中考模拟试题分类汇编18二次函数的图象和性质

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中考模拟试题分类汇编18二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质 一、 选择题 A组 ‎1、(中江县2011年初中毕业生诊断考试) 小李从如图所示的二次函数的图象中,观察得出了下面四条信息:(1)b2-‎4ac>0;(2)c>1;(3)ab>0;(4)a-b+c<0. 你认为其中错误的有( )‎ ‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 答案:A ‎2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) ‎ A.y=2(x + 2)2-2 B.y=2(x-2)2 + 2 ‎ C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x + 2)2 + 2‎ 答案:A ‎3、(2011淮北市第二次月考五校联考)下列函数中,不是二次函数的是( )‎ A、y= B、y=2(x-1)2+4‎ C、y= D、y=(x-2)2-x2‎ 答案 D ‎4、(2011淮北市第二次月考五校联考)根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个解x的取值范围( )‎ x ‎3.23‎ ‎3.24‎ ‎3.25‎ ‎3.26‎ y=ax2+bx+c ‎-0.06‎ ‎-0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.09‎ A、30,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c0,c<0 D.a<0,b>0,c>o ‎ 答案:D ‎16.(2011北京四中模拟)己知二次函数,且则一定有( ).‎ A: B: ‎ C: D:‎ 答案:A ‎17.(2011年北京四中34模)已知抛物线,若点P(,5)与点关于该抛物线的对称轴对称,则点的坐标是( )‎ A.(0 ,5 ) B.(2 ,5) C.(3 , 5 ) D.(4 , 5 )‎ 答案:D ‎18.(2011年北京四中34模)已知二次函数的图象如右图所示,下列结论:① ② ③④的实数), 其中正确的结论有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B ‎19.(2011年杭州市上城区一模)下列函数的图象,经过原点的是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 第7题 ‎20.(2011年杭州市模拟)二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 ‎ 答案:D 第9题 ‎21. (2011年杭州市模拟)如图,在直角梯形中,∥,,,,动点同时从点出发,点沿、、运动到点停止,点沿运动到点停止,两点运动时的速度 都是/,而当点到达点时,点正好到达点.设 点运动的时间为,的面积为.则能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是 A. B. C. D. ‎ 答案:B ‎22.(2011年海宁市盐官片一模)已知二次函数,则函数值y的最小值是( ▲ )‎ A. 3 B. ‎2 ‎ C. 1 D. -1‎ 答案:D ‎23.(赵州二中九年七班模拟)点E为正方形ABCD的BC边的中点,动点F在对角线AC上运动,连接BF、EF.设AF=x,△BEF的周长为y,那么能表示y与x的函数关系的图象大致是( )‎ O x O O O x x x y y y y A B C D A B C D F E 答案:B x y ‎0‎ ‎24.(赵州二中九年七班模拟)二次函数的图像如图所示,则下列结论正确的是( )。‎ A. B.‎ C. D.0‎ 答案:D 一、 填空题 A组 ‎1、(2011重庆市纂江县赶水镇)在正方形的网格中,抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示,请你观察图象并回答:当-1”或“<”或“=”号).‎ 答案:<‎ ‎2、(重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考)小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象,取自变量x的5个值,分别计算出对应的y值,如下表:‎ 1、 2、 ‎…‎ 3、 4、 5、 ‎0‎ 6、 ‎1‎ 7、 ‎2‎ 8、 ‎…‎ 9、 10、 ‎…‎ 11、 ‎11‎ 12、 ‎2‎ 13、 ‎-1‎ 14、 ‎2‎ 15、 ‎5‎ 16、 ‎…‎ 由于粗心,小颖算错了其中的一个y值,请你指出这个算错的y值所对应的x= ______.‎ 答案:2‎ ‎3、(2011年北京四中四模)抛物线的顶点坐标是_____.‎ 答案:(0,-3)‎ ‎4、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线的顶点坐标是________.‎ 答案:(3,-6) ‎ ‎5、(2011北京四中模拟6)把抛物线向上平移2个单位,那么所得抛物线与x轴 的两个交点之间的距离是 .‎ 答案:4‎ ‎6、(2011淮北市第二次月考五校联考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上两点,当x取-1与3时,y值相同,抛物线的对称轴是__________.‎ 答案 X=1‎ ‎7.(淮安市启明外国语学校2010-2011学年度第二学期初三数学期中试卷)如图,菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2-2ax+ (a<0)的图象上,点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为 .