
5
10
v/m·s－1
t/s
A
0 5 10 152025
5
10
v/m·s－1
t/s
B
0 5 10 152025
5
10
v/m·s－1
t/s
C
0 5 10 152025
5
10
v/m·s－1
t/s
D
a
b
a
b
a
b
a
b
v/m•s-1
O 1 2 3 t/s
5
6．如右图所示装置中，光滑的定滑轮固定在高处，用细线跨过该滑轮，细线两端各拴一个
质量相等的砝码 m1 和 m2．在铁架上 A 处固定环状支架 Z，它的孔能让 m1 通过．在 m1 上加一
个槽码 m，由 O 点释放向下做匀加速直线运动．当它们到达 A 时槽码 m 被支架 Z 托住，m1 继
续下降．下列能正确表示 m1 运动速度 v 与时间 t 和位移 s 与时间 t 关系图象的是(AD)
7．质点甲、乙做直线运动的位移—时间图像如图所示，则（AB）
A．在运动过程中，质点甲比质点乙运动的快；
B．当 t=t1 时刻，两质点的位移相同；
C．当 t=t1 时刻，两质点的速度相同；
D．质点甲的加速度大于质点乙的加速度。
8、四个质点作直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，下列说法中正确的是（ CD）
A．四个质点在第 1 秒内的平均速度相同
B．在第 2 秒末，质点（3）回到出发点
C．在第 2 秒内，质点（1）（3）（4）做加速运动
D．在第 2 秒末，质点（2）（3）偏离出发点位移相同
9． 小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其 v-t 图像如图所示，则
由图可知 （ ABC）
A．小球下落的最大速度为 5 m/s
B．小球第一次反弹后瞬间速度的大小为 3 m/s
C．小球能弹起的最大高度为 0.45 m
D．小球能弹起的最大速度 1.25 m/s
10． 某物体沿直线运动的速度-时间图象如图，从图象可以看出物体的运动是( ACD )
A．往复运动 B．加速度大小始终不变
C．3s 末速度为零 D．6s 末位移为零
11．如图是一辆汽车做直线运动的 s-t 图象,对线段 OA、AB、BC、CD 所表示的运动,下列说
法正确的是( BC)
A.OA 段运动最快
B.AB 段静止
C.CD 段表示的运动方向与初始运动方向相反
D.运动 4h 汽车的位移大小为 30km
O
甲
乙
t
t1
s
3 6 90
v
t/
1
-1
第 7 题图
12．汽车在平直公路上以速度 v0 匀速行驶，发动机功率为 P，牵引力为 F0，t1 时刻，司机减
小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到 t2 时刻，汽车又恢复了
匀速直线运动. 能正确表示这一过程中汽车牵引力 F 和速度 v 时间 t 变化的图像是
二．力学综合题
【典型例题】
例题 1． 如图所示，某货场利用固定于地面的、半径 R=1．8m 的四分之一圆轨道将质量为
m1=10 kg 的货物（可视为质点）从高处运送至地面，已知当货物由轨道顶端无初速滑下时，
到达轨道底端的速度为 5 m／s．为避免货物与地面发生撞击，在地面上紧靠轨道依次排放
两块完全相同的木板 A、B，长度均为l =2 m，质量均为 kgm 202 ，木板上表面与轨道末
端相切．货物与木板间的动摩擦因数为 4.0 ，木板与地面间的动摩擦因数 1.02 ．（最
大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取 g=10 m／s2）
（1）求货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功
（2）通过计算判断货物是否会从木板 B 的右端滑落?若能，求货物滑离木板 B 右端时的速
度；若不能，求货物最终停在 B 板上的位置．
【解析】（1）设货物沿圆轨道下滑过程中克服摩擦力做的功为 fW ，对货物，由动能定理得：
2
11 2
1 vmWgRm f ， JvmgRmW f 552
1 2
11
（2）当货物滑上木板 A 时，货物对木板的摩擦力 Ngmf 40111
地面对木板 A、B 的最大静摩擦力 Ngmmf 50)2( 1222
由于 21 ff ，此时木板 A、B 静止不动。
设货物滑到木板 A 右端时速度为 1v ，由动能定理 2
1
2
1111 2
1
2
1 vmvmglm
得 ： smv /31 当 货 物 滑 上 木 板 B 时 ， 地 面 对 木 板 A 、 B 最 大 静 摩 擦 力
Ngmmf 30)( 1223 由于 31 ff ，此时木反 B 开始滑动。
设货物不会从木板 B 的右端滑落，二者刚好相对静止时的速度为 .2v
则对货物： 2
11 /4 smga ， tavv 112
对木板 2
2
21211
2 /5.0)(: smm
gmmgmaB tav 22
由以上两式可得： smv /3
1
2 ， st 3
2
此过程中， mtvvs 9
10)(2
1
211 ， mtvs 9
1
2
1
22
由于 lmss 0.121 ，所以货物最终未从木板 B 上滑了，且与其右端的距离为 m0.1
例题 2.如图所示，AB 为半径 R=0.8 m 的 1/4 光滑圆弧轨道，下端 B 恰与小车右端平滑对接。
小车质量 M=3 kg，车长 L=2.06 m，车上表面距地面的高度 h=0.2 m。现有一质量 m=1 kg 的
小滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到 B 端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面
间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了 1.5 s 时，车被地面装置锁定。(g=10 m/s2)试求：
(1) 滑块到达 B 端时，轨道对它支持力的大小。
(2) 车被锁定时，车右端距轨道 B 端的距离。
(3) 从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小。
(4) 滑块落地点离车左端的水平距离。
【解析】
(1) 由动能定理，得 mgR=
2
1 mv2 由牛顿第二定律，得 N-mg=m
R
v 2
联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：N=3 mg=30N 1 分
(2) 当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
对滑块有：-μmg=ma1 对小车有：umg=Ma2
设经时间 t 两者达到共同速度，则有：v+a1t=a2t… 2 分
解得 t=1 s。由于 1 s＜1.5 s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′=a2t=1 m/s …
因此，车被锁定时，车右端距轨道 B 端的距离：S=
2
1 a2t2+v′t′=1 m
(3) 从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离
ΔS=
2
2vv t-
2
1 a2t2=2 m 所以产生的内能：E=μmgΔS=6 J
(4) 对小滑块由动能定理，得-μmg(L-ΔS)=
2
1 mv′′2-
2
1 mv′2
滑块脱离小车后，在竖直方向有：h=
2
1 gt′′2
所以，滑块落地点离车左端的水平距离：S′=v′′t′′=0.16 m
例题 3.物体 A 的质量 M＝1kg，静止在光滑水平面上的平板车 B 的质量为 m＝0.5kg、长 L＝
1m。某时刻 A 以 v0＝4m/s 向右的初速度滑上木板 B 的上表面，在 A 滑上 B 的同时，给 B 施
加一个水平向右的拉力。忽略物体 A 的大小，已知 A 与 B 之间的动摩擦因数µ＝0.2，取重力
加速度 g=10m/s2.试求:
（1）若 F=5N，物体 A 在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；
（2）如果要使 A 不至于从 B 上滑落，拉力 F 大小应满足的条件。
解析：（1）物体 A 滑上木板 B 以后，作匀减速运动，有µmg =maA 得 aA=µg=2 m/s2
木板 B 作加速运动，有 F+µmg=MaB，得：aB=14 m/s2
两者速度相同时，有 V0-aAt=aBt，得：t=0.25s
A 滑行距离：SA=V0t-aAt2/2=15/16m B 滑行距离：SB=aBt2/2=7/16m
最大距离：△s= SA- SB=0.5m
(2)物体 A 不滑落的临界条件是 A 到达 B 的右端时，A、B 具有共同的速度 v1，则：
La
V
a
Vv
BA
22
2
1
2
1
2
0 ③ 又
BA a
V
a
Vv 110 ④
由、③、④式，可得：aB=6（m/s2）再代入②式得： F= m2aB—µm1g=1N
