人教新课标A版数学高三高考卷 17届 山东省高考数学卷（文科）

人教新课标A版数学高三高考卷 17届 山东省高考数学卷（文科）

2017 年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设集合 M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则 M∩N=（ ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 2．（5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则 z2=（ ） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 3．（5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5 分）已知 cosx= ，则 cos2x=（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 5．（5 分）已知命题 p： ∃ x ∈ R，x2﹣x+1≥0．命题 q：若 a2＜b2，则 a＜b，下列 命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 6．（5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2， 则空白判断框中的条件可能为（ ） A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5 7．（5 分）函数 y= sin2x+cos2x 的最小正周期为（ ） A． B． C．π D．2π 8．（5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单 位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 （ ） A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 9．（5 分）设 f（x）= 若 f（a）=f（a+1），则 f（ ）=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（5 分）若函数 exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在 f（x）的定义域 上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是（ ） A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11．（5 分）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ= ． 12．（5 分）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 2a+b 的最小值为 ． 13．（5 分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为 ． 14．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+4）=f（x﹣2）．若当 x ∈ [﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则 f（919）= ． 15．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支 与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则 该双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题 16．（12 分）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1， B2，B3 中选择 2 个国家去旅游． （Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； （Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率． 17．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=3， = ﹣6，S△ABC=3，求 A 和 a． 18．（12 分）由四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥 C1﹣B1CD1 后得到的几何体如 图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E ⊥平面 ABCD， （Ⅰ）证明：A1O∥平面 B1CD1； （Ⅱ）设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM⊥平面 B1CD1． 19．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1+a2=6，a1a2=a3． （1）求数列{an}通项公式； （2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 S2n+1=bnbn+1，求数列 的前 n 项和 Tn． 20．（13 分）已知函数 f（x）= x3﹣ ax2，a ∈ R， （1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数 g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论 g（x）的单调性并判断有 无极值，有极值时求出极值． 21．（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的 离心率为 ，椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）动直线 l：y=kx+m（m≠0）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M．点 N 是 M 关于 O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求∠EDF 的最小值． 2017 年山东省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）（2017•山东）设集合 M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则 M∩N=（ ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 【考点】1K：真题集萃；1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；5J ：集合． 【分析】解不等式求出集合 M，结合集合的交集运算定义，可得答案． 【解答】解：集合 M={x||x﹣1|＜1}=（0，2）， N={x|x＜2}=（﹣∞，2）， ∴M∩N=（0，2）， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大， 属于基础题． 2．（5 分）（2017•山东）已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则 z2=（ ） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】根据已知，求出 z 值，进而可得答案． 【解答】解：∵复数 z 满足 zi=1+i， ∴z= =1﹣i， ∴z2=﹣2i， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题． 3．（5 分）（2017•山东）已知 x，y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值 是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z=x+2y 经 过可行域的 A 时，目标函数取得最大值， 由： 解得 A（﹣1，2）， 目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键， 考查计算能力． 4．（5 分）（2017•山东）已知 cosx= ，则 cos2x=（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【考点】GT：二倍角的余弦．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；56 ：三角函数的求值． 【分析】利用倍角公式即可得出． 【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式 cos2x=2cos2x﹣1，且 cosx= ， ∴cos2x=2× ﹣1= ． 故选：D． 【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（5 分）（2017•山东）已知命题 p： ∃ x ∈ R，x2﹣x+1≥0．