【数学】2014高考专题复习：第6章 数列 第2节 数列的应用 (2)
【数学】2014版《6年高考4年模拟》
第六章 数列
第二节 数列的应用
第一部分 六年高考题荟萃
2013年高考题
一、选择题
．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
答案：B
因为an+1=an，，，所以an=a1，
所以bn+1+cn+1=an+=a1+，
所以bn+1+cn+1﹣2a1=，
又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1，
于是，在△AnBnCn中，边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，
因为bn+1﹣cn+1==，
所以bn﹣cn=，
当n→+∞时，有bn﹣cn→0，即bn→cn，
于是△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，
所以其面积=为递增数列，
故选B．
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
答案：B
由题知，过原点的直线y = x与曲线相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B
．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：C
am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，所以公差d=am+1﹣am=1，
Sm==0，得a1=﹣2，所以am=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:
其中的真命题为
(A) (B) (C) (D)
答案：D
设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确,选D.
二、填空题
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
答案：
设等差数列{an}的首项为a，公差为d，
因为S10=10a+45d=0，S15=15a+105d=25，
所以a=﹣3，d=，
所以等差数列{an}的各项为：﹣3，﹣，﹣，﹣1，﹣，，1，，，3，，，5，…，
根据题意得：当n=1时，S1=﹣3；当n=2时，2S2=﹣；当n=3时，3S3=﹣21；当n=4时，4S4=﹣32；
当n=5时，5S5=﹣；当n=6时，6S6=﹣48；当n=7时，7S7=﹣49；当n=8时，8S8=﹣；
当n=9时，9S9=﹣27；当n=10时，10S10=0；…，其余结果为正，
所以nSn的最小值为7S7=﹣49．
．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
可以推测的表达式,由此计算___________.
选考题
答案：1000
本题考查归纳推理。由归纳推理可知： N(n,k)=,所以N(10,24)。
．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则
(1)_____; (2)___________.
答案：;
本题考查数列的通项公式以及数列求和。即,即,解得:.当是偶数且时,.又,所以.因此,所以,即偶数项的和为零,所以
.
．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:
照此规律, 第n个等式可为_______.
答案：
分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。
当n为偶数时，分组求和：。
当n为奇数时，第n个等式=。
综上，第n个等式：
．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{
}的通项公式是=______.
答案：=.
解析】当n=1时，a1=S1=，解得a1=1
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（）=，
整理可得，即=﹣2，
故数列{an}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，
故
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.
答案：
.
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列
是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.
答案：63
. 由题意知，又，所以，所以，代入等比求和公式得。
三、解答题
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明:
(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;
(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.
解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .
综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)
(Ⅱ) 由题知
上式相减:
.
法二:
．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.
(1)若,求及;(2)求证:对任意,;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.
:(1)因为,,故,
(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,
即只需证明
若,显然有成立;
若,则显然成立
综上,恒成立,即对任意的,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;
若,则,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是.
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
设数列,即当时,,记
,对于,定义集合
(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.
本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.
(1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,,
∴,,,,,,,,,,
∴,,,,
∴集合中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证
事实上,
① 当时, 故原式成立
② 假设当时,等式成立,即 故原式成立
则:,时,
综合①②得: 于是
由上可知:是的倍数
而,所以是
的倍数
又不是的倍数,
而
所以不是的倍数
故当时,集合中元素的个数为
于是当时,集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为
．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,.
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.
解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由,得
,
解得,,
因此
(Ⅱ)由题意知:
所以时,
故,
所以,
则
两式相减得
整理得
所以数列数列的前n项和
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.
(1)若,且成等比数列,证明:();
(2)若是等差数列,证明:.
证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和
∴
(1)∵ ∴
∵成等比数列 ∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:
∴对恒成立
∴
由①式得: ∵ ∴
由③式得:
法二:证:(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:,得:,又,故.
由此:,,.
故:().
(2),
. (※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:,即,而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.
．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有
(1)解:由,得.
由于是正项数列,所以.
于是时,.
综上,数列的通项.
(2)证明:由于.
则.
.
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
.(1) 解: ,.
当时,
又,
(2)解: ,.
①
当时, ②
由① — ②,得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,
当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.
．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
(I)
(II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以
因此,,.
(必要性)因为,所以.
又因为,,所以. 于是,.
因此,即是公差为的等差数列.
(III)因为,所以,.故对任意.
假设中存在大于2的项.
设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.
又因为,所以,且.
于是,.
故,与矛盾.
所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.
因此对任意,,所以. 故.
因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.
．（2013年高考陕西卷（理））
设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.
①
②.
上面两式错位相减:
.
③综上,
(Ⅱ) 使用反证法.
设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则
①当=0成立,则不是等比数列.
②当成立,则
.这与题目条件q≠1矛盾.
③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列.
2012年高考题
1.【2012高考四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】]∵数列{an}是公差为的等差数列，且，即
，而是公差为的等差数列，代入，即
，不是的倍数，.
，故选D.
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，
隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.
2.【2012高考湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
A． ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
【答案】C
考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.
【解析】等比数列性质，，①； ②；③；④.选C
3.【2012高考四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.
【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.
4.【2012高考重庆理12】 .