若 F＜1N，则 A 滑到 B 的右端时，速度仍大于 B 的速度，于是将从 B 上滑落，所以 F 必须
大于等于 1N。
当 F 较大时，在 A 到达 B 的右端之前，就与 B 具有相同的速度，之后，A 必须相对 B 静止，
才不会从 B 的左端滑落。即有：F=（m+m）a，µm1g =m1a 所以：F＝3N
若 F 大于 3N，A 就会相对 B 向左滑下。
综上：力 F 应满足的条件是： 1N≤F≤3N
例题 4.质量为 10 kg 的环在 F＝200 N 的拉力作用下，沿粗糙直杆由静止开始运动，杆与水
平地面的夹角θ＝37°，拉力 F 与杆的夹角也为θ。力 F 作用 0.5s 后撤去，环在杆上继续上滑
了 0.4s 后，速度减为零。（已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，
g＝10 m/s2）求：
（1）环与杆之间的动摩擦因数μ；
（2）环沿杆向上运动的总距离 s。
解析：物体的整个运动分为两部分，设撤去力 F 瞬间物
体的速度为 v，则
由 v = a1 t1 和 0 = v – a2 t2 得 a1 t1 = a2 t2 或 2 a1 = 1.6 a2 ①
F cosθ- mg sinθ-μ(F sinθ - mg cosθ)= ma1 ②
mg sinθ +μmg cosθ= ma2 ③
由①②③式联立解得μ= 0.5 代入②③得 a1 = 8m/s2，a2 = 10m/s2
s2 = 1
2 a1 t12 + 1
2 a2 t22 = 1
2 × 8 × 0.52 + 1
2 × 10× 0.42 = 1.8m
例题 5.质量为 m=1kg 的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的 P 点，随传送带运动到
与 P 点在同一水平面上的 A 点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从 B 点进入竖
直光滑圆形轨道下滑。B、C 为圆弧的两端点，其连线水平，斜面与圆弧轨道在 C 点相切连
接（小物块经过 C 点时机械能损失不计）。已知圆弧半径 R=1.0m，圆弧对应圆心角 106 °，
轨道最低点为 0，A 点距水平面的高度 h=0.8m。设小物块首次经过 C 点时为零时刻，在 t=0.8s
θ
F
θ
时 刻 小 物 块 经 过 D 点 ， 已 知 小 物 块 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 因 数 为
2
1
1 , g 10m /s ,sin37 0.6,cos37 0.83
o o 试求：
（1）小物块离开 A 点的水平初速度 v1 大小；
（2）小物块与传送带之间摩擦产热的多少；（已知小物块与传送带之间的滑动摩擦因数为
2 0.5 ）
（3）小物块经过 0 点时对轨道的压力；
（4）斜面上 CD 间的距离。
【解析】（1）对小物块，由 A 到 B 有 2
yv 2gh ，在 B 点 tan y
1
v
2 v
（1 分）所以 v1=3m/s
（2）4.5J
（3）对小物块，由 B 到 0 有 2 2
0 B
1 1mgR 1 sin37 mv mv2 2
o
其中 2 2 2 2
B x yv v v 3 4 m /s 5m /s
在 0 点 N
2
0vmg m R
（1 分）所以 N=43N
由牛顿第三定律知对轨道的压力为 N′=43N
（4）物块沿斜面上滑： 1mgsin53 mgcos53 ma o o ， 2
1a 10m /s
物块沿斜面下滑： 1 2mgsin53 mgcos53 ma o o ，a2=6m/s2
由机械能守恒知 vc=vB=5m/s 小物块由 C 上升到最高点历时 c
1
1
vt 0.5sa
小物块由最高点回到 D 点历时 t2=0.8—0.5=0.3s，故 2C
CD 1 2 2
V 1S t a t 0.98m2 2
例题 6.如图所示是一皮带传输装载机械示意图．井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向
运行的传送带 A 端，被传输到末端 B 处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点 C 处，然后水
平抛到货台上．已知半径为 0.4mR 的圆形轨道与传送带在 B 点相切，O 点为半圆的圆心，
BO、CO 分别为圆形轨道的半径，矿物 m 可视为质点，传送带与
水平面间的夹角 037 ，矿物与传送带间的动摩擦因数
0.8 ，传送带匀速运行的速度为 0 8m/sv ，传送带 AB 点间
的长度为 AB 45ms ．若矿物落点 D 处离最高点 C 点的水平距
离 为 CD 2ms ， 竖 直 距 离 为 CD 1.25mh ， 矿 物 质 量
50kgm ， 0sin37 0.6 ， 0cos37 0.8 ， 210m/sg ，不计空气阻力．求：
（1）矿物到达 B 点时的速度大小；
（2）矿物到达 C 点时对轨道的压力大小；
（3）矿物由 B 点到达 C 点的过程中，克服阻力所做的功．
【解析】（1）假设矿物在 AB 段始终处于加速状态，由动能定理可得
2
AB
1( cos sin ) 2 Bmg mg s mv 3 分代入数据得 B 6m/sv
由于 B 0v v ，故假设成立，矿物 B 处速度为 6m/s ．
（2）设矿物对轨道 C 处压力为 F，由平抛运动知识可得 CD Cs v t ， 2
CD
1
2h gt
代入数据得矿物到达 C 处时速度
C 4m/sv
由牛顿第二定律可得
2
/ cvF mg m R
代入数据得 / 1500NF
根据牛顿第三定律可得所求压力 / 1500NF F
（3）矿物由 B 到 C 过程，由动能定理得 0 2 21 1(1 cos37 ) 2 2f B CmgR W mv mv 3 分
代入数据得 140JfW 即矿物由 B 到达 C 时克服阻力所做的功 140JfW
例题 7.如图所示，放置在光滑水平面上的长木板，其上表面与左侧竖直平面内的 1
4
光滑圆
弧轨道底端 B 相切，木板长度 l=1.2 m，质量 M=2 kg。与圆弧轨道末端相距 d=1.6 m 的 C
处有一竖直墙。质量 m=2 kg 的小滑块从圆弧轨道顶端 A 由静止滑下，离开 B 后在木板上滑
行。已知圆弧轨道半径 R=0.2 m，滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.2，木板与左右两侧发生
碰撞后能原速率返回。(g 取 10 m/s2)试求
(1) 滑块滑至圆弧轨道底端 B 时对轨道的压力 N
(2) 滑块最终位置与竖直墙间的距离 S
(3) 整个过程中产生的热量 Q
【解析】(1) 滑块下滑过程，由机械能守恒定律得 mgR= 1
2
mv2（2 分）
v= 2 R 2 10 0.2g m/s=2 m/s
由向心力公式得 N′-mg=m
2v
R
解得 N′=mg+m
2v
R
=2×10+2×
22
0.2
N=60 N
根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力 N=60 N
(2) 由牛顿第二定律，滑块做减速运动的加速度大小为 a1=μg=0.2×10 m/s2=2 m/s2
木板加速运动的加速度大小为 a2= umg
M
=0.2×10 m/s2=2 m/s2
滑块向右滑动至与木板速度相同过程所用时间设为 t，则有 v-a1t=a2t 解得 t=0.5 s
共同运动速度 v′=a2t=1 m/s
这段时间内滑块位移大小 s1=vt- 1
2
a1t2=2×0.5- 1
2
×2×0.52 m=0.75 m
木板位移大小 s2= 1
2
a2t2= 1
2
×2×0.52 m=0.25 m
因为 S2＜d-l，所以滑块相对木板滑行 0.5 m 后，与木板共同向右做匀速运动，直到木板与
墙发生碰撞。
设碰撞后至滑块与木板达到共同速度时间为 t′，则有 v′-a1t′=-v′+a2t′解得 t′=0.5 s
滑块和木板与墙碰撞后向左运动的最终共同速度为 v″=v′-a1t′=0
这段时间内滑块向右运动位移大小为 S1′= 1
2
v′t′=0.25 m
木板向左运动位移大小为 S2′= 1
2
v′t′=0.25 m
由于 S1′+S2′＜l-(S1-S2)，滑块最终静止在木板上）
由几何关系判断，滑块最终位置离墙的距离为 S=l-(s1-s2)-s′1=0.45 m
(3) 由功能关系，整个过程中产生的热量为 Q=mgR=2×10×0.2 J=4 J
例题 8.如图所示，一质量 m=0.4kg 的小物块，以 v0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的
拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t=2s 的时间物块由 A 点运动到 B 点，AB 两
点间的距离 L＝10m.已知斜面倾角 30 ，物块与斜面之间的动摩擦因数
3
3 ，重力
加速度 g 取 10m/s2.