命题 q：若 a2＜b2， 则 a＜b，下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 【考点】2K：命题的真假判断与应用；2E：复合命题的真假．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；4O：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】先判断命题 p，q 的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案． 【解答】解：命题 p： ∃ x=0 ∈ R，使 x2﹣x+1≥0 成立． 故命题 p 为真命题； 当 a=1，b=﹣2 时，a2＜b2 成立，但 a＜b 不成立， 故命题 q 为假命题， 故命题 p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q 均为假命题； 命题 p∧￢q 为真命题， 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不 等式与不等关系，难度中档． 6．（5 分）（2017•山东）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出 的 y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（ ） A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；5K ：算法和程序框图． 【分析】方法一：由题意可知：输出 y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x＞4，则判 断框中的条件是 x＞4， 方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案． 【解答】解：方法一：当 x=4，输出 y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x＞4， 故选 B． 方法二：若空白判断框中的条件 x＞3，输入 x=4，满足 4＞3，输出 y=4+2=6，不 满足，故 A 错误， 若空白判断框中的条件 x＞4，输入 x=4，满足 4=4，不满足 x＞3，输出 y=y=log24=2， 故 B 正确； 若空白判断框中的条件 x≤4，输入 x=4，满足 4=4，满足 x≤4，输出 y=4+2=6， 不满足，故 C 错误， 若空白判断框中的条件 x≤5，输入 x=4，满足 4≤5，满足 x≤5，输出 y=4+2=6， 不满足，故 D 错误， 故选 B． 【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．（5 分）（2017•山东）函数 y= sin2x+cos2x 的最小正周期为（ ） A． B． C．π D．2π 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；4O：定义法；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期． 【解答】解：∵函数 y= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）， ∵ω=2， ∴T=π， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础 题． 8．（5 分）（2017•山东）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的 产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为（ ） A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 【考点】BA：茎叶图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；27 ：图表型；5I ：概率与统计． 【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得 x，y 的 值． 【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为 65， 故乙组数据的中位数也为 65， 即 y=5， 则乙组数据的平均数为：66， 故 x=3， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题． 9．（5 分）（2017•山东）设 f（x）= 若 f（a）=f（a+1），则 f（ ） =（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】5B：分段函数的应用；3T：函数的值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；56 ：三角函数的求值；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用已知条件，求出 a 的值，然后求解所求的表达式的值即可． 【解答】解：当 a ∈ （0，1）时，f（x）= ，若 f（a）=f（a+1）， 可得 =2a， 解得 a= ，则：f（ ）=f（4）=2（4﹣1）=6． 当 a ∈ [1，+∞）时．f（x）= ，若 f（a）=f（a+1）， 可得 2（a﹣1）=2a，显然无解． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力． 10．（5 分）（2017•山东）若函数 exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在 f （x）的定义域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性 质的是（ ） A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx 【考点】3F：函数单调性的性质．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数 f（x）具有 M 性质的定义，可得 f（x）=2﹣x 时，满足 定义． 【解答】解：当 f（x）=2﹣x 时，函数 exf（x）=（ ）x 在 R 上单调递增，函数 f （x）具有 M 性质， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11．（5 分）（2017•山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ= ﹣3 ． 【考点】96：平行向量与共线向量．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题． 12．（5 分）（2017•山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 2a+b 的最小值为 8 ． 【考点】7F：基本不等式．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等 式的性质，即可求得 2a+b 的最小值． 【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1， 由 2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8， 当且仅当 = ，即 a= ，b=1 时，取等号， ∴2a+b 的最小值为 8， 故答案为：8． 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础 题． 13．（5 分）（2017•山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图 如图，则该几何体的体积为 2+ ． 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】由三视图可知：长方体长为 2，宽为 1，高为 1，圆柱的底面半径为 1， 高为 1 圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积． 【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= ×π×12×1= ， 则该几何体的体积 V=V1+2V1=2+ ， 故答案为：2+ ． 【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式， 考查计算能力，属于基础题． 14．（5 分）（2017•山东）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+4）=f（x ﹣2）．若当 x ∈ [﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则 f（919）= 6 ． 【考点】3L：函数奇偶性的性质．