【答案】
【解析】
5.【2012高考上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。
【答案】。
【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，
∴++…+==，∴。
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
6.【2012高考福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.
【答案】3018．
【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大．
【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.
7.【2012高考四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想
[解析]取n=1,得 ①
取n=2,得 ②
又②-①，得 ③
（1）若a2=0, 由①知a1=0,
(2)若a2, ④
由①④得：…………………5分
（2）当a1>0时,由（I）知，
当 , (2+)an-1=S2+Sn-1
所以，an=
所以
令
所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.
则 b1>b2>b3>…>b7=
当n≥8时，bn≤b8=
所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为
T7=…………………………12分
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
8.【2012高考四川理22】(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对
则抛物线在点A处的切线方程为
（2） 由（1）知f(n)=,则
即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥
当,
>2n3+1
当n=0,1,2时，显然
故当a=时，对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是。
（3）由（1）知，则，
下面证明：
首先证明：当0
0，故．
由得，所以．
故数列{an}的通项式为an=．
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
9．（四川理20）
设为非零实数，
（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
（II）设，求数列的前n项和．
解析：（1）
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）
（2）（1）
2010年高考题
一、选择题
1.（2010江西理）5.等比数列中，，=4，函数
，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。
2.（2010江西理）4. （ ）
A. B. C. 2 D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
3.（2010北京理）（2）在等比数列中，，公比.若，则m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
【答案】C
4.（2010四川理）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
解析：由,且
作差得an＋2＝2an＋1
又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1
故{an}是公比为2的等比数列
Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则
【答案】B
5.（2010天津理）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。
6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知，10,所以,
所以
7.（2010湖北文）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
A. B. C. D
8.（2010安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前
项和分别为，则下列等式中恒成立的是
A、 B、
C、 D、
【答案】 D
【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.
（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=
A． 2 B. C.4 D.6
9.（2010福建理）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为，则，解得，
所以，所以当时，取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
二、填空题
1.（2010浙江理）（14）设
，
将的最小值记为，则
其中=__________________ .
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
3.（2010辽宁理）（16）已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为
4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
答案：
5.（2010天津文）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。
【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
6.（2010湖南理）15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，
，则 ，
．
三、解答题
1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分）
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为
求和：
2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分）
已知数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：．
【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
3.（2010北京理）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：，且;
（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).
证明：（P）≤.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（I）设，，
因为，，所以,
从而
又
由题意知，，.
当时，;
当时，
所以
(II)设，，
，，.
记，由（I）可知
所以中1的个数为，的1的
个数为。
设是使成立的的个数，则
由此可知，三个数不可能都是奇数，
即,,三个数中至少有一个是偶数。
（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，
设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0
则=
由于
所以
从而
4.（2010天津文）（22）（本小题满分14分）
在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，证明.
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知，，，，，
。
从而，所以，，成等比数列。
（II）解：由题设可得
所以
.
由，得 ，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。
（III）证明：由（II）可知，，
以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m
若，则，
若，则
.
所以，从而
（2） 当n为奇数时，设。
所以，从而
综合（1）和（2）可知，对任意有
5.（2010天津理）（22）（本小题满分14分）
在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。
（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
（Ⅰ）证明：由题设，可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0，得
于是。
所以成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得
当≠1时，可知≠1，k
从而
所以是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m()
若m=1,则.
若m≥2，则
+
所以
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）
所以从而···
综合（1）（2）可知，对任意,,有
证法二：（i）证明：由题设，可得
所以
由可知。可得，
所以是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为所以。
所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。
从而。
所以，由，可得
。
于是，由（i）可知
以下同证法一。
6.（2010湖南理）21．（本小题满分13分）
数列中，是函数的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项；
（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
7.（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：，
，
化简，得：
，
当时，，适合情形。
故所求
（2）（方法一）
， 恒成立。
又，，
故，即的最大值为。
（方法二）由及，得，。
于是，对满足题设的，，有
。
所以的最大值。
另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。
于是，只要，即当时，。
所以满足条件的，从而。
因此的最大值为。
2009年高考题
一、选择题
1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.
【解析】由得，，则， ，选C.
【答案】 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =
A. 2 B. C. D.3
【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2
于是
【答案】B
3.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=( )
A.7 B.8 C.15 D.16
【解析】4，2，成等差数列，,选C.
【答案】 C
4.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
【答案】B
【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【答案】C
【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.
6..（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
A.21 B.20 C.19 D. 18
【答案】 B
【解析】由++=105得即，由=99得即
，∴，，由得，选B
7.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】由于以3 为周期,故
故选A
8.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
【答案】B
【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝10
二、填空题
9.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．
答案 15
解析 对于
10.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力
答案：
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
11.（2009北京理）已知数列满足：则________；=_________.
答案 1，0
解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得，.
∴应填1，0.
12..（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= .
答案 -9
解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9
13.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.
解析 设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），
若，则m所有可能的取值为__________。
答案 4 5 32
解析 （1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，
故得m=4。
（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______
解析由+-=0得到。
答案10
16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 .
解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .
答案：1
18.（2009宁夏海南卷文）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和=
解析 由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。
答案
19.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)
答案
解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
即
进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得
中有个数相加，且由
可得所以
=
20.（2009重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式= ．
解析 由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则
答案 2n+1
三、解答题
21.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?