（1）求物块加速度的大小及到达 B 点时速度的大小。
（2）拉力 F 与斜面夹角多大时，拉力 F 最小？拉力 F 的最小值是多少？
答：（1）物块加速度的大小为 3m/s2，到达 B 点的速度为 8m/s；
（2）拉力 F 与斜面的夹角 30°时，拉力 F 最小，最小值是 N5
3 13=Fmin ．
【解析】（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：
2
2
1 atL ①，v=at ②
联立解得 a=3m/s2，v=8m/s
F
A
B
（2）对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，如图
根据牛顿第二定律，有
水平方向：Fcosα-mgsinα-Ff=ma 竖直方向：Fsinα+FN-mgcosα=0 其中 Ff=μFN
联立解得：
α)+sin(60 3 3
2
ma+μcosα)+mg(sinα= sincos
ma+μcosα)+mg(sinα=F
故当α=30°时，拉力 F 有最小值，为 N5
3 13=Fmin ；
点评：本题是已知运动情况确定受力情况，关键先根据运动学公式求解加速度，然后根据牛
顿第二定律列式讨论．
例题 9.如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量
m=1.0kg 的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘
滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道 ABC。以知 AB 段斜面倾角为 53°，BC 段
斜面倾角为 37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5 ，A 点离 B
点所在水平面的高度 h=1.2m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在
过渡圆管处和 B 点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取 g=10m/s2,sin37°
=0.6; cos37°=0.8
（1）若圆盘半径 R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达 B 点时的机械能。
（3）从滑块到达 B 点时起，经 0.6s 正好通过 C 点，求 BC 之间的距离。
【解析】(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：
μmg=mω2R 代入数据解得：ω= Rug / =5rad/s
（2）滑块在 A 点时的速度：UA=ωR=1m/s
从 A 到 B 的运动过程由动能定理：mgh-μmgcos53°·h/sin53°=1/2mvB
2-1/2mvA
2
在 B 点时的机械能 EB=1/2mvB
2-mgh=-4J
（3）滑块在 B 点时的速度：vB=4m/s
滑块沿 BC 段向上运动时的加速度大小：a3=g（sin37°+ucos37°）=10m/s2
返回时的速度大小：a2=g（sin37°-ucos37°）=2m/s2
BC 间的距离：sBC=vB
2/2a1-1/2a2（t-uR/a1）2=0.76m
例题 10.如图所示，四分之一圆轨道OA 与水平轨道 AB 相切，它们与另一水平轨道 CD 在
同一竖直面内，圆轨道OA 的半径 R=0.45m，水平轨道 AB 长 1s =3m, OA 与 AB 均光滑。一
滑块从 O 点由静止释放，当滑块经过 A 点时，静止在 CD 上的小车在 F=1.6N 的水平恒力作用
下启动，运动一段时间后撤去力 F。当小车在 CD 上运动了 2s =3.28m 时速度 v=2.4m/s,此时
滑块恰好落入小车中。已知小车质量 M=0.2 kg ,与 CD 间的动摩擦因数u =0.4。（取 g=10m/ 2s ）
求：（1）恒力 F 的作用时间 t。（2） AB 与CD 的高度差 h。
【解析】
该滑块的质量为 m ，运动到 A 点的速度为 Av ，由动能定理得 21
2 AmgR mv ⑧
设滑块由 A 点运动到 B 点的时间为 1t ，由运动学公式得 1 1As v t ⑨
设滑块做平抛运动的时间为 1 't ，则 1 1' 't t t t ⑩
由平抛规律得 1
1 '22h gt ○11
联立②④⑤⑥⑦⑧⑨⑩○11式，代入数据得 0.8h m ○12
例题 11.如图所示，在高出水平地面 1.8h m 的光滑平台上放置一质量 2M kg 、由两种不
同材料连接成一体的薄板 A，其右段长度 1 0.2l m 且表面光滑，左段表面粗糙。在 A 最右
端放有可视为质点的物块 B，其质量 1m kg 。B 与 A 左段间动摩擦因数 0.4u 。开始时二
者均静止，现对 A 施加 20F N 水平向右的恒力，待 B 脱离 A（A 尚未露出平台）后，将 A
取走。B 离开平台后的落地点与平台右边缘的水平距离 1.2x m 。（取 210mg s ）求：
（1）B 离开平台时的速度 Bv 。
（2）B 从开始运动到刚脱离 A 时，B 运动的时间 ts 和位移 xB
（3）A 左端的长度 l2
例题 12.如图所示，一工件置于水平地面上，其 AB 段为一半径 1.0R m 的光滑圆弧轨道，
BC 段为一长度 0.5L m 的粗糙水平轨道，二者相切与 B 点，整个轨道位于同一竖直平面内，
P 点为圆弧轨道上的一个确定点。一可视为质点的物块，其质
量 0.2m kg ，与 BC 间的动摩擦因数 1 0.4 。工件质量
0.8M kg ，与地面间的动摩擦因数 2 0.1 。（取
210 / )g m s
（1）若工件固定，将物块由 P 点无初速度释放，滑至 C 点时恰好静止，求 P、C 两点间的
高度差 h。
（2）若将一水平恒力 F 作用于工件，使物体在 P 点与工件保持相对静止，一起向左做匀加
速直线运动.
①求 F 的大小;
②当速度 v=5m/s 时，使工件立刻停止运动（即不考虑减速的时间和位移），物块飞离圆弧
轨道落至 BC 段，求物块的落点与 B 点间的距离。
【解析】（1）物块从 P 点下滑经 B 点至 C 点的整个过程，根据动能定理得
1 0mgh mgL 代入数据得 0.2h m ○2
（2）○1 设物块的加速度大小为 a ，P 点与圆心的连线与竖直方向间的夹角为 ，由几何关
系可得 cos R h
R
○3
根据牛顿第二定律，对物体有 tanmg ma ○4
对工件和物体整体有 2( ) ( )F M m g M m a ○5
联立○2 ○3 ○4 ○5 式，代入数据得 8.5NF ○6
○2 设物体平抛运动的时间为 t ，水平位移为 1x ，物块落点与 B 间的距离为 2x ， 由运动学
公式可得 21
2h gt ○7 1x vt ○8 2 1 sinx x R ○9
联立○2 ○3 ○7 ○8 ○9 式，代入数据得 2 0.4x m ○10
【能力训练】
1.如图所示，质量为 m=10kg 的两个相同的物块 A、B(它们之间用轻绳相连)放在水平地面上，
在方向与水平方面成 37 角斜向上、大小为 100N 的拉力 F 作用下，以大小为 0v =4． 0m
／s 的速度向右做匀速直线运动，求剪断轻绳后物块 A 在水平地面上滑行的距离。(取当地
的重力加速度 g=10m/s2，sin37 =0．6，cos37 =0．8)
解析：设两物体与地面间的动摩擦因素为 ，根据滑动
摩擦力公式和平衡条件，对 A、B 整体有：
cos)sin( FFmgmg ①
剪断轻绳以后，设物体 A 在水平地面上滑行的距离为 s，有
mamg ② asv 22
0 ③
联解方程，代人数据得： 4.1cos2
)sin2( 2
0
gF
vFmgs m
2、质量 M=3kg 的长木板放在水平光滑的平面上，在水平恒力 F=11N 作用下由静止开始向
右运动，如图所示，当速度达到 1m/s 时，将质量 m=4kg 的物体轻轻放到木板的右端，已知
物块与木板间摩擦因数μ=0.2，（g=10m/s2），求：
（1）物体经多长时间才与木板保持相对静止；
（2）物块与木板相对静止后，物块受到的摩擦力
多大？
解析：①放上物体后，物体加速度
2
1 /2 smgm
mga
板的加速度 2
2 /1 smM
mgFa
当两物体达速度相等后保持相对静止，故 tavta 21 ∴t=1 秒
（2）相对静止后，对整体 amMF )(
对物体 f=ma ∴f=6.28N
3.足够长的倾角θ=53°的斜面固定在水平地面上，一物体以 v0=6.4m/s 的初速度，从斜面底
端向上滑行，该物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.8，如图所示。（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g
取 10m/s2）
⑴求物体从开始到再次返回斜面底端所需的时间；
⑵求返回斜面底端时的速度；
⑶若仅将斜面倾角θ变为 37°，其他条件不变，试求物体在开始第 1s 内的位移大小。（结
果保留 2 位有效数字）
解析：⑴由牛顿第二定律得： mamgmg cossin
22 /8.12/)6.0108.08.010(cossin smsmgga
上滑最大距离： mma
vx 6.18.122
4.6
2
22
0 上滑时间： ssa
vt 5.08.12
4.60
1
下滑过程中： 'cossin mamgmg
得 22' /2.3/)8.48(cossin smsmgga
又根据 2
2
'
2
1 tax 下滑时间 ss
a
xt 12.3
6.122
'2
总时间为： t = t1＋t2 = 1.5s
⑵返回斜面底端时的速度大小 v = a′t2 = 3.2 m/s
⑶上滑过程中满足： 1
'' cossin mamgmg
22''
1 /4.12/)8.0108.06.010(cossin smsmgga
上滑时间： sssa
vt 131
16
4.12
4.6
1
0 停
又因为 '' cossin mgmg 所以物体滑到最顶端后不再下滑，保持静止。
得 7.14.122
4.6
2
2
1
2
0 ma
vx m
4．长 L 是 1m，质量 M 是 2kg 的长方形木板 A 放在光滑的水平面上，在木板的左端放置一个
质量 m 是 1kg 的物块 B。A 与 B 之间的动摩擦因数μ是 0.2，现用一个 F 为 8N 的水平恒力向
右拉 B。
（1）要使 B 从 A 的右端滑出，则力 F 至少要做多少功？
（2）若 M、m、μ、F 中某一物理量发生变化，拉出过程中做功的最小值也会变化。要使拉
出过程中做功的最小值变小,应采用哪些方法？（只要说出两种，每种方法中只允许改变 M、
m、μ、F 中的一个，并说出此物理量变大还是变小）
v0
θ
解析：（1）设力 F 作用时间为 t1，则 a B=F-μmg/m =6m/s2
aA=μmg/M=1m/s2 相对运动距离△S1=
2
1 （a B - aA）t1
2
设撤去 F 时 B 的速度为 B、A 的速度为 A。经 t2 时间后 B 正好滑到右端且速度与 A 相同
aB'=μg=2m/s2 方向向左 aA'=aA=1m/s2
2 2
B 2 B 2 A 2 A 2
1 1S = t t S = t t2 2a a 相对运动距离△S2= 2
B A 2
1 ( + )t2 a a
由 A 1 2= (t +t )a ， B 1 B 2= t ta a － ， B A 1 A B 2( )t =( + )ta a a a －
得 t2 =5t1/3 ， 2 2
B A 1 B A 2
1 1( )t ( + )t =L2 2a a a a －
t1=
20
3 s ，WF=F·SB=F·
2
1 aBt1
2 WF==3.6J
（2）M 变大、m 变小、μ变小、F 变大
5．如图 所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平
面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底
端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球(可视为质点)从 a 点水
平弹射向 b 点并进入轨道，经过轨道后从最高点 d 水平抛出(抛出后小球不会再碰轨道)，已
知小球与地面 ab 段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab 段长 L
＝1.25 m，圆的半径 R＝0.1 m，小球质量 m＝0.01 kg，轨道质量为 M＝0.26 kg，
g 取 10 m/s2，求：
(1)若 v0＝5 m/s，小球从最高点 d 抛出后的水平位移．
(2)若 v0＝5 m/s，小球经过轨道的最高点 d 时，管道对小球作用力的大小和方
向．
(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当 v0 至少为多少时，
小球经过两半圆的对接处 c 点时，轨道对地面的压力为零．
解析：(1)设小球到达 d 点处速度为 v，由动能定理得－μmgL－mg4R＝1
2
mv2－1
2
mv0
2①
小球由 d 点做平抛运动，有 4R＝1
2
gt2②x＝vt③
联立①②③并代入数值，解得小球从最高点 d 抛出后的水平位移：x＝0.98 m.