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为 6，则 f （919）=f（153×6+1）=f（1），由 f（x）为偶函数，则 f（1）=f（﹣1），即可求 得答案． 【解答】解：由 f（x+4）=f（x﹣2）．则 f（x+6）=f（x）， ∴f（x）为周期为 6 的周期函数， f（919）=f（153×6+1）=f（1）， 由 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（1）=f（﹣1）， 当 x ∈ [﹣3，0]时，f（x）=6﹣x， f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6， ∴f（919）=6， 故答案为：6． 【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题． 15．（5 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0， b＞0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若 |AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y=± x ． 【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】把 x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣ 2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 【解答】解：把 x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的 根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题 16．（12 分）（2017•山东）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个 欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游． （Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； （Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）从这 6 个国家中任选 2 个，基本事件总数 n= =15，这 2 个国家 都是亚洲国家包含的基本事件个数 m= ，由此能求出这 2 个国家都是亚洲国 家的概率． （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，利用列举法能求出这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率． 【解答】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国 家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游． 从这 6 个国家中任选 2 个，基本事件总数 n= =15， 这 2 个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数 m= ， ∴这 2 个国家都是亚洲国家的概率 P= = = ． （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，包含的基本事件个数为 9 个，分别 为： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2）， （A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3）， 这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共 2 个， ∴这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率 P= ． 【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点， 考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题． 17．（12 分）（2017•山东）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 b=3， =﹣6，S△ABC=3，求 A 和 a． 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形；5A ： 平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得 tanA=﹣1，求出 A 和 c 的 值，再根据余弦定理即可求出 a． 【解答】解：由 =﹣6 可得 bccosA=﹣6，①， 由三角形的面积公式可得 S△ABC= bcsinA=3，② ∴tanA=﹣1， ∵0＜A＜180°， ∴A=135°， ∴c= =2 ， 由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29 ∴a= 【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考查了 学生的运算能力，属于中档题 18．（12 分）（2017•山东）由四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥 C1﹣B1CD1 后得 到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E⊥平面 ABCD， （Ⅰ）证明：A1O∥平面 B1CD1； （Ⅱ）设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM⊥平面 B1CD1． 【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距 离． 【分析】（Ⅰ）取 B1D1 中点 G，连结 A1G、CG，推导出 A1G OC，从而四边形 OCGA1 是平行四边形，进而 A1O∥CG，由此能证明 A1O∥平面 B1CD1． （Ⅱ）推导出 BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而 BD⊥平面 A1EM，再由 BD∥B1D1， 得 B1D1⊥平面 A1EM，由此能证明平面 A1EM⊥平面 B1CD1． 【解答】证明：（Ⅰ）取 B1D1 中点 G，连结 A1G、CG， ∵四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点， ∴四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥 C1﹣B1CD1 后，A1G OC， ∴四边形 OCGA1 是平行四边形，∴A1O∥CG， ∵A1O ⊄ 平面 B1CD1，CG ⊂ 平面 B1CD1， ∴A1O∥平面 B1CD1． （Ⅱ）四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥 C1﹣B1CD1 后，BD B1D1， ∵M 是 OD 的中点，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E⊥平面 ABCD， 又 BD ⊂ 平面 ABCD，∴BD⊥A1E， ∵四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点， ∴AO⊥BD， ∵M 是 OD 的中点，E 为 AD 的中点，∴EM⊥BD， ∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面 A1EM， ∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面 A1EM， ∵B1D1 ⊂ 平面 B1CD1， ∴平面 A1EM⊥平面 B1CD1． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、 线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处 理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 19．（12 分）（2017•山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1+a2=6， a1a2=a3． （1）求数列{an}通项公式； （2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 S2n+1=bnbn+1，求数列 的前 n 项和 Tn． 