江苏省宝应县安宜高级中学2020届高三冲刺卷数学试题

江苏省宝应县安宜高级中学2020届高三冲刺卷数学试题

高三数学冲刺卷 数学Ⅰ试题 一、填空题：不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则________．‎ ‎2．已知复数（其中为虚数单位），若，则的值为________．‎ ‎3．已知一组数据4，，7，5，8的平均数为6，则该组数据的标准差是________．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是________．‎ ‎5．运行如图的程序框图，则输出的结果是________．‎ ‎6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为________．‎ ‎7．已知为等差数列，为其前n项和，若，则的值是________．‎ ‎8．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了，则这个铁球的表面积为________．‎ ‎9．若直线与曲线相切，则实数k的值为________．‎ ‎10．计算：________．‎ ‎11．已知向量，，满足，，则的最小值为________．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知，为圆：上两个动点，且．若直线l：上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．‎ ‎13．已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________．‎ ‎14．已知在锐角三角形中，于点，且，若，则的取值范围是________．‎ 二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）若，，求c的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎16．已知直三棱柱，E，F分别是BC，的中点，，．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）．‎ ‎17．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器．设．‎ ‎ ‎ ‎（1）用表示此容器的体积，‎ ‎（2）当此容器的体积最大时，求的值．‎ ‎18．如图，点为椭圆C：的左焦点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且满足．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别交直线，于点，，求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）．‎ ‎19．若数列满足：存在实数，使得对任意，都成立，则称数列为“倍等阶差数列”．已知数列为“倍等阶差数列”．‎ ‎（1）若，，，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设．‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②设数列的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，，若直线ｌ依次经过变换后得到直线ｌˊ: ，求直线ｌ的方程．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线ｌ的参数方程为（t为参数），点P(1，2)在直线ｌ上．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4与直线ｌ交于两点A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ C．选修4—5：不等式选讲 设a，b，c都是正数，求证：‎ ‎【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．某商场在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A,B两种抽奖方案，方案A的中奖率为，中奖可以获得2分；方案B的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．‎ ‎（1）若顾客甲选择方案A抽奖，顾客乙选择方案B抽奖，记他们的累计得分为X，若的概率为，求；‎ ‎（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A或都选择方案B进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？‎ ‎23．已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 参考答案 数学Ⅰ试题 一、填空题：‎ ‎1． 2．-2 3． 4．3 5．‎ ‎6． 7．75 8． 9． 10．-4‎ ‎11． 12．‎ ‎13． 14．‎ 解答与提示：‎ ‎1．由交集定义可知．‎ ‎2．，所以，，所以．‎ ‎3．由平均数公式得，所以．‎ ‎4．抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意，解得．‎ ‎5．分析流程图，可得输出的结果是．‎ ‎6．从阳数和阴数中各取一数，有25种取法，其差的绝对值为5的有5种，所以概率为．‎ ‎7．由，得，即，所以，则．‎ ‎8．设该铁球的半径为rcm，则由题意得，解得，所以，所以这个铁球的表面积．‎ ‎9．曲线在切点处的切线方程为，所以解得．‎ ‎10．原式．‎ ‎11．，故的最小值为．‎ ‎12．由题意知圆的圆心，半径．取的中点，连结，则．所以，所以点在圆上．延长交于．‎ 法一：因为，所以，‎ 所以点在圆上，所以直线与圆有公共点，‎ 从而，解得．‎ 法二：因为，设，，‎ 则，，‎ 所以则 因为在圆上，‎ 所以，即，‎ 所以点P在以为圆心，1为半径的圆D上，‎ 又点P在直线l：上，‎ 所以直线l与圆D有公共点，所以，‎ 解得．‎ ‎13．当时，单调递减，；‎ 当时，成立，‎ 单调递增，，‎ 所以的值域为．‎ 设的值域为，因为存在，使得成立，‎ 所以．，．‎ ‎①，任意，成立，在单调递增，‎ 所以，，．‎ 因为，所以，；‎ ‎②，任意，成立，在单调递减，‎ 所以，，，‎ 则，不合题意；‎ ‎③，令，，‎ 在递减，递增，‎ 所以，，．‎ 又，，‎ 则，不合题意．‎ 综上所述，．‎ 解：法一：由，‎ 得，‎ 所以，即，．‎ 设边上的高为，则，，‎ 所以，所以 因为的面积，所以，‎ 所以．‎ 法二：由，‎ 得，‎ 所以，即，，‎ 所以．‎ 以中点为原点，为轴建立坐标系，‎ 则，，，‎ 从而，即（舍去）或．‎ 设边上的高为．‎ 因为的面积，‎ 所以，即．‎ 由得．‎ 因为为锐角三角形，所以，‎ 所以．‎ 法三：由，‎ 得，‎ 所以，即，．‎ 因为角为锐角，所以，‎ 所以．‎ 因为的面积，所以，‎ 所以．‎ 法四：设，，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 又因为，所以，．‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以．因为的面积，‎ 所以，所以．‎ 法五：设．‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 即，‎ ‎，所以，‎ 所以．下略．‎ 二、解答题：‎ ‎15．解：（1）在中，，，，‎ 由余弦定理得，‎ 得，即，‎ 解之得或（舍去）．‎ ‎（2）由，得，‎ 所以．‎ 又因为，所以 ‎．‎ ‎16．证：（1）设，交于点，连接，．‎ 在中，点，分别是，BC中点，‎ 所以，．‎ 因为直三棱柱，所以，，‎ 又因为是中点，所以，，所以．‎ 因为平面，平面，所以∥平面．‎ ‎（2）因为直三棱柱，所以侧面是矩形．‎ 又因为，所以四边形是正方形，所以．‎ 因为直三棱柱，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，，，平面，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为直三棱柱，所以，所以．‎ 因为，，平面，所以平面．‎ 因为平面，所以，‎ 因为，所以．‎ ‎17．解：取的中点，连接，连接交于，如图．‎ 由题意知，在直角三角形中，．‎ 在直角三角形中，，‎ 所以，所以．‎ 因为，所以．‎ 从而，‎ 正四棱锥的高 ‎，‎ 所以正四棱锥的体积 ‎，．‎ ‎（2）令，，‎ 则，‎ ‎．‎ 令，得．‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 所以在时取到最大值，此时．‎ ‎18．解：（1）由，在椭圆：上得①，‎ 如图，由为的右顶点，为的上顶点可知，，‎ 因，所以，则②．‎ 联立①②得方程组解得 故所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，又，‎ 所以直线的方程为，‎ 令，得，‎ 所以．同理．‎ 设是以为直径的圆上的任意一点，‎ 则，所以，‎ 令，得．‎ 设直线的方程为，与椭圆的方程联立，‎ 消去得，‎ 所以，，‎ 所以 ‎．‎ 所以，‎ 因为-2

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