(2)当小球通过 d 点时，由牛顿第二定律得 FN＋mg＝mv2
R
代入数值解得管道对小球作用力 FN＝1.1 N，方向竖直向下．
(3)设小球到达 c 点处速度为 vc，由动能定理得－μmgL－mg2R＝1
2
mvc
2－1
2
mv0
2④
当小球通过 c 点时，由牛顿第二定律得 FN′＋mg＝mvc
2
R
⑤
要使轨道对地面的压力为零，则有 FN′＝Mg⑥
联立④⑤⑥并代入数值，解得 v0＝6 m/s.
答案：(1)0.98 m (2)1.1 N，方向竖直向下 (3)6 m/s
7．如图所示，光滑水平面 MN 的左端 M 处有一弹射装置 P，右端 N 处与水平传送带恰平齐接
触，传送带水平部分长度 L＝16 m，沿逆时针方向以恒定速度 v＝2 m/s 匀速转动．ABCDE
是由三部分光滑轨道平滑连接在一起组成的，AB 为水平轨道，弧 BCD 是半径为 R 的半圆弧
轨道，弧 DE 是半径为 2R 的圆弧轨道，弧 BC 与弧 DE 相切在轨道最高点 D，R＝0.6 m．水平
A
B
A
F
B
部分 A 点与传送带平齐接触．放在 MN 段的物块 m(可视为质点)以初速度 v0＝4 m/s 冲上传送
带，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，物块的质量 m＝1 kg，结果物块滑上传送带运
动一段时间后，又返回到 N 端，经水平面与左端 M 处的固定弹射器相碰撞(弹射器的弹簧原
来被压缩后锁定)，因碰撞使弹射器的锁定被打开，将物块弹回后滑过传送带，冲上右侧的
圆弧轨道，物块恰能始终贴着圆弧轨道BCDE内侧通过其最高点D后，从E点飞出．g取10 m/s2，
求：
(1)物块 m 从第一次滑上传送带到返回 N 端的时间；
(2)物块 m 与弹射器相碰时，弹射器的弹簧对物块 m 所做的功．
解析 (1)物块 m 从第一次滑上传送带后先做减速运动，所需时间为 t1＝v0
μg
＝2 s，
向右运动的位移为 x1＝ v20
2μg
＝4 m，
此后物块 m 向左匀加速运动，最后匀速返回到 N 点．
在匀加速运动的过程中有 t2＝ v
μg
＝1 s，x2＝ v2
2μg
＝1 m.
匀速运动的时间为 t3＝x1－x2
v
＝1.5 s.
物块 m 从第一次滑上传送带到返回 N 端的时间 t＝4.5 s.
(2)物块 m 通过最高点 D 时，轨道半径为 2R，mg＝mv20
2R
，
从 A 运动到 D 由机械能守恒得
1
2mv2A＝2mgR＋1
2mv20，解得 vA＝6 m/s.
从 N 点到 A 点，物块 m 做匀减速直线运动 v2N－v2A＝2μgL.解得 vN＝10 m/s.
弹射器的弹簧对物块 m 所做的功 W＝1
2mv2N－1
2mv2＝48 J.
答案 (1)4.5 s (2)48 J
8.如图，质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2 的物体 B 相连，弹簧
的劲度系数为 k，A、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A，
另一端连轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂
一质量为 m3 的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升.若将 C
换成另一质量为(m1+m3)的物体 D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B 刚离地时
D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g.
【解析】开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为 x1，有 kx1=m1g ①
挂 C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设 B 刚要离地时弹簧伸长量为 x2，有 kx2=m2g ②
B 不再上升，表示此时 A 和 C 的速度为零，C 已降到最低点.
由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
)()( 211213 xxgmxxgmE ③
C 换成 D 后，当 B 刚离地时弹簧势能的增量与第一次相同，由能量关系得
Exxgmxxgmmvmvmm )()()(2
1)(2
1
2112113
2
1
2
13 ④
由③④式得 )()2(2
1
211
2
31 xxgmvmm ⑤ 得
kmm
gmmmv )2(
)(2
31
2
211
9．过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直
平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D
间距相等，半径 R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为 m=1.0kg 的小球（视为质点），从轨道的左
侧 A 点以 v0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1=6.0m。小球与水平轨道间的
动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重
力加速度取 g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C 间距 L 应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半
径 R3 应满足的条件；小球最终停留点与起点 A 的距离。
答案：（1）10.0N；（2）12.5m
(3) 当 30 R 0.4m 时， 36.0mL ；当 31.0m 27.9mR 时， L 26.0m
解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1 根据动能定理
2 2
1 1 1 0
1 12 2 2mgL mgR mv mv ①
小球在最高点受到重力 mg 和轨道对它的作用力 F，根据牛顿第二定律
2
1
1
g vF m m R
②由①②得 10.0NF ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，由题意
2
2
2
vmg m R
④
2 2
1 2 2 0
1 12 2 2mg L L mgR mv mv ⑤由④⑤得 L 12.5m ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为 v3，应满足
2
3
3
vmg m R
⑦ 2 2
1 3 3 0
1 12 2 2 2mg L L mgR mv mv ⑧
由⑥⑦⑧得 3R 0 4. m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理
2
1 3 0
12 2 0 2mg L L mgR mv 解得 3R 1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R3 最大值应满足 2 22
2 3 3 2R R L R -R
解得 R3=27.9m
综合 I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
30 R 0.4m 或 31.0m 27.9mR
当 30 R 0.4m 时，小球最终焦停留点与起始点 A 的距离为 L′，则 2
0
1- 0 2mgL mv
36.0mL
当 31.0m 27.9mR 时，小球最终焦停留点与起始点 A 的距离为 L〞，则
1L L 2 2 26.0mL L L
10. 如图所示，物体 A 放在足够长的木板 B 上，木板 B 静止于水平面。t=0 时，电动机通过
水平细绳以恒力 F 拉木板 B，使它做初速度为零，加速度 aB=1.0m/s2 的匀加速直线运动。已
知 A 的质量 mA 和 B 的质量 mg 均为 2.0kg,A、B 之间的动摩擦因数 1 =0.05，B 与水平面之
间的动摩擦因数 2 =0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度 g 取 10m/s2。
求
（1）物体 A 刚运动时的加速度 aA （2）t=1.0s 时，电动机的输出功率 P；
（3）若 t=1.0s 时，将电动机的输出功率立即调整为 P`=5W，并在以后的运动过程中始终保
持这一功率不变，t=3.8s 时物体 A 的速度为 1.2m/s。则在 t=1.0s 到 t=3.8s 这段时间内木板 B
的位移为多少？
【解析】（1）物体 A 在水平方向上受到向右的摩擦力，由牛顿第二定律得 1 A A Am g m a
代入数据解得 20.5 /Aa m s
（2）t=1.0s，木板 B 的速度大小为 1 /Bv a t m s
木板 B 所受拉力 F，由牛顿第二定律有 1 2 ( )A A B B BF m g m m g m a
解得：F=7N 电动机输出功率 P= Fv=7W
（3）电动机的输出功率调整为 5W 时，设细绳对木板 B 的拉力为 'F ，则
' 'P F v 解得 'F =5N
木板 B 受力满足 1 2 ( ) 0A A BF m g m m g
所以木板 B 将做匀速直线运动，而物体 A 则继续在 B 上做匀加速直线运动直到 A、B 速度
相等。设这一过程时间为 't ，有 1 1 1( ')v a t t
这段时间内的位移 1 1 'S v t ④
A、B 速度相同后，由于 F＞ 2 ( )A Bm m g 且电动机输出功率恒定，A、B 将一起做加速度
逐渐减小的变加速运动，由动能定理有：
2 2
2 1 2 2 1
1 1'( ' ) ( ) ( ) ( )2 2A B A B A A BP t t t m m gS m m v m m v
由以上各式代入数学解得：木板 B 在 t=1.0s 到 3.8s 这段时间内的位移为 1 2 3.03s s s m
11.如图所示，一质量为 0.5m kg 的小物体从足够高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一
水平传送带。已知物体与传送带之间的动摩擦因数为 0.2 ，传送带水平部分的长度
5L m ，两端的传动轮半径为 0.2R m ，在电动机的带动下始终以 15 /rad s
的角速度沿顺时针匀速转运，传送带下表面离地面的高度 h 不变。如果物体开始沿曲面下滑
时距传送带表面的高度为 H ，初速度为零， g 取 210 /m s 。求：
(1)当 0.2H m 时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能。
(2)当 1.25H m 时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度。
(3) H 在什么范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置。
【解析】传送带匀速运动的速度 3 /v R m s
物块与传送带问有相对运动时加速度的大小 22 /fa m sm
(1)当 1 0.2H m 时，设物块滑上传送带的速度为 1v ，
则 1
1 2
1
2mgH mv (1 分) 1 12 2 /v gH m s
相对滑动时间 1
1 0.5v vt sa
物块对地位移 2
1 1 1 1
1 1.252s v t at m
传送带前进位移 2 1 1.5s vt m
上述过程中电动机多消耗的电能
2 2
2 1 1
1( ) ( ) 1.52KW Q E mg s s m v v J (1 分)
(2)当 2 1.25H m 时，物块滑上传送带的速度为 2v
2
2 2
1
2mgH mv (1 分) 2 22 5 /v gH m s v
物块减速时间 2
2 1v vt sa
(1 分)
物块前进距离 ' 2
1 2 2 2
1 42S v t at m L (1 分)
2t 时间内传送带前进 '
2 2 3S v t m (1 分)
划痕长度 ' '
1 2 1S S S m (1 分)
(3)设物体滑上传送带的初速度为 3v 时，减速到右端的速度刚好为 v
则 2 2
3 2v v aL (1 分) 2 2
3 29( / )v m s
又 2
3 3
1
2mgH mv (1 分) 3 1.45H m (1 分)
即 0 1.45H m 时，落地点位置不变。(1 分)
12． 山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪坡由 AB 和 BC 组成，AB 是倾角为 37°的
斜坡，BC 是半径为 R=5m 的圆弧面，圆弧面和斜面相切于 B，与水平面
相切于C，如图所示，AB竖直高度差hl=8.8m，竖直台阶CD高度差为h2=5m，
台阶底端与倾角为 37°斜坡 DE 相连．运动员连同滑雪装备总质量为
80kg，从 A 点由静止滑下通过 C 点后飞落到 DE 上(不计空气阻力和轨道
的摩擦阻力，g 取 10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)．求：
(1)运动员到达 C 点的速度大小；
(2)运动员经过 C 点时轨道受到的压力大小；
(3)运动员在空中飞行的时间．
【解析】⑴A→C 过程，由动能定理得： 2
1 2
1)( CmvRhmg
△R= R (1－cos37°) （1 分） vc=14m/s
⑵在 C 点，由牛顿第二定律有：
R
mvmgF C
C
2
（2 分） Fc=3936N
由牛顿第三定律知，运动员在 C 点时轨道受到的压力大小为 3936N.