【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】（1）通过首项和公比，联立 a1+a2=6、a1a2=a3，可求出 a1=q=2，进而利 用等比数列的通项公式可得结论； （2）利用等差数列的性质可知 S2n+1=（2n+1）bn+1，结合 S2n+1=bnbn+1 可知 bn=2n+1， 进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）记正项等比数列{an}的公比为 q， 因为 a1+a2=6，a1a2=a3， 所以（1+q）a1=6，q =q2a1， 解得：a1=q=2， 所以 an=2n； （2）因为{bn} 为各项非零的等差数列， 所以 S2n+1=（2n+1）bn+1， 又因为 S2n+1=bnbn+1， 所以 bn=2n+1， = ， 所以 Tn=3• +5• +…+（2n+1）• ， Tn=3• +5• +…+（2n﹣1）• +（2n+1）• ， 两式相减得： Tn=3• +2（ + +…+ ）﹣（2n+1）• ， 即 Tn=3• +（ + + +…+ ）﹣（2n+1）• ， 即 Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1）• =3+ ﹣（2n+1）• =5﹣ ． 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查等差数列的性质，考查错位相减 法，注意解题方法的积累，属于中档题． 20．（13 分）（2017•山东）已知函数 f（x）= x3﹣ ax2，a ∈ R， （1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数 g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论 g（x）的单调性并判断有 无极值，有极值时求出极值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H： 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；32 ：分类讨论；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线 y=f（x）在点（3，f（3））处的 切线方程， （2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值 【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）= x3﹣x2， ∴f′（x）=x2﹣2x， ∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0， ∴曲线 y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程 y=3（x﹣3），即 3x﹣y﹣9=0 （2）函数 g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx， ∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx）， 令 g′（x）=0，解得 x=a，或 x=0， ①若 a＞0 时，当 x＜0 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（﹣∞，0）上单调 递增， 当 x＞a 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（a，+∞）上单调递增， 当 0＜x＜a 时，g′（x）＜0 恒成立，故 g（x）在（0，a）上单调递减， ∴当 x=a 时，函数有极小值，极小值为 g（a）=﹣ a3﹣sina 当 x=0 时，有极大值，极大值为 g（0）=﹣a， ②若 a＜0 时，当 x＞0 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（﹣∞，0）上单调 递增， 当 x＜a 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（﹣∞，a）上单调递增， 当 a＜x＜0 时，g′（x）＜0 恒成立，故 g（x）在（a，0）上单调递减， ∴当 x=a 时，函数有极大值，极大值为 g（a）=﹣ a3﹣sina 当 x=0 时，有极小值，极小值为 g（0）=﹣a ③当 a=0 时，g′（x）=x（x+sinx）， 当 x＞0 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（0，+∞）上单调递增， 当 x＜0 时，g′（x）＞0 恒成立，故 g（x）在（﹣∞，0）上单调递增， ∴g（x）在 R 上单调递增，无极值． 【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键 是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题 21．（14 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： =1 （a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）动直线 l：y=kx+m（m≠0）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M．点 N 是 M 关于 O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求∠EDF 的最小值． 【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K3：椭圆的标准方程．菁优网版 权所有 【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆 C 过点（ ，1），然后结合离心率可 得椭圆方程； （Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可 求得 D、N 坐标及⊙N 半径，进而将 DN 长度表示出来，可求∠EDF 最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆 C 的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2， ∵椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 ， ∴椭圆 C 过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆 C 的方程为 + =1． （Ⅱ）设 A，B 的横坐标为 x1，x2， 则 A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则 N（0，﹣m）， ∴⊙N 的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令 y= ，则 y′= ， 当 k=0 时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF 的最小值是 60°． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求 解． 参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；qiss；沂蒙松；铭灏 2016；zlzhan； whgcn；cst；ww 方（排名不分先后） 菁优网 2017 年 7 月 31 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．真题集萃 【真题强化】 eg：1．从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为 a，则使命题：“存在 x ∈ （﹣3，3）使关于 x 的不等式 x2+ax+2＜0 有解”为真命题的概率是：（ ） 解：令 f（x）=x2+ax+2，∵存在 x ∈ （﹣3，3）使关于 x 的不等式 x2+ax+2＜0 有解， 故函数 f（x）=x2+ax+2 至少有一个零点在区间（﹣3，3）上， 故有① ，或② ． 解①可得 a＞ ，解②可得 2 ＜a＜ ． 把①②的解集取并集可得 2 ＜a＜+∞，且 a≠ ． 再由 a ∈ 集合{1，2，3，4，5}，可得 a=3、4、5，共 3 个，而所有的 a 共有 5 个， 故所求事件的概率为 ， 故答案为 ． 点评：本题主要是对概念进行了考察，重点考察了韦达定理的应用和概率的表达， 像这种集合采用枚举法来表达，数据又比较少的题，一般的解法就是一一带入然 后验证． eg：2．命题甲：集合 M={x|kx2﹣2kx+1=0}为空集；命题乙：关于 x 的不等式 x2+ （k﹣1）x+4＞0 的解集为 R．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数 k 的取值范围是： 解：∵集合 M={x|kx2﹣2kx+1=0}为空集， 当 k≠0 时，△=（﹣2k）2﹣4k＜0，解得 0＜k＜1， 当 k=0 时，方程变为 1=0，无解，满足题意， 故可得 0≤k＜1； 又∵关于 x 的不等式 x2+（k﹣1）x+4＞0 的解集为 R， ∴△′=（k﹣1）2﹣4×4＜0，解得﹣3＜k＜5， 当甲命题为真，乙命题为假时，可得 [0，1）∩{（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）}= ∅ ， 当甲命题为假，乙命题为真时，可得 {（﹣∞，0）∪[1，+∞）}∩（﹣3，5）=（﹣3，0）∪[1，5）， 故答案为：（﹣3，0）∪[1，5） 点评：这其实是个综合题，主要考察了一元二次函数根的求解和根与系数的关系 以及两个命题的逻辑关系，这种问题个个击破就可以了，先把一个命题的解求出 来，然后在看看两个解之间的关系进行综合． 