解（1）,
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；
由得，满足的最小正整数为112.
22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于.
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴.
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵，
∴，
从而，
∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知.
，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5.
24.（2009江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。
（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得
，解得，,
(2) （方法一）=,设，
则=, 所以为8的约数
（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。
25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。
（1）求和；
（2）求证：对任意正整数≥2，有.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
26.（2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式成立
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.
① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
① 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=
所以当时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
27.（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）
，即，∴
（2）证明：∵
∴
由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，
则有，即.
28.（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足
（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
（II）若对一切都有，求的取值范围.
解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法，对任何，都是奇数。
（II）（方法一）由知，当且仅当或。
另一方面，若则；若，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或。
（方法二）由得于是或。
因为所以所有的均大于0，因此与同号。
根据数学归纳法，，与同号。
因此，对一切都有的充要条件是或。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
（1）当时，求通项
（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
解：（1）由得
将代入化简得
所以
故数列为等比数列，从而
即
可验证，满足题设条件.
(2) 由题设的值仅与有关,记为则
考察函数 ,则在定义域上有
故对， 恒成立.
又 ,
注意到,解上式得
取,即有 .
30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
解（I）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(II)由（I）得，所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时
所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
证法2：当时
综上所述，当，当时
31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（I）当时，
又
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴， …………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知
∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分
（III）由得
又，
当时，，
当时，
32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有
, 则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：
A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是
==
所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，
.
由n的任意性知，数列不是B-数列。
命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有
.
因为
.
记，则有
.
因此.
故数列是B-数列.
33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：。
证明（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知
34.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有
成立，记
（I）求数列与数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（I）当时，
又
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴， …………………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知
∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分
（III）由得
又，
当时，，
当时，
…………………………………14分
35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n
(I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；
(II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；
(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。
（Ⅰ）解：由题设，可得
所以，
（Ⅱ）证明：由题设可得则
①
②
① 式减去②式，得
① 式加上②式，得
③
② 式两边同乘q，得
所以，
(Ⅲ)证明：
因为所以
（1） 若，取i=n
（2） 若，取i满足且
由（1）,(2)及题设知，且
① 当时，得
即，…，
又所以
因此
② 当同理可得，因此
综上，
36.（2009四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（I）求数列的通项公式；
（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。
本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）当时，
又
数列成等比数列，其首项，公比是
……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
又
当
当
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则
>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有
当n为偶数时，设
则
<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分
37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
（1） 若，是否存在，有说明理由；
（2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分
（2）若，即， （*）
（ⅰ）若则。
当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分
（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分
【解法二】设
则
（i） 若d=0，则
（ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾
综上所述，有， 10分
（3）
设.
，
. 13分
取 15分
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,
故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数
故此等式不成立，所以，p一定为奇数。
当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，
而3k=(4-1)k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分
当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分
当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立. 2分
38.(2009重庆卷理）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
；
解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故
解得或（舍去）。因此
又 。解得
从而当时，
当时，由是公比为d的等比数列得
因此
（II）由题意得
有①得 ④
由①，②，③得，
故. ⑤
又，故有
.⑥
下面反证法证明：
若不然，设
若取即，则由⑥得，而由③得
得由②得而
④及⑥可推得（）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数
由均值不等式得
由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而
又，由④和⑥得
因此由⑤得
2008年高考题
一、选择题
1.（2008江西卷）在数列中，， ，则（ ）
A． B． C． D．
答案 A
2.（2007福建）数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
答案 B
3.（2007宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
答案 B
二、填空题
5.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
答案
6.（2008湖北）观察下列等式：
……………………………………
可以推测，当≥2（）时，
.
答案 0
7.（2007重庆）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则_____.
答案 18
三、解答题
9.（2008全国I）设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
（Ⅰ）证明：，
故函数在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可
1， 若存在某满足，则由⑵知：
2， 若对任意都有，则
，即成立.
10.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
第二部分 四年联考题汇编
2013-2014年联考题
一．基础题组
1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（理科）】数列{}满足若=，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为 .
3.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】（本小题满分10分）
正项数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
4.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知等差数列，的前n项和为，，若对于任意的自然数，都有则= .
6.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于（ ）
A
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
8.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】已知正项等比数列{}的前n项和为，且，则= __________.
二．能力题组
1. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三理科数学试题】（本小题满分12分）
数列满足： 记数列的前项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1) 由已知得,可见数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可；（2）利用错位相减法解答即可.
2.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】（本小题满分12分）
已知数列满足
(1) 求证:数列的奇数项,偶数项均构成等差数列;
(2) 求的通项公式;
(3) 设，求数列的前项和.
（II）由，
讨论研究，得到.
（III），利用“错位相消法”可得，
3.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.
（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.
，则，接着利用裂项相消法，求出
4.【银川九中2014届高三年级第4次月考试卷（理科试卷）】已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，求证：．
（Ⅱ）因为，即，利用迭加法求出，再作差比较，化简得出
，所以得证.
5.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试理科试卷】（本小题满分12分）
已知等差数列中，；是与的等比中项．
(I)求数列的通项公式：
(II)若．求数列的前项和.