⑶设在空中飞行时间为 t，则有：tan37°=
tv
hgt
c
2
2
2
1
t = 2.5s (t =－0.4s 舍去)
13．如图所示,水平桌面上有一轻弹簧,左端固定在 A 点, 弹簧处于自然状态时其右端位于 B
点。水平桌面右侧有一竖直放置的内表面光滑、粗细可忽略不计的圆管轨道 MNP，其形状
为半径 R=0.8m 的圆剪去了左上角 135°的圆弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距
离也是 R。 用质量 m1=2.0kg 的物块将弹簧缓慢压缩到 C 点 ,释放后弹簧恢复原长时物块恰
停止在 B 点。用同种材料、质量为 m2=0.2kg 的物块将弹簧也缓慢压缩到 C 点释放,物块过 B
点（B 点为弹簧原长位置）后做匀减速直线运动,其位移与时间的关系为 x=6t – 2t2 物块从桌
面右边缘 D 点飞离桌面后,恰在 P 点无碰撞地进入圆管轨道。运动过程中,物块可视为质
点,g=10m/s2。
（1）求 m2 运动至 D 点时的速度大小；（2）求 BP 间 的水平距离；
（3）计算分析 m2 经圆管轨道能否到达最高点 M，若能则求到达最高点 M 时 m2 对轨道壁
的压力；
（4）求释放 m2 后，m2 在运动过程申克服摩擦力做的功。
第二部分 电磁学
一．选择题
专题一：静电场
【典型例题】
例题 1.如图所示，在 x 轴上相距为 L 的两点固定两个等量异种电荷+Q、-Q，虚线是以+Q 所
在点为圆心、
2
L 为半径的圆，a、b、c、d 是圆上的四个点，其中 a、c 两点在 x 轴上，b、d
两点关于 x 轴对称，下列说法正确的是（ABD ）
A、b、d 两点处的电势相同 B、四个点中 c 点处的电势最低
C、b、d 两点处的电场强度相同
D、将一试探电荷+q 沿圆周由 a 点移至 c 点，+q 的电势能减小
例题 2.如图所示，在 x 轴上关于原点 O 对称的两点固定放置等量异种点电荷+Q 和-Q，x 轴
上的 P 点位于的右侧。下列判断正确的是（ AC ）
A．在 x 轴上还有一点与 P 点电场强度相同
B．在 x 轴上还有两点与 P 点电场强度相同
C．若将一试探电荷+q 从 P 点移至 O 点，电势
能增大
D．若将一试探电荷+q 从 P 点移至 O 点，电势能减小
例题 3.如图所示，在 y 轴上关于 O 点对称的 A、B 两点有等量同种点电荷＋Q，在 x 轴上 C
点有点电荷－Q，且 CO＝OD， ∠ADO＝60°．下列判断正确的是【BD 】
A．O 点电场强度为零
B．D 点电场强度为零
C．若将点电荷＋q 从 O 移向 C，电势能增大
D．若将点电荷－q 从 O 移向 C，电势能增大
例题 4.如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N 为对称线上两点。下列说法正确的是
【AC】
A．M 点电势一定高于 N 点电势
B．M 点场强一定大于 N 点场强
C．正电荷在 M 点的电势能大于在 N 点的电势能
D．将电子从 M 点移动到 N 点，电场力做正功
例题 5.某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是【BD】
A. c 点场强大于b 点场强 B. a 点电势高于b 点电势
C.若将一试电荷 q 由 a 点释放，它将沿电场线运动到b 点
+Q
+Q
－Q
A
y
C O D x
B
60°
D.若在 d 点再固定一点电荷 Q ，将一试探电荷 q 由 a 移至 b 的过程中，电势能减小
例题 6.如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN 为两电荷连线的中垂线，a、b、c 三点
所在直线平行于两电荷的连线，，且 a 与 c 关于 MN 对称，b 点位于 MN 上，d 点位于两电荷的
连线上。以下判断正确的是【BC 】
A.b 点场强大于 d 点场强
B.b 点场强小于 d 点场强
C.a、b 两点的电势差等于 b、c 两点间的电势差
D.试探电荷+q 在 a 点的电势能小于在 c 点的电势能
例题 7.图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一
定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c 三点是实线与虚线
的交点。则该粒子[CD]
A．带负电
B．在 c 点受力最大
C．在 b 点的电势能大于在 c 点的电势能
D．由 a 点到 b 点的动能变化大于有 b 点到 c 点的动能变化
【能力训练】
1.某电场的部分电场线如图所示，A、B 是一带电粒子仅在电场力作
用下运动轨迹(图中虚线)上的两点，下列说法中正确的是 B
A、粒子一定是从 B 点向 A 点运动 B、粒子在 A 点的加速度大于
它在 B 点的加速度
C、粒子在 A 点的动能小于它在 B 点的动能 D、电场中 A 点的电
势高于 B 点的电势
2．A、B 两个点电荷在真空中所产生电场的电场线（方向未标出）如图 1 所示。图中 C 点
为两点电荷连线的中点，MN 为两点电荷连线的中垂线，D 为中垂线上的一点，电场线的分
布关于 MN 左右对称。则下列说法中正确的是【 ACD 】
A．这两点电荷一定是等量异种电荷
B．这两点电荷一定等量同种电荷
C．D、C 两点的电势一定相等
D．C 点的电场强度比 D 点的电场强度大
3.如图所示，O 为两个等量异号点电荷连线中点，P 为连线中垂线上的任意一
点，分别用φ0、φP、E0、EP 表示 O、P 两点的电势和场强的大小，则：B
A、φ0＞φP，E0＞EP B、φ0=φP，E0＞EP
C、φ0＜φP，E0＞EP D、φ0＞φP，E0=EP
4．如图所示，某无限长粗糙绝缘直杆与等量异种电荷连线的中垂线重合，杆水平放置，杆
上有 A、B、O 三点，其中 O 为等量异种电荷连线中点，AO=BO．现将一带电小圆环从杆
上 A 点以初速度 v0 向 B 点滑动，滑到 B 点时速度恰好为 O，则关于小圆环的运动，下列说
法正确的是【 AC】
A．运动的加速度先变大再变小
B．电场力先做正功后做负功
C．运动到 O 点的动能为初动能的一半
D．运动到 O 点的速度小于 v0/2
5．如图所示，a、b 为竖直向上的电场线上的两点，一带电质点在 a 点由静止释放，沿电场
线向上运动，到 b 点刚好速度为零。则下述判断错误的是【C】
A．带电质点在 a、b 两点所受的电场力都是竖直向上的 B．a 点的电势比 b 点的电势高
C．带电质点在 a 点的电势能比在 b 点的电势能小 D．a 点的电场强度比 b 点的电场强度大
6．图中虚线表示匀强电场的等势面 1、2、3、4。一带正电的粒子只在电场力的作用下从电
场中的 a 点运动到 b 点，轨迹如图中实线所示。由此可判断（ABD ）
A．1 等势面电势最高
B．粒子从 a 运动到 b，动能增大
C．粒子从 a 运动到 b，电势能增大
D．在运动中粒子的电势能与动能之和不变
7．如图所示，一簇电场线的分布关于 y 轴对称，O 是坐标原点，M、N、P、Q 是以 O 为圆
心的一个圆周上的四个点，其中 M、N 在 y 轴上，Q 点在 x 轴上，则[BD]
A．M 点的电势比 P 点的电势高 B．OM 间的电势差小于 NO 间的电势差
C．一正电荷在 O 点时的电势能小于在 Q 点时的电势能
D．将一负电荷由 M 点移到 P 点，电场力做正功
8．甲乙两图分别表示两个等量正电荷和两个等量异号电荷的电场，O 为两电
荷连线的中点，P、Q 是连线上关于 O 对称的两点，M、N 为连线中垂线上关于 O 对称的两
点，若带电量为-q 的粒子在电气中仅受电场力作用，则（ BC ）
A．该粒子在两种电场中都可能沿直线运动经过 M、N
B．该粒子在两种电场中都可能沿直线运动经过 P、Q
C．该粒子在图甲所示电场中可能绕 O 点做匀速圆周运动经过 M、N
D．该粒子在图乙所示电场中可能绕 O 点做匀速圆周运动经过 M、N
9.如下图所示，在点电荷Q形成的电场中，a、b两点的同一等势面上，c、d两点在另外同一
等势面上，甲、乙两带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线。若两粒子通过a点时具有相
同的动能，则 （ ACD ）
