2021高考数学一轮复习专练14导数与函数的极值最值含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练14导数与函数的极值最值含解析理新人教版

专练14　导数与函数的极值最值 命题范围：函数的极值最值及导数的应用 ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·邯郸一中测试]函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C．0 D．不存在 ‎2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为(　　)‎ A. B．6‎ C. D．7‎ ‎3．函数f(x)＝ex＋x的极值点的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎4．[2020·河南驻马店测试]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)‎ A．11或18 B．11‎ C．18 D．17或18‎ ‎5．[2020·宜昌一中测试]已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－1,2)‎ B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ C．(－3,6)‎ D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎6．[2020·鞍山一中测试]已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝(　　)‎ A．20 B．18‎ C．3 D．0‎ ‎7．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1] B．[1，＋∞)‎ C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)‎ ‎8．若a>0，b>0且f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，t＝ab，则实数t的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎9．已知f(x)＝x3－3x，过A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(－2,3)‎ C．(－1,2) D．(－3，－2)‎ 二、填空题 ‎10．[2020·五省优创名校联考]函数f(x)＝ex－2x在[1，e]上的最小值为________．‎ ‎11．[2020·衡水中学测试]已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．‎ ‎12．若不等式a≤＋lnx对于任意x∈恒成立，则a的取值范围是________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·福州一中测试]若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)‎ A．－1 B．－2e－3‎ C．5e－3 D．1‎ ‎14．已知f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0且a≠1)，若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，则t的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．±2‎ ‎15．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎16．已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．‎ 专练14　导数与函数的极值最值 ‎1．A　f′(x)＝x－＝，且x>0，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0得00，符合题意．∴ ‎∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.‎ ‎5．B　∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由题意得方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝‎4m2‎－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．故选B.‎ ‎6．A　∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在x＝－1两侧先增后减，f(x)在x＝1两侧先减后增，分别计算得f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19，则M－N＝1－(－19)＝20.故选A.‎ ‎7．A　由ex≥k＋x恒成立，∴k≤(ex－x)min，设f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1，∴k≤1.‎ ‎8．D　由题意得f′(x)＝12x2－2ax－2b，‎ ‎∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，∴tmax＝9，故选D.‎ ‎9．D　设切点为(x0，x－3x0)(x0≠1)，‎ 由题意得＝3x－3，‎ 得m＝－2x＋3x－3，‎ 设g(x)＝－2x3＋3x2－3，g′(x)＝－6x2＋6x＝－6x(x－1)，‎ 显然g(x)在x＝0与x＝1处取得极值，‎ 又g(0)＝－3，g(1)＝－2＋3－3＝－2，‎ ‎∴当－30，∴f(x)在[1，e]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝e－2.‎ ‎11．－4‎ 解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意得f′(2)＝0，得a＝3.‎ ‎∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时f(m)min＝f(0)＝－4.‎ ‎12．(－∞，0]‎ 解析：设f(x)＝＋lnx，x∈，‎ f′(x)＝－＋＝，‎ 令f′(x)>0，得10且a≠1时，f′(x)在R上是增函数，‎ 且x＝0时，f′(x)＝0，故f′(x)＝0有唯一解．‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)min＝f(0)．‎ 要使函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，‎ 则方程f(x)＝t±1有三个根．‎ 即只需t－1＝f(x)min＝f(0)＝1，即t＝2，故选B.‎ ‎15. 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.‎ 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，其等价于lnx＋1－2ax＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝2ax－1的图象有两个交点．‎ 以下研究临界状态：①如图所示．当函数h(x)＝lnx与函数g(x)＝2ax－1的图象相切时，设切点为A(m，lnm)，其中m>0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝，‎ ‎∴‎2a＝.‎ 又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，‎ ‎∴k＝，‎ ‎∴＝.解得m＝1，‎ ‎∴当两线相切时，a＝.‎ ‎②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．‎ ‎∴所求a的取值范围是.‎ ‎16．－ 解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)‎ ‎＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．‎ ‎∵cosx＋1≥0，‎ ‎∴当cosx<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当cosx>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎∴当cosx＝，f(x)有最小值．‎ 又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，‎ ‎∴当sinx＝－时，f(x)有最小值，‎ 即f(x)min＝2××＝－.‎