【答案】(I)当时，；当时，；(II).
【解析】
2012-2013年联考题
1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=
（I）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）若bn=n·an，求数列{bn}的前n项和Tn。
【答案】解：（Ⅰ），，………………（3分）
又， ……………………………（4分）
. ……………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ），
.……………………………………………（8分）
两式相减得：，
，………………………………………（11分）
.…………………………………………………………………（12分）
2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.
（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.
【答案】解:（1）设的公差为.
因为所以
解得 或（舍），.
故 ，.
（2）由（1）可知，，
所以.
故
3.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求成立的正整数
的最小值。
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为q，
依题意，有，
代入得 …………………………2分
解之得 …………………………4分
又单调递增， ………………………………6分
（Ⅱ），………………………………7分
①
②
①-②得 10分
，
又， …………………………11分
当时，.故使，成立的正整数的最小值为5. …
4.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知等比数列的前n项和为，若成等差数列，且求数列的通项公式.
【答案】
5.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前n项和.
【答案】解（1）由题意知 ………………1分
当时，
当时，
两式相减得………………3分
整理得： ……………………4分
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.
……………………5分
（2）
∴，……………………6分
①
②
①-②得 ………………9分
.………………………………………………………11分
…………………………………………………………………12分
6.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分12分)数列的前项的和为,对于任意的自然数，
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项公式
（Ⅱ）设，求和
【答案】解 ：（1）令------------------1分
（2）-(1)
--------------------------3分
是等差数列 ------------------------5分
----------------------------6分
（2）
---①---------------------8分
---②
①-② ----------10分
所以 -------------------------------12分
7.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】（本小题满分12分）已知是等比数列，公比，前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证
【答案】解 ： ----------------4分
-----------------------------------------5分
-----------------------6分
（2）设 ------8分
= ----------------------------10分
因为 ，所以 ----------12分
8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）
设是公差大于零的等差数列，已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.
【答案】
9.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数的图象是曲线，点是曲线上的一系列点，曲线在点处的切线与轴交于点. 若数列是公差为的等差数列，且.
（Ⅰ）分别求出数列与数列的通项公式；
（Ⅱ）设为坐标原点，表示的面积，求数列的前项和.
【答案】解：（Ⅰ），
曲线在点处的切线方程：
令，
该切线与轴交于点，………………………………………3分
10．【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】（本小题满分12分）
已知是公差为2的等差数列，且的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Tn.
【答案】
11.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设数列{a}的前n项和为S，且满足S=2-a，n=1，2，3，…
（1）求数列{a}的通项公式；（4分）
（2）若数列{b}满足b=1，且b=b+a，求数列{b}的通项公式；（6分）
（3）设C=n（3- b），求数列{ C}的前n项和T 。（6分）
【答案】（1）a=S=1 n≥2时，S=2-a S=2-a
a=a+a 2a= a ∵a=1 = ∴a=()
（2）b-b=（) 1分
∴b-b=()+……+（)==2-
∴b=3- ∵b=1 成立 ∴b=3-（)
（3）C=n（) 1分
T=1×（)+2（)+……+n（)
T=1×（)+……+(n-1) （)+n（)=2+-n（) =2+2-（)-n（)
∴T=8--=8-
12.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分13分）
已知：数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求：，的值；
（Ⅱ）求：数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的
前项和．
【答案】 解：（Ⅰ）
令 ，解得；令，解得 ……………2分
（Ⅱ）
所以，（）
两式相减得 ……………4分
所以，（） ……………5分
又因为
所以数列是首项为，公比为的等比数列 ……………6分
所以，即通项公式 （） ……………7分
（Ⅲ），所以
所以
……9分
令 ①
②
①－②得
……………11分
……………12分
所以 ……13分
13.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）
设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若 求所有可能的数列的通项公式.
【答案】 （Ⅰ）由
又
故解得
因此，的通项公式是1，2，3，…，
（Ⅱ）由 得
即
由①+②得－7d<11，即
由①+③得, 即,
于是 又，故.
将4代入①②得
又，故
所以，所有可能的数列的通项公式是
1，2，3，….
14.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分14分）
已知函数 （为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比
数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）
由当；当
（2），
有解
由即上有解
令，
上减，在[1，2]上增
又，且
（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
……10分
又时，
故
②-①×2得，解得（舍）
故 ，此时
满足
存在满足条件的数列 …… 14分
15.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】
（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在
直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
【答案】 （Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.
又＝，即，，
∴+=1.
① 当=时，=，+=；
② 当时，，
+=+===
综合①②得，+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +
∴，k=.
n≥2时，+++ ， ①
， ②
①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.
当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.
（Ⅲ）==，=1++=.
.
=2-，=-2+=2-，
∴，、m为正整数，∴c=1，
当c=1时，，
∴1<<3，
∴m=1.
16.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）已知数列满足，
（1）求，， ；
（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。
【答案】（1）
∴___________________________3分
(2)证明：易知，所以_____________________4分
当
=
=1
所以__________8分
（3）由（2）知__________________10分
所以__________________________12分
17.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分）在数列中，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.