A.甲、乙两粒子带异号电荷 B.甲粒子经过c点时与乙粒子经过d点时的动能相同
C.两粒子经过b 点时的动能相同
D.若取无穷远处为零电势，则甲粒子在c点的电势能小于乙粒子在d点时的电势能
10．如图所示，直线是真空中两点电荷形成的电场中的一条电场，A、B 是这条直线上的两
点，一个带正电的粒子在只受电场力的情况下，以速度 vA 经过 A 点沿直线向 B 点运动，经
一段时间以后，该带电粒子以速度 vB 经过 B 点，且 vB 与 vA 方向相反，则(ACD)
A．A 点的电势一定低于 B 点的电势 B．A 点的场强一定大于 B 点的场强
C．该带电粒子在 A 点的电势能一定小于它在 B 点的电势能
D．该带电粒子在 A 点时的动能与电势能之和等于它在 B 点时的动能与电势能之和
11．图中虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线，两粒子 M、N 质量相等，所
带电荷的绝对值也相等．现将 M、N 从虚线上的 O 点以相同速率射出，两粒子在电场中运动
的轨迹分别如图中两条实线所示．点 a、b、c 为实线与虚线的交点．已知 O 点电势高于 c
点，若不计重力，则(BD)
A．M 带负电荷，N 带正电荷 B．N 在 a 点的速度与 M 在 c 点的速度大小相同
C．N 在从 O 点运动至 a 点的过程中克服电场力做功
D．M 在从 O 点运动至 b 点的过程中，电场力对它做的功等于零
12．如图所示，A、B 为两个固定的等量的同种正电荷，在它们连线的中点处有一个可以自
由运动的正电荷 C，现给电荷 C 一个垂直于连线的初速度 v0，若不计电荷 C 所受的重力，
则关于电荷 C 运动过程中的速度和加速度情况，下列说法正确的是【BD】
A．加速度始终增大
B．加速度先增大后减小
C．速度始终增大，最后趋于无穷大
D．速度始终增大，最后趋于某有限值
13．如图所示，一电场的电场线分布关于 y 轴(沿竖直方向)对称，O、M、N 是 y 轴上的三个
点，且 OM＝MN.P 点在 y 轴右侧，MP⊥ON.则(AD)
A．M 点的电势比 P 点的电势高
B．将负电荷由 O 点移动到 P 点，电场力做正功
C．M、N 两点间的电势差大于 O、M 两点间的电势差
D．在 O 点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿 y 轴做直线运动
+
a
b
c
p
q Q
M
N
14．如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且 AB=BC，电场中的 A、B、C 三 点的场强
分别为 EA、EB、EC，电势分别为 A 、 B 、 C ，AB、BC 间的电势差分别为 UAB、UBC，则
下列关系中正确的有 （ ABC）
A． A ＞ B ＞ C
B．EC＞EB＞EA
C．UAB＜UBC
D．UAB＝UBC
15．如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为+Q，虚线表示该点电荷电场中的等
势面。两个一价离子 M、N（不计重力和它们之间的电场力）先后从 a 点以
相同的速率 v0 射入该电场，运动轨迹分别为曲线 alb 和 arc，其中 p、q 分
别是它们离固定点电荷最近的位置。下列说法中正确的是（ABC）
A．M 是负离子，N 是正离子
B．M 在 p 点的速率大于 N 在 q 点的速率
C．M 在 b 点的速率等于 N 在 c 点的速率
D．M 从 p→b 过程电场力做的功等于 N 从 a→q 过程电场力做的功
专题二：电路与交流电
【典型例题】
例题 1。如图甲所示为交流发电机的示意图，两磁极 N、S 间的磁场可视为水平方向匀强磁
场，○A 为交流电流表，线圈绕垂直于磁场的水平轴 OO＇沿逆时针方向匀速转动，从图示
位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图像如图乙所示。以下判断正确的是（ AC ）
A、电流表的示数为 10A B、线圈转动的角速度为 50πrad/s
C、0.01s 时，线圈平面与磁场方向平行 D、0.02s 时，电阻 R 中电流的方向自右向左
例题 2.如图所示，理想变压器的原、副线圈匝数比为 1:5，原线圈两端的交变电压为
20 2 sin 100 Vu t 氖泡在两端电压达到 100V 时开始发光，下列说法中正确的有【AB】
A．开关接通后，氖泡的发光频率为 100Hz
B．开关接通后，电压表的示数为 100 V
C．开关断开后，电压表的示数变大
D．开关断开后，变压器的输出功率不变
例题 3.某小型水电站的电能输送示意图如下。发电机的输出电压为 200V，输电线总电阻为
r，升压变压器原副线圈匝数分别为 n，n2。降压变压器原副线匝数分别为 a3、n4（变压器均
为理想变压器）。要使额定电压为 220V 的用电器正常工作，则（AD ）
A． 32
1 4
nn
n n
B． 32
1 4
nn
n n
C．升压变压器的输出电压等于降压变压器的输入电压
D．升压变压器的输出功率大于降压变压器的输入功率
例题 4.如图甲所示，理想变压器原、副线圈的匝数比为 10：1，R1＝20 ，R2
＝30 ，C 为电容器。已知通过 R1 的正弦交流电如图乙所示，则（C ）
A.交流电的频率为 0.02 Hz
B.原线圈输入电压的最大值为 200 2 V
C.电阻 R2 的电功率约为 6.67 W
D.通过 R3 的电流始终为零
例题 5.题图为一种早期发电机原理示意图，该发电机由固定的圆形线圈和一对用铁芯连接的
圆柱形磁铁构成，两磁极相对于线圈平面对称，在磁极绕转轴匀速转动过程中，磁极中心在
线圈平面上的投影沿圆弧 XOY 运动，（O 是线圈中心），则（ D）
A.从 X 到 O，电流由 E 经 G 流向 F，先增大再减小
B.从 X 到 O，电流由 F 经 G 流向 E，先减小再增大
C.从 O 到 Y，电流由 F 经 G 流向 E，先减小再增大
D.从 O 到 Y，电流由 E 经 G 流向 F，先增大再减小
例题 6.一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图
甲所示。已知发电机线圈内阻为 5.0 ，则外接一只电阻为 95.0 的灯泡，如图乙所示，则
【D】
A.电压表○v的示数为 220v B.电路中的电流方向每秒钟改变 50 次
C.灯泡实际消耗的功率为 484W D.发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为 24.2J
V
乙
t/×10-2
e/V
甲
O 1 2
220 2
220 2
O
O/
例题 7.如图，理想变压器的原线圈接交流电压，副线圈通过有一定电阻 r 的输电线接用电器
1R 和 2R ，A、V 分别为交流电流表和交流电压表，将 S 接通时（ A ）
A．V 示数减小，A 示数增大， 1R 功率减小
B．V 示数减小，A 示数减小， 1R 功率减小
C．V 示数减小，A 示数减小， 1R 功率增大
D．V 示数增大，A 示数增大， 1R 功率增大
例题 8。如图所示，理想变压器原、副线圈的匝数比为 10 : 1,b 是原线圈的中心接头，电压
表 V 和电流表 A 均为理想电表，除滑动变阻器电阻 R 以外其余电阻均不计，从某时刻开始
在 原 线 圈 c 、 d 两 端 加 上 交 变 电 压 ， 其 瞬 时 值 表 达 式 为
tu 100sin22201 (V)．下列说法中正确的是（A）
A．当单刀双掷开关与 a 连接时，电压表的示数为 22 V
B． st 600
1 时，点 c、d 间的电压瞬时值为 110V
C．单刀双掷开关与 a 连接，滑动变阻器触头 P 向上移动的过程中，电压表和电流表的示数
均变小
D．当单刀双掷开关由 a 扳向 b 时，电压表和电流表的示数均变小
例题 9。如图所示，理想变压器原、副线圈匝数之比为 20∶1,原线圈接正弦交流电源，副线
圈接入“220 V,60 W”灯泡一只，且灯光正常发光。则【C】
A.电流表的示数为
220
23 A B.电源输出功率为 1 200W
C.电流表的示数为
220
3 A D.原线圈端电压为 11 V
例题 10。图 l 、图 2 分别表示两种电压的波形．其中图 l 所示电压按正弦规律变化。下列
说法正确的是【C 】