【解题方法点拨】 从这两个例题当中可以看出集合问题一般喜欢和一元二次函数或者逻辑关 系结合起来一起考，所以在复习这个章节的时候，必须对一元二次函数的基本性 质和逻辑关系的一些基本概念同时复习． 3．复合命题的真假 【知识点的认识】 含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满 足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用 语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判 定．【解题方法点拨】 能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、 疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写 命题 P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对 象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是” 改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不 是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命 题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含 有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是 存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定 形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的 变化，常见关键词及其否定形式附表如下： 关 键 等 于 大 于 小 于 是 能 都 没 至 多 至 少 至 少 至 多 任 意 任 两 P 且 P 或 词 （= ） （ ＞ ） （ ＜ ） 是 有 有 一 个 有 一 个 有 n 个 有 n 个 的 个 Q Q 否 定 词 不 等 于 （ ≠） 不 大 于 （ ≤ ） 不 小 于 （ ≥ ） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣ 1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 ¬P 或 ¬ Q ¬P 且 ¬ Q 若原命题 P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关， 否命题与逆命题是等价命题，同真同假． 4．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确 p、q 及非 p 的真 假，然后由真值表判断复合命题的真假． 注意：“非 p”的正确写法，本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是 实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． 【解题方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中 简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方 法：若“p q”，则“若 p 则 q”为真；而要确定“若 p 则 q”为假，只需举出一个反 例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知 识点多而且全，多以小题形式出现． 5．函数单调性的性质 【知识点的认识】 所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的 值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性．它 是求函数值域或者比较大小的常用工具． 【解题方法点拨】 定义法、导数法、性质法 ①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1＜x2 时都 有 f（x1）＜f（x2）．那么就说 f（x）在 这个区间上是增函数． ②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单 调性）若 f'（x）＞0 则 f（x）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个 孤立的点的导函数为 0 仍为递增函数）． ③性质法：n 个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数 【命题方向】函数单调性的应用． 作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的 单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数 列问题也可以转化为函数来求解． 6．函数奇偶性的性质 【知识点的认识】 ①如果函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x） =﹣f（x），那么函数 f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．② 如果函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x） =f（x），那么函数 f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于 y 轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用 f（0）=0 解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用 f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用 f（x）=f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相 反． 例题：函数 y=x|x|+px，x ∈ R 是（ ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与 p 有关 解：由题设知 f（x）的定义域为 R，关于原点对称． 因为 f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x）， 所以 f（x）是奇函数． 故选 B． 【命题方向】函数奇偶性的应用． 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其 图象一起分析，确保答题的正确率． 7．函数的值 【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值 域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因 变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当 x＞0 时，求 2x+ 的最小值，有 2x+ ≥2 =8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和，易知最小值为 2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行 比较 例题：求 f（x）=lnx﹣x 在（0，+∞）的值域 解：f′（x）= ﹣1= ∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值； 故值域为（﹣∞，﹣1） 【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题 难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒 成立的问题为主． 8．分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样， 有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的 时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数． 【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时 常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法． 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年 A 型 产品出厂价为每件 60 元，年销售量为 11.8 万件．