【答案】解：（Ⅰ）∵
∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，
∴.…………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）∵………………………………………………………………… 4分
∴.…………………………………………………………… 5分
∴，公差d=3
∴数列是首项，公差的等差数列.…………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）
∴.………………………………………………………………8分
∴， ①
于是 ②
…………………………………………………………………………………………… 9分
两式①-②相减得
=.………………………………………………………………………11分
∴ .………………………………………………………12分
2011-2012年联考题
一、选择题
1．(2011湖南嘉禾一中) 若的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x4的系数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B.
2．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）等差数列中，若
，则的值为：
（A）180 （B）240 （C）360 （D）720
答案 C.
3．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（ ）
A.或5 B.或5 C. D.
答案 C.
4．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知数列，若是公比为2的等比数列，则的前n项和等于（ ）
A. B.
C. D.
答案 D
5．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）是等差数列，首项＞０，，，则使前项和 成立的的最大正整数ｎ是（ ）
A．2003 B．2004 C．4006 D．4007
答案 C
6．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）设函数（，且)的最小值为 ，最大值为 若，则数列｛｝是 （ ）
A．公差不等于0的等差数列 B．公比不等于1的等比数列
C．常数列 D．以上都不是
答案 C.
7．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有 ，若数列{}的前n项和为Sn，且满足，则=（ ）
A. 9 B. C. D.
答案 C.
8．（浙江省桐乡一中2011届高三理）在等差数列中，若前5项和，则等于
（A）4 （B）－4 （C）2 （D）－2
答案 A.
9．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
A. B. C. D．
答案 C.
10. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）在等差数列中，，则
( )
（A）24 （B）22 （C）20 （D）
答案 A.
11．（广东省湛江一中2011届高三理）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=
A． B． C． D．
答案 A.
12．(福建省四地六校联考2011届高三文) 在等比数列中，已知，那么=
A．3 B．4
C.12 D．16
答案 B.
13．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=
A． B． C． D．
答案 A.
14.（2011湖南嘉禾一中）设恒成立，那么 （ ）
A． B．a>1 C． D．a<1
答案 D.
15．（成都市玉林中学2010—2011学年度）等差数列中，若，则的值为：
（A）180 （B）240 （C）360 （D）720
答案 C.
16．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A） （B） （C） （D）
答案 B .解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。
故选B
17.（成都市玉林中学2010—2011学年度）函数的定义域为
（A） （B） （C）（1，3） （D）[1，3]
答案 A. 解：
故选A
18．（江苏泰兴市重点中学2011届）若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为___________
答案，，
19．（江西省2011届文）集合，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D.
20.（江西省2011届理）已知，，
则下列关系式中正确的是 （ ）
A B D
答案 D.
21.（江苏省2011届数学理）右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （ ）
A B
D
答案 B.
22．（四川省成都市2011届高三理）函数的定义域为
A. B.
C.（1，3） D.[1，3]
答案 A.
23．（四川省成都市2011届高三文）等差数列中，若，则的值为：
A.10 B.11 C.12 D.14
答案 C.
24.（浙江省杭州市高级中学2011届高三考文）函数
的定义域是 （ ）
A B D
答案 D。
25．（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）在等差数列{}中，，则=（ ）
A. B. C. D.
答案 D.
26．(浙江省桐乡一中2011届高三文) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，有，则的值为（ ）
（A）12 （B）18
（C）22 （D）44
答案 C.
27.(山西省四校2011届高三文）设Sn为等比数列的前项和，8a2+a5=0,则=（ ）
A. -11 B. -8 C. 5 D. 11
答案 D.
28.(福建省福州八中2011届高三理)已知，函数的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
答案 A.
29.(福建省四地六校联考2011届高三理)关于的方程的根在内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 B.
30．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
函数(01的等比数列，若和是方程的两根，则
__________。
答案 18.
36．（浙江省桐乡一中2011届高三文）观察下列等式：
；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为 ．
答案
37．（广东省广州东莞五校2011届高三理）已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．
答案
38．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文） 已知数列是等比数列，且，，，则数列的公比 .
答案
39.（河北省唐山一中2011届高三理）.给出下列命题
（1）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.
（2）“”是在区间上为增函数”的充要条件.
(3)是直线与直线互相垂直的充要条件.
(4)设分别是的内角的对边,若.则是的必要不充分条件.
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)
答案 (1)(4)
40．（江苏泰兴市重点中学2011届文）已知等比数列中，各项都是正数，且
成等差数列，则公比__________．
答案
41．（2011湖南嘉禾一中）对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为，
（i）=
（ii）数列的前n项和Sn=
答案 （i）（3分）； （ii） （2分）
42．（江苏泰兴2011届高三文）已知－7，，，－1四个实数成等差数列，－4，，，，－1五个实数成等比数列，则=__________．
答案 -1
43．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）在的展开式中，常数项是 。
答案 －252
解：
44．（江苏泰兴市重点中学2011届文）已知的零点在区间上，则的值为
答案 1.
45．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数的定义域是____________________．
答案
46．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知函数的定义域和值域都是
，则实数a的值是 ________
答案 2.
47．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数的值域为________________．
答案
48. （浙江省杭州市高级中学2011届高三文）已知，，则下列关系式中正确的是 （ ）
A B D
答案 D.
49.（江苏省2011高三理）已知，若，则的取值范围是
答案 3.