A．图 l 表示交流电，图 2 表示直流电 B．两种电压的有效值相等
C．图 1 所示电压的瞬时值表达式为：u=311 sin100πtV
D．图 l 所示电压经匝数比为 10 : 1 的变压器变压后．频率变为原来的 1
10
例题 11。某变压器原、副线圈匝数比为 55︰9，原线圈所接电源电压按图示规律变化，副线
圈接有负载。下列判断正确的是
R1
S
r
r
2R
A
V
A．输出电压的最大值为 36V B．原、副线圈中电流之比为 55︰9
C．变压器输入、输出功率之比为 55︰9 D．交流电源有效值为 220V，频率为 50Hz
例题 12。一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示。由图可知（BD）
A．该交流电的电压瞬时值的表达式为 u＝100sin(25t)V
B．该交流电的频率为 25 Hz
C．该交流电的电压的有效值为 100 2 V
D．若将该交流电压加在阻值 R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率时 50 W
例题 13。如图，理想变压器原副线圈匝数之比为 4∶1．原线圈接入一电压为 u＝U0sinωt 的
交流电源，副线圈接一个 R＝27.5 Ω的负载电阻．若 U0＝220 2 V，ω＝100π Hz，则下述
结论正确的是【AC】
A．副线圈中电压表的读数为 55 V
B．副线圈中输出交流电的周期为 1 s100π
C．原线圈中电流表的读数为 0.5 A
D．原线圈中的输入功率为110 2 W
例题 14。如图，一理想变压器原线圈接入一交流电源，副线圈电路中 R1、R2、R3 和 R4 均为
固定电阻，开关 S 是闭合的。V1 和 V2 为理想电压表，读数分别为 U1 和 U2；A1、A2 和 A3
为理想电流表，读数分别为 I1、I2 和 I3。现断开 S，U1
数值不变，下列推断中正确的是【BC】
A．U2 变小、I3 变小 B．U2 不变、I3 变大 C．I1 变小、
I2 变小 D．I1 变大、I2 变大
【能力训练】
1．在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，一个面积为 S 的矩形线圈匀速转动时所产生的交流电
电压随时间变化的波形如图所示，线圈与一阻值 R＝9 Ω的电阻串联在一起，线圈的电阻为
1 Ω.则(CD )
A．通过电阻 R 的电流瞬时值表达式为 i＝10sin 200πt(A)
1 2 3 4 5 60
100
u/V
t/10－2 s
V
A
R
V1 V2
A1 A2
A3 S
R1
R2 R3 R4～
B．电阻 R 两端的电压有效值为 90 V
C．1 s 内电阻 R 上产生的热量为 450 J
D．图中 t＝1×10－2 s 时，线圈位于中性面
2．如图甲所示，一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴 OO′以恒定的角速
度ω转动，从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中产生的交变电流按照图乙所示的
余弦规律变化，在 t＝ π
2ω
时刻(C)
A．线圈中的电流最大 B．穿过线圈的磁通量为零
C．线圈所受的安培力为零 D．穿过线圈磁通量的变化率最大
3． 某交流发电机给灯泡供电，产生正弦式交变电流的图象如图所示，下列说法中正确的是
(D )
A．交变电流的频率为 0.02 Hz
B．交变电流的瞬时表达式为 i＝5cos 50πt(A)
C．在 t＝0.01 s 时，穿过交流发电机线圈的磁通量最大
D．若发电机线圈电阻为 0.4 Ω，则其产生的热功率为 5 W
4．正弦交变电源与电阻 R、交流电压表、交流电流表按照图甲所示的方式连接，R＝200 Ω.
图乙是交变电源输出电压 u 随时间 t 变化的图象．则( BD )
甲 乙
A．交流电压表的读数是 311 V B．交流电流表的读数是 1.1 A
C．R 两端电压随时间变化的规律是 uR＝311cos πt V
D．R 两端电压随时间变化的规律是 uR＝311cos 100πt V
5．如图所示，理想变压器的原、副线圈匝数比为 1∶5，原线圈两端的交变电压为 u＝20 2sin
100πt V．氖泡在两端电压达到 100 V 时开始发光，下列说法中正确的有( AB )
A．开关接通后，氖泡的发光频率为 100 Hz B．开关接通后，电压表的示数为 100 V
C．开关断开后，电压表的示数变大 D．开关断开后，变压器的输出功率不变
6．如图甲所示，变压器原副线圈的匝数比为 3∶1，L1、L2、L3 为三只规格均为“9 V,6 W”
的相同灯泡，各电表均为理想交流电表，输入端交变电压 u 的图象如图 13－2－11 乙表示．则
以下说法中正确的是(BCD )
A．电压表的示数为 27 2 V B．三只灯泡均能正常发光
C．电流表的示数为 2 A D．变压器副线圈两端交变电流的频率为 50 Hz
7．图甲、乙分别表示两种电压的波形，其中图甲所示电压按正弦规律变化，下列说法正确
的是(C )
A．图甲表示交流电，图乙表示直流电
B．两种电压的有效值相等
C．图甲所示电压的瞬时值表达式为 U＝311 sin 100πt V
D．图甲所示电压经匝数比为 10∶1 的变压器变压后，频率变为原来的 1
10
8．正弦交流电经过匝数比为n1
n2
＝10
1
的变压器与电阻 R、交流电压表 V、交流电流表 A 按如图
甲所示方式连接，R＝10 Ω.图乙是 R 两端电压 U 随时间变化的图象．Um＝10 2 V，则下列
说法中正确的是(AB )
A．通过 R 的电流 iR 随时间 t 变化的规律是 iR＝ 2cos 100πt(A)
B．电流表 A 的读数为 0.1 A C．电流表 A 的读数为 2
10
A
D．电压表的读数为 Um＝10 2 V
9．某小型水电站的电能输送示意图如图所示，发电机的输出电压为 200 V，输电线总电阻
为 r，升压变压器原副线圈匝数分别为 n1、n2，降压变压器原副线圈匝数分别为 n3、n4(变压
器均为理想变压器)．要使额定电压为 220 V 的用电器正常工作，则(AD)
A.n2
n1
>n3
n4
B.n2
n1
0
的区域，图中 30 。要使油滴在 x>0 的区域内做匀速圆周运动，需在该区域内加一个匀
强电场。若带电油滴做匀速圆周运动时沿 PN
弧垂直于 x 轴通过了轴上的 N 点，求：
（1）油滴运动速率的大小；
（2）在 x>0 的区域内所加电场的场强大小和方向；
（3）油滴从 x 轴上的 M 点经 P 点运动到 N 点所用的时间。
解答：（1）如图所示，
v0
B
MN
PQ
油滴受三力作用沿直线匀速运动，由平衡条件有 qvB qEsin30 ①
mg qEtan30 ② 解得 v E
B
2 ③
（2）在 x>0 的区域，油滴要做匀速圆周运动，其所受的电场力必与重力平衡，由于油滴带
正电，所以场强方向竖直向上。若设该电场的场强为 E' ，则有 qE mg' ④
由②、④式联立解得 E E' 3
（3）如图所示，弧 PN 为油滴做圆周运动在 x>0，y<0 区域内的圆弧轨迹。过 P 点作垂直于
MP 的直线，交 x 轴于 O'点，则 O'点一定是圆心，且∠ PO N' 120 （2 分）
设油滴从 M 点到 P 点和从 P 点到 N 点经历的时间分别为 t t1 2和
做匀速圆周运动时有 qvB m v
R
2
⑤ 解得 R E
gB
2 3 2
2 ⑥
所以 t MP
v
R
v
E
gB1
30 3 cot ⑦ t PO N T R
v
E
gB2 360
2
3
2 3
3
∠ ' ⑧
全过程经历的时间为 t t t E
gB
1 2
9 2 3
3
( )
4．如图所示，在 xOy 平面内的第Ⅲ象限中有沿－y 方向的匀强电场，场强大小为 E．在第
I 和第 II 象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里．有一个质量为 m，电荷量为 e 的电子，
从 y 轴的 P 点以初速度 v0 垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力），经电场偏转后，
沿着与 x 轴负方向成 450 角进入磁场，并能返回到原出发点 P.