第二年，当地政府开始对该商 品征收税率为 p%（0＜p＜100，即销售 100 元要征收 p 元）的税收，于是该产品 的出厂价上升为每件 元，预计年销售量将减少 p 万件． （Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收 y（万元）表示成 p 的函数，并指出这 个函数的定义域； （Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于 16 万元，则税率 p%的范围是多少？ （Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金 额，则 p 应为多少？ 解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件， 年销售收入为 （11.8﹣p）万元， 政府对该商品征收的税收 y= （11.8﹣p）p%（万元） 故所求函数为 y= （11.8﹣p）p 由 11.8﹣p＞0 及 p＞0 得定义域为 0＜p＜11.8…（4 分） （II）由 y≥16 得 （11.8﹣p）p≥16 化简得 p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得 2≤p≤10． 故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于 16 万元． …（9 分） （III）第二年，当税收不少于 16 万元时， 厂家的销售收入为 g（p）= （11.8﹣p）（2≤p≤10） ∵ 在[2，10]是减函数 ∴g（p）max=g（2）=800（万元） 故当税率为 2%时，厂家销售金额最大． 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一 定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地 方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一 大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅 仅某段函数的讨论． 【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画 个图来解答． 9．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 10．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有 的点，都有 f（x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大 值=f（x0），x0 是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的 点，都有 f（x）＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值 =f（x0），x0 是极小值点． 2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极 小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3、判别 f（x0）是极大、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 4、求函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格，检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 11．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查 学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为 包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题 的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上 的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数 y=xlnx，求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为 y﹣0=1×（x﹣1）， 即 y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的 导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家 灵活应用，认真总结． 12．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 13．基本不等式 【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个 正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0， b≥0），变形为 ab≤（ ）2 或者 a+b≥2 ．常常用于求最值和值域． 【实例解析】 例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是． A：a，b 均为负数，则 ． B： ． C： ． D： ． 解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知 A、 B、D 均满足条件． 对于 C 选项中 sinx≠±2， 不满足“相等”的条件， 再者 sinx 可以取到负值． 故选：C． A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成 元素；B 分子其实可以写成 x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例 题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便． 例 2：利用基本不等式求 的最值？当 0＜x＜1 时，如何求 的最大 值． 解：当 x=0 时，y=0， 当 x≠0 时， = ， 用基本不等式 若 x＞0 时，0＜y≤ ， 若 x＜0 时，﹣ ≤y＜0， 综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ， ∴ 的最值是﹣ 与 ． 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0， 没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两 个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理 直接求的结果． 【考点预测】 基本不等式地位非常重要，因为简单实用，也是高考考查的一个重点，出题 范围也比较广，包括选择题、填空题，甚至应用题里面，要求是会用，在能用基 本不等式解题的时候尽量用基本不等式． 14．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 15．数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的 前一项 an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式． 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：an= ． 在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系，是本讲内容一个重点，要认 真掌握． 注意：（1）用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了 吗？（n≥2，当 n=1 时，a1=S1）；若 a1 适合由 an 的表达式，则 an 不必表达成分 段形式，可化统一为一个式子． （2）一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式 an=Sn﹣ Sn﹣1，先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式，然后再求解． 3、数列的通项的求法： （1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． （2）已知 Sn（即 a1+a2+…+an=f（n））求 an，用作差法：an= ．一 般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件 转化为只含 或 的关系式，然后再求解． （3）已知 a1•a2…an=f（n）求 an，用作商法：an，= ． （4）若 an+1﹣an=f（n）求 an，用累加法：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2 ﹣a1）+a1（n≥2）． （5）已知 =f（n）求 an，用累乘法：an= （n≥2）． （6）已知递推关系求 an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地 有， ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后，再求 an． ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项． （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进 行证明． 16．平行向量与共线向量 【知识点的知识】 1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量．如果 ， ， 是非零向量且方向相同或相反（向 量所在的直线平行或重合），则可即位 ∥ ∥ ，任一组平行向量都可移动到同 一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并 且规定，零向量与任一向量平行． 2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线 上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线． 说明： （1）向量有两个要素：大小和方向． （2）向量 与向量 共线的充要条件是：向量 a 与向量 b 的方向相同或相反，或 者有一个是零向量． 17．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 18．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 19．茎叶图 【知识点的认识】 1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶 图． 例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31， 36，36，37，39，44，49，50 得分表示成茎叶图如下： 2．茎叶图的优缺点： 优点： （1）所有信息都可以从茎叶图上得到 （2）茎叶图便于记录和表示 缺点： 分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便． 【解题方法点拨】 茎叶图的制作步骤： （1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分 （2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列 （3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧 第 1 步中， ①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如 89，茎：8， 叶：9． ②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如 123， 茎：1，叶：23． 对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体 现几次． 20．古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1．定义：如果一个试验具有下列特征： （1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特 征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中 可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那 么每一个基本事件的概率都是 ； 如 果 某 个 事 件 A 包 含 的 结 果 有 m 个 ， 那 么 事 件 A 的 概 率 为 P （ A ） = = ． 【解题技巧】 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 n 与事件 A 中 所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件 A 是什么． 2．解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； （3）分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； （4）利用公式 P（A）= 求出事件 A 的概率． 3．解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 21．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 22．二倍角的余弦 【二倍角的余弦】 二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种 特例，其公式为：cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α． 【例题解析】 例：函数 y=2sinx﹣cos2x 的值域是 ． 解：由题意可得：y=2sinx﹣cos2x=2sin2x+2sinx﹣1= ， 又 sinx ∈ [﹣1，1] 当 sinx= 时，函数 f（x）取到最小值为 ， 当 sinx=1 时，函数 f（x）取到最大值为 3， 综上函数 f（x）的值域是 ． 故答案为 ． 这个题的第一步就是利用余弦函数二倍角的性质把 cos2x 化成关于 sinx 的函 数，最后再用换元法把三角函数看成是一元二次函数． 【考点点评】 二倍角的余弦也是很重要的一个考点，而且这个公式的变形比较多，大家在 熟记的时候也要注意区分它们的用途，最后多与其他的相似的一些公式作比较． 23．三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数 f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f（x）的最小正周期． ③函数 y=Asin（ωx+φ），x ∈ R 及函数 y=Acos（ωx+φ）；x ∈ R（其中 A、ω、φ为常 数，且 A≠0，ω＞0）的周期 T= ． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数 y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0 时，才能 把ωx+φ看作一个整体，代入 y=sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y=sin x，x ∈ [0，2π]，y=cos x，x ∈ [0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x） ②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和 y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为 ，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为 ． ③利用图象．图象重复的 x 的长度． 24．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式： （1） （a＞b＞0），焦点在 x 轴上，焦点坐标为 F（±c，0），焦距|F1F2|=2c； （2） （a＞b＞0），焦点在 y 轴上，焦点坐标为 F（0，±c），焦距|F1F2|=2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有 a＞b＞0；a2=b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在 x 轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在 y 轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x 轴、y 轴，长轴长 2a， 短轴长 2b 焦点在长轴长上 x 轴、y 轴，长轴长 2a，短轴长 2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 离心率 e= （0＜e＜1） e= （0＜e＜1） 准线 x=± y=± 25．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 26．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 性 质 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 27．圆锥曲线的最值问题 v． 28．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 29．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 30．平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．