50．（江苏泰兴2011届高三文）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则公比__________．
答案
51．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知在上是增函数，则的取值范围是 ．
答案 。
三 解答题
52．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）
已知数列是等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Sn.
答案 解（1）
（2）
53．（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
答案 （本题满分14分）
解：（1）…………3分
…………6分
（2）…………8分
…………10分
又……12分
………………14分
54．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列是等差数列，
（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
答案 解：（1）设的公差为，则
数列是以为公差的等差数列…………4分
（2）
两式相减：
…………6分
…………8分
…………10分
（3）因为当且仅当时最大
…………12分
即
…………15分
55. （山东省实验中学2011届高三文理）已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当时，求数列的最小项.（提示：当时总有）
答案
解：（1）∵
∴
(n≥2)
由得，，
∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，
∴，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，
显然最小项是前三项中的一项。
当时，最小项为；
当时，最小项为或；
当时，最小项为；
当时，最小项为或；
当时，最小项为。
56．（2011湖南嘉禾一中）（本小题满分12 分）
已知{ }是整数组成的数列，a1 = 1，且点在函数的图象上，
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若数列{}满足 = 1，，求证：
答案 解：由已知得
所以数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；（2分）
即=1+…………………………4分
（2）由（1）知 ……………………6分
…………………………8分
……………………10分
所以：…………………………12分
57．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分），
（ a>1,且）
（1） 求m 值 ，
（2） 求g（x）的定义域；
（3） 若g（x）在上恒正，求a的取值范围。
答案 （1）是奇函数，
（2）由（1）
必须满足
的定义域为
（3）上恒正，
即
的取值范围是（2，+∞）
58．（江苏省2011理）已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．
答案 33． 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使BA，必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
59．（江苏泰兴2011届高三理）
设n为大于1的自然数，求证：．
答案 34．证明：（放缩法）
解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）
60．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（14分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，如果对任意，，求的取值范围。
答案 （Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]。
61．（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（12分）数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列，又记。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn，并求使Tn＞对都成立的最大正整数m的值。
答案 解：（1）∵，相减得，∴
（2）
∴Tn==
∵＞1 ∴＞ ∴最小值
∴＞ ∴＜10
∴最大正整数=9
62.（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（14分）设，且有唯一解，，。
（1）求实数；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，数列是首项为1，公比为的等比数列，记，求的前n项和。
答案 解：（1） ∴有唯一解 ∴
（2） ∴ ∴
∴
（3），又
∴
∵
∴
63.（浙江省桐乡一中2011届高三文）本小题满分（15分）已知函数在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意正整数n，不等式都成立．
答案 解：（1）
时，取得极值，
（3分）
故，解得a=1，
经检验a=1符合题意.
（2）由a=1知
得
令
则上恰有两个不同的实数根等价于
在[0，2]上恰有两个不同的实数根。
当上单调递增
当上单调递减。
依题意有
（3）的定义域为
由（1）知
令（舍去），
单调递增；
当x>0时，单调递减。
上的最大值。
（当且仅当x=0时，等号成立）
对任意正整数n，取得，
64．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知数列的前n项和为，对任意的，点，均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求使成立的的最大值.
答案 解：（Ⅰ）由题意得 ，则
所以…………………………………5分
又 所以………………………………………7分
（Ⅱ）因为所以
……9分
则 所以得……14分
所以使成立的的最大值为9. …15分
65．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知函数图象上一点处的切线方程为
(1)求的值；
(2)若方程在内有两个不等实根，求的取值范围(其中为自然对数的底数)
答案 40．解：(1)
……………………………………………4分
解得：……………………………………………………………………7分
(2)
则
是增函数;
当……………………………11分
则方程内有两个不等实根的充要条件是…………13分
即……………………………………………………………………15分
66.（河北省唐山一中2011届高三理）设M={x|}
N={x|}
求M∩N≠时a的取值范围.
答案 解：由不等式得：
解得：-2-2
即： ……………………10分
67．（河北省唐山一中2011届高三理）已知数列满足=-1，
，数列满足
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证：当时，.
（3）求证：当时，
答案 42.解：（1）由题意，即
………………………………4分
（2） 当时，
平方则
叠加得
……………………………………8分
（3）当时，即时命题成立
假设时命题成立，即
当时，
= 即时命题也成立
综上，对于任意，………………12分
68.（江苏省2011届高三理）已知函数（）是偶函数
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围
答案 （本题满分15分）
解（1） ∵ 函数是偶函数
∴
恒成立
∴ ，则………………………………………5分
（2） ，
函数与的图象有且只有一个公共点，即
方程只有一个解
由已知得
∴
方程等价于
设，则有一解
若，设，∵，∴恰好有一正解
∴ 满足题意
若，即时，不满足题意
若，即时，由，得或
当时，满足题意
当时，（舍去）
综上所述实数的取值范围是……………………10分
69．（福建省四地六校联考2011届高三文）（本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，
（I）求证数列｛an｝为等差数列；
（II）设数列的前n项和为Tn，求.