(1)简要说明电子的运动情况，并画出电子运动轨迹的示意图；
(2)求 P 点距坐标原点的距离；
(3)电子从 P 点出发经多长时间再次返回 P 点？
【解析】(1)轨迹如图中虚线所示．设 sOP ，在电场中偏转 450，
说明在 M 点进入磁场时的速度是 02v ，由动能定理知电场力做功
2
02
1 mvEes ，得 tvs 2
0 ，由 tvOM 0 ，可知 sOM 2 ．由对
称性，从 N 点射出磁场时速度与 x 轴也成 450，又恰好能回到 P 点，因此 sON ．可知在
磁场中做圆周运动的半径 sR 25.1 ； (2)
eE
mvs 2
2
0 ；
(3）在第Ⅲ象限的平抛运动时间为
eE
mv
v
st 0
0
1
2 ，在第 IV 象限直线运动的时间为
eE
mv
v
st 22
2 0
0
3 ，在第 I、Ⅱ象限运动的时间是
eE
mvsR
v
R
t 4
2322
3,
2
24
3
0
0
2
，
所以
eE
mvt 8
9 0
2
因此
eE
mvtttt 8
3)34( 0
321 ．
5.如图所示，一个质量为 m，带电量为+q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应
强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点 b 处
穿过 x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 300.粒子的重力不计，试求:
(1)圆形匀强磁场区域的最小面积.
(2)粒子在磁场中运动的时间.
(3)b 到 O 的距离.
【解析】(1)带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力
R
vmBqv
2
0
其转动半径为
qB
mvR 0
b x
y
O m,qv0
30°
b x
y
O R
v0
60°
l
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为:
Rl 3
要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为 l 的一半，即:
qB
mvRlr 0
2
3
2
3
2
1 其面积为 22
2
0
2
2
min 4
3
Bq
vmrS
(2)带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为 1200，带电粒子在磁场中运动的时间为
转动周期的
3
1 ，
qB
mvRTt 3
2
3
/2
3
1 0
(3)带电粒子从 O 处进入磁场，转过 1200 后离开磁场，再做直线运动从 b 点射出时 ob
距离:
qB
mvRd 033
6. 如图所示，在坐标系 xOy 中，过原点的直线 OC 与 x 轴正向的夹角＝120，在 OC 右侧
有一匀强电场，在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠，右边界为 y
轴，左边界为图中平行于 y 轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里。
一带正电荷 q、质量为 m 的粒子以某一速度自磁场左边界上的 A 点射入磁场区域，并从 O
点射出，粒子射出磁场的速度方向与 x 轴的夹角＝30，大小为 v，粒子在磁场内的运动轨
迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的 2 倍，粒子进入电场后，在电场
力的作用下又由 O 点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从 A 点射入
到第二次离开磁场所用时间恰好粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求：
（1）粒子经过 A 点时的速度方向和 A 点到 x 轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场所用的时间。
【解析】（1）设磁场左边界与 x 轴相交子 D 点，与 CO 相交于O点，由几何关系可知，直
线 OO 与粒子过 O 点的速度 v 垂直。在直角三角形中 DOO 已知 DOO =300,设磁场左右
边界间距为 d，则 OO =2d。依题意可知，粒子第一次进人磁场的运动轨迹的圆心即为O点，
圆弧轨迹所对的圈心角为 300 ，且 OO 为圆弧的半径 R。
由此可知，粒子自 A 点射人磁场的速度与左边界垂直。
A 点到 x 轴的距离：AD=R(1－cos300)………………………………①
由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律，得：
RmBq
2vv ②联立①②式得： 3(1 )2
mvAD qB
③
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T 第一次在磁场中飞行的
时间为 t1，有：
t1=T/12……④T=2πm/qB……⑤
依题意．匀强电场的方向与 x 轴正向夹角应为 1500。由几何关系可知，粒子再次从 O 点进
人磁场的速度方向与磁场右边界夹角为 600。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为
O’’，O’’必定在直线 OC 上。设粒子射出磁场时与磁场右边界文于 P 点，则∠OO’’P =1200．设
粒子第二次进人磁场在磁场中运动的时问为 t2 有 t2=T/3⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为 t 3，依题意得 t3=T－(t1+t2)⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：―v=v―at3…⑧a=qE/m⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得 E=12Bv/7π⑩
粒子自 P 点射出后将沿直线运动。
设其由 P 点再次进人电场，由几何关系知：∠O’’P’P =300……⑾
消
三角形 OPP’为等腰三角形。设粒子在 P、P’两点间运动的时问为 t4，有 t4=PP’/v⑿
又由几何关系知：OP= 3 R⒀联立②⑿⒀式得：t4= 3 m/qB
7.如图所示，在 y>0 的区域内有沿 y 轴正方向的匀强电场，在 y<0 的区域内有垂直坐标平面
向里的匀强磁场。一电子（质量为 m、电量为 e）从 y 轴上 A 点以沿 x 轴正方向的初速度 v0
开始运动。当电子第一次穿越 x 轴时，恰好到达 C 点；当电子第二次穿越 x 轴时，恰好到达
坐标原点；当电子第三次穿越 x 轴时，恰好到达 D 点。C、D
两点均未在图中标出。已知 A、C 点到坐标原点的距离分别为
d、2d。不计电子的重力。求
（1）电场强度 E 的大小；
（2）磁感应强度 B 的大小；
（3）电子从 A 运动到 D 经历的时间 t．
【解析】电子的运动轨迹如右图所示 （2 分）
（若画出类平抛和圆运动轨迹给 1 分）
（1）电子在电场中做类平抛运动
设电子从 A 到 C 的时间为 t1
102 tvd （1 分）
2
12
1 atd （1 分）
m
eEa 求出 E =
ed
mv
2
2
0
（2）设电子进入磁场时速度为 v，v 与 x 轴的夹角为θ，则
1tan
0
1
v
at θ = 45° 求出 02vv
电子进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力
r
vmevB
2
由图可知 dr 2 求出
ed
mvB 0
（3）由抛物线的对称关系，电子在电场中运动的时间为 3t1=
0
6
v
d （2 分）
电子在磁场中运动的时间 t2 =
02
32
4
3
4
3
v
d
eB
mT （2 分）
E
y
x
v0
O× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
A
B
Dθ
C
v
E
y
x
v0
× × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
A
B
O
θ
电子从 A 运动到 D 的时间 t=3t1+ t2 =
02
)4(3
v
d （2 分）
8.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为 E、
方向水平向右，电场宽度为 L；中间区域和右侧匀强磁场的磁感应强度大小均为 B，方向分
别垂直纸面向外和向里。一个质量为 m、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边
缘的 O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到 O 点，然后重
复上述运动过程。求：
（1）中间磁场区域的宽度 d；
（2）带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t。
【答】(1):
q
mEL
BRd 6
2
160sin 0 (2):
qB
m
qE
mLtttt 3
722321
9.如图所示，K 与虚线 MN 之间是加速电场.虚线
MN 与 PQ 之间是匀强电场，虚线 PQ 与荧光屏之
间是匀强磁场，且 MN、PQ 与荧光屏三者互相平
行.电场和磁场的方向如图所示.图中A 点与 O 点的
连线垂直于荧光屏.一带正电的粒子从 A 点离开加
速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转
电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰
好垂直地打在荧光屏上.已知电场和磁场区域在竖
直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为 U=
2
1 Ed，式中的 d 是偏转电场的宽
度，磁场的磁感应强度 B 与偏转电场的电场强度 E 和带电粒子离开加速电场的速度 v0 关系
符合表达式 v0=
B
E ，若题中只有偏转电场的宽度 d 为已知量，则：
（1）画出带电粒子轨迹示意图；（2）磁场的宽度 L 为多少？
（3）带电粒子在电场和磁场中垂直于 v0 方向的偏转距离分别是多少？
【解析】（1）轨迹如图所示。
（2）粒子在加速电场中由动能定理有 2
0vmqU 2
1 ①
粒子在匀强电场中做类平抛运动，设偏转角为 ，有
0
tan yv
v
② yv at ③ qEa m
④
0
dt v
⑤
U=
2
1 Ed ⑥
由①②③④⑤⑥解得：θ=45º
由几何关系得：带电粒子离开偏转电场速度为 02v
B BE
L d
O
粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律有：qvB=mv2
R
在磁场中偏转的半径为
dqE
mv
vqE
mv
qB
mvR 22
/
2 2
0
0
0 ，由图可知，磁场宽度 L=Rsinθ=d
（3）由几何关系可得：带电粒子在偏转电场中距离为 dy 5.01 ，
在磁场中偏转距离为
10.如图所示，M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2 为板上正对的小孔，N 板
右侧有两个宽度均为 d 的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为 B，方向分别垂直于纸面向外
和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与 S1、S2 共线的 O 点为原点，向上为正方向
建立 x 轴．M 板左侧电子枪发射出的热电子经小孔 S1 进入两板间，电子的质量为 m，电荷
量为 e，初速度可以忽略．
(1)当两板间电势差为 U0 时，求从小孔 S2 射出的电子的速度 v0
(2)求两金属板间电势差 U 在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上．
(3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨
迹．
(4)求电子打到荧光屏上的位置坐标 x 和金属板间电势差 U 的函数关系．
【答案】（1）根据动能定理，得 2
0 0
1
2eU mv 由此可解得 0
0
2eUv m
（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有 mvr eB
d
而 21
2eU mv 由此即可解得
2 2
2
d eBU m
（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示
ddy 414.02)2
21(2
（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为 r ，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置
坐标为 x ，则由（3）中的轨迹图可得 2 22 2x r r d 注意到 mvr eB
和 21
2eU mv
所以，电子打到荧光屏上的位置坐标 x 和金属板间电势差 U 的函数关系为
2 2 22 ( 2 2 )x emU emU d e BeB
（
2 2
2
d eBU m
）