答案 (本小题满分12分)
证明：（I）由
得 即……………4分
是以1为首项，4为公差的等差数列 ……………6分
（II）由（I）得
…………12分
2010年联考题
题组二
一、填空题
1.（肥城市第二次联考）在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋al2＝120，则a9－a11的值为
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
解析：，
，所以选C。
2.（昆明一中三次月考理）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为
A． B． C． D．或
答案：B
3.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
答案A
4.（昆明一中二次月考理）在实数数列中，已知，，，…，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
5.（昆明一中二次月考理）已知数列的通项为，下列表述正确的是（ ）
A. 最大项为0，最小项为 B. 最大项为0，最小项不存在
C. 最大项不存在，最小项为 D. 最大项为0，最小项为
答案：A
6.（昆明一中二次月考理）三个实数a、b、c成等比数列，若有a + b + c=1成立，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
7.（祥云一中月考理）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
8.（祥云一中三次月考理）设若是与的等比中项，则的最小值为
A . B . 1 C. 4 D. 8
答案：C
二、填空题
9.（祥云一中月考理）两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为 。
答案：
10.（祥云一中二次月考理）数列的前项和为，若，则等于
答案：
11．（池州市七校元旦调研）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
答案：15
【解析】对于
三、解答题
12．（马鞍山学业水平测试）（本题满分12分）
已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和。
解：（1）由及，得：
……………………………………………………3分
（2）由 ①
得 ②
由②—①，得
即：
由于数列各项均为正数，
即 ……………………………………6分
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式是 ……………7分
（3）由，得：
……………………………………………………9分
………………12分
13. （岳野两校联考） (本题满分13分)已知数列中，， ．且k为等比数列，
(Ⅰ) 求实数及数列、的通项公式；
(Ⅱ) 若为的前项和，求；
(Ⅲ) 令数列｛｝前项和为．求证：对任意，都有＜3.
【解析】(Ⅰ)当时，，
， 即， 故时 ……………1分
有， 而 ……………………2分
， 从而 ……………………4分
(Ⅱ)
记
则
相减得： …………7分
……………9分
(Ⅲ)
……………………11分
时，
……………………12分
而
……………………13分
14.（祥云一中月考理）（本小题满分12分）
已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， ……………6分
． ………………7分
设…， ① …… …………8分
则…，② ……………………9分
由①②得
…，…………10分
．又…． …………11分
15.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）
已知等差数列的公差数列的前项和为，且
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求.
解：
（2）由（1）知仍是等比数列，其中首项
16.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）、已知是正整数，数列的前项和为，数列的前项和为对任何正整数，等式都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）设比较的大小.
解(1)当时，由
解得
当，
解得 即
因此，数列是首项为 -1，公比为的等比数列。
，即；
数列的通项公式为
（2） ，
令 ，
则
上两式相减：
即
.
（3），
.
的值最大，最大值为0，
因此，当是正整数时，
题组一（1月份更新）
一、选择题
1.（2009临沂一模）在等差数列｛an｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则的值为
A、4 B、6 C、8 D、10
答案C
2.（2009杭州学军中学第七次月考）已知等差数列通项公式为，在在，…，在，…，构成一个新的数列，若，则= （ ）
A、45 B、50 C、55 D、60
答案 C
3.（2009青岛一模）已知等差数列的公差为，且，若，则为
A． B. C． D.
答案B
4.（2009嘉兴一中一模）各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）或
答案B
5.（2009汕头一模）记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于（）
A. - 3 B·5 C一31 D. 33
答案 D
6.（2009宣威六中第一次月考）设数列的前项和满足，那么（ C ）
A． B． C． D．
答案 C
7.（2009日照一模）设是等差数列的前项和，若=，则等于
A1 B．-1 C．2 D．
答案A
8.（2009玉溪市民族中学第四次月考）数列的等差中项是 （ ）
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案 B
二、填空题
1.（2009冠龙高级中学3月月考）若数列中，，则数列中的项的最小值为_________。
答案 4
2.（2009韶关一模）在由正数组成的等比数列中,
则___.
答案 16
3.（2009闵行三中模拟）已知是等比数列，，则= 。
答案 （）
4. （2009上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则 .
答案 128
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
……
5.（2009金华一中2月月考）将正奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如
，若，则 ．
答案 60
三、解答题
1.（2009上海卢湾区4月模考）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满足：，其中为实数.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为杨辉三角第行中所有数的和，即，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，求的值.
解：（1） 由已知，，相减得，由得，又，得，故数列是一个以为首项，以为公比的等比数列. （4分）
从而 ； （6分）
（2）， （7分）
又，故， （11分）
于是，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，不存在. （14分）
2.（2009临沂一模）已知单调递增的等比数列｛an｝满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。
（I） 求数列｛an｝的通项公式;
（II） 若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n•>50成立的正整数 n的最小值。
解：(I)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,
∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴解之得或┉┉┉┉┉┉┉┉4分
又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,
∴an=2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(II), ┉┉┉┉┉┉┉┉7分
∴ ①
∴ ②
∴①-②得＝┉10分
∴即
又当n≤4时,, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
当n≥5时,.
故使成立的正整数n的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
3.（2009杭州高中第六次月考）已知数列中，
（1）求的值；
（2）求证：
（3）求 的值．
（1） ------------------------4分
（2）由可得
------------------------6分
所以------------------------8分
将上述式子相加得
（或者用数学归纳法证明）------------------------10分
（3）
4.（2009青岛一模）已知等比数列的前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）由得:时，
………………………2分
是等比数列，，得 ……4分
（Ⅱ）由和得……………………6分
……10分
………………………11分
当或时有，所以当时有
那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分
综上：当时有；当时有………………………14分
5.（2009日照一模）已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有
解：（I）由已知得
故
即
故数列为等比数列，且
又当时，
………………………………6分
而亦适合上式
…………………………………8分
（Ⅱ）
所以
………………………………12分
6.（2009昆明市期末）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a=1时，若设数列{bn}的前n项和Tn，n∈N*，证明Tn＜2。
（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+n+1 ①得
②
①—②得
故 an+1=2an +1。（n≥2）··································（2分）
又 an+1+1=2（an+1），
所以
故数列{an+1}是从第2项其，以a2+1为首项，公比为2的等比数列。
又 S2=2S1+1+1，a1=a，所以a2=a+2。
故 an=(a+3)·2n-2-1(n≥2).
又a1=a不满足an=(a+3)·2n-2-1,
所以 ····································6分
（Ⅱ）由a1=1，得an==2n-1，n∈N*，则
又 ①
得 ②
①—②得
故
所以 ································12分
7.（2009东莞一模）设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且
（1）求A；
（2）求数列的通项公式；
（3）若
解：（1）由 而
解得A=1……………………………………2分
（2）令
当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n
综合之：an=2n…………………………………………6分
由题意
∴数列{cn+1}是为公比，以为首项的等比数列。
………………………9分
（3）当
………………………11分
当
………13分
综合之：
………14分
8.（2009泰安一模）已知数列｛a｝中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….
(I) 令，求证数列｛b｝是等比数列；
(I) 球数列的通项
解：（I）
又
9.（2009上海奉贤区模拟考）已知点集，其中，，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，。
（1）求数列的通项公式；
（2）若＝，令；试用解析式写出关于的函数。
（3）若＝，给定常数m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（1）y＝· ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1 -----(1分)
与轴的交点为，所以； -----(1分)
所以，即， -----(1分)
因为在上，所以，即 -----(1分)
（2）设 （），
即 （） ----(1分)
（A）当时，
----(1分)
==，而，所以 ----(1分)
（B）当时， ----(1分)
= =， ----(1分)
而，所以 ----(1分)
因此（） ----(1分)
（3）假设，使得 ，
（A）为奇数
（一）为奇数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。 ----(1分)
（二）为偶数，则为奇数。则，。则
，解得：（是正偶数）。 ----(1分)
（B）为偶数
（一）为奇数，则为奇数。则，。则，解得：（是正奇数）。 ----(1分)
（二）为偶数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。 ----(1分)
由此得：对于给定常数m()，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。 ----(1分)
10.（2009南华一中12月月考）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：
(1) 求；
(2)求出数列的通项公式（写出推导过程）；
(3) 设，求数列的前项和。
解：（1）由得解得…………………1分
由 解得……………………………………2分
由解得 …………………………………3分
（2）当时
当时， ……………4分
整理得：
化简得： ………………………………………………………6分
所以是公差为2，首项为1的等差数列，
即…………………………………………………7分
（3）………………9分
………………………………………………12分
11.（2009枣庄一模）设数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列
解：（1）
是首项为的等比数列 2分
4分
当仍满足上式。
注：未考虑的情况，扣1分。
（2）由（1）得，当时，
8分
两式作差得
12分
12.（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。
(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；
(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；
(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。
解：(1)由题意的：f –1(x)== f(x)=，所以p = –1，所以an=
(2) an=，dn==n，
Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=，又Hn为数列{Sn}的调和平均数，
Hn=== ==
(3)因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=(cn+)，
所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1
当n≥2时，cn = Tn–Tn–1，所以2Tn = Tn–Tn–1 +，
Tn +Tn–1 = ，即：= n，
所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：
=2+3+4+……+ n， =1+2+3+4+……+ n =，Tn=
13.（2009番禺一模）设数列对一切正整数均有，且 ，如果，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列前项之积为，试比较与的大小，并证明你的结论．
（1）依题意：，则，
而，又，所以， ………………1分
同样可求得， ………………2分
（2）猜测，） ………………4分
①用数学归纳法证明：显然时猜想正确， ………………5分
②假设时猜想成立，即，
则时，∵，∴，即，而
故, ………………6分
这就是说猜想也成立,故对任意正整数都有． ………………7分
（3） ……………9分
证明: ，
则， ………10分
则
∴ ………11分
设,，则，
即为上的减函数，∴，故时，， ……12分
而，∴，
∴ ………13分
∴，，
则，即． 14分
14.（2009深圳一模理）已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；
（Ⅱ）若数列满足：，（）．
（ⅰ）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时， 求证：．
解：（Ⅰ）， …………………………1分
，
即 …………………………3分
， 数列是首项为，公比为的等比数列．
，即
． …………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ），
．
当时，．
假设，则．
由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．…8分
（ⅱ）， ．
当时，．
假设，则 ．
由数学归纳法，得出数列．……………10分
又，
，
即． …………………………12分
．
，
． …………………………14分