‎ 第7题图 答案:(2,)‎ ‎8、(2011年北京四中模拟28)抛物线的顶点坐标是 .‎ 答案:(0,-1)‎ ‎9、(2011浙江杭州模拟14)老师给出一个y关于x的函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数图象不经过第三象限;乙:函数图象经过第一象限;丙:当x<2时,y随x的增大而减小;丁:当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.‎ 答案: 答案不唯一.例如:‎ ‎10、(2011浙江杭州模拟15)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法。甲说:“可以用配方法,把它配成,所以函数的最小值为‎-2”‎。乙说:“我也用配方法,但我配成,最小值为‎2”‎。你认为__________(填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”)的。你还可以用________法等方法来解决.‎ 答案:乙 图象(答案不唯一)‎ ‎11、(2011年黄冈中考调研六)抛物线y=7x2+28x+30的顶点坐标为 。‎ 答案 ‎12、已知关于x的函数y=(m-1)x2+2x+m图像与坐标轴有且只有2个交点,则m= ‎ 答案:‎ ‎13.(河北省中考模拟试卷)抛物线y=(x+1)2-2的顶点坐标是 .‎ 答案:(-1,-2)‎ B组 ‎1.(2011年三门峡实验中学3月模拟)抛物线向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的解析式为____________.‎ 答案:或 ‎ 第2题 ‎2.(2011年三门峡实验中学3月模拟)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为 . ‎ 答案:或 ‎3.( 2011年杭州三月月考)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是 ▲ 。‎ 答案:‎ O x A y H C y=x2‎ ‎4.(2011 天一实验学校 二模).如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2 (x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是 _______________ .‎ 源答案:(3,) ,(,) , (2,2) , (,)‎ ‎5.(2011浙江杭州育才初中模拟)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,点D的坐标为(0,-3)AB为半圆直径,半圆圆心M(1,0),半径为2,则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。(08年益阳第20题)‎ 答案:y=x2-2x-3, y=-2x-3‎ ‎6.(2011年浙江杭州27模)我们知道,根据二次函数的平移规律,可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数,事实上,对于其他函数也是如此。如一次函数,反比例函数等。请问可以由通过_________________________平移得到。‎ 答案:向右平移1个单位,再向上平移3个单位 第7题 ‎7. (2011年浙江省杭州市模2) 如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是 .‎ 答案:(,)(,)(3,)(2,2)‎ ‎8.(安徽芜湖2011模拟)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是 .‎ 答案: x<-1或x>3 ‎ ‎9.(河南新乡2011模拟)已知抛物线与轴的一个交点为,则代数 式的值为_______.‎ 答案:2009‎ ‎10.(浙江杭州进化2011一模)老师给出一个y关于x的函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数图象不经过第三象限;乙:函数图象经过第一象限;丙:当x<2时,y随x的增大而减小;丁:当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.‎ 第11题图 答案:答案不唯一.例如: ‎ ‎11.(2011北京四中模拟)如图示:己知抛物线,关于轴对称,抛物线,关于轴对称。如果抛物线的解析式是,那么抛物线的解析式是 ‎ ‎12.(江西省九校2010—2011第一次联考)将抛物线向下平移1个单位,得到的抛物线是 .‎ 答案:y=2x2-1 ‎ ‎13.(北京四中2011中考模拟12)一个函数具有下列性质:①它的图象不经过第三象限;②图象经过点(-1,1);③当时函数值随自变量x增大而增大.试写出一个满足上述三条性质的函数的解析式 。‎ 答案:等(写一个即可)‎ ‎14.(北京四中2011中考模拟13)把抛物线向上平移2个单位,那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 .‎ 答案:;‎ ‎15.(北京四中2011中考模拟14)抛物线y=(k+1)x-9开口向下,且经过原点,则k=_____.‎ 答案:-3;‎ 一、 解答题 A组 ‎1、(衢山初中2011年中考一模)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别 为.‎ ‎(1)请在图中画出向下平移3个单位的像;‎ ‎(2)若一个二次函数的图象经过(1)中的三个顶点,‎ 求此二次函数的关系式.‎ x O y A C B 答案:20、(1)‎ x O y A ‎ C B A A A ‎         ‎ ‎(2)由题意得的坐标分别是(0,-1),(3,-1),(2,0)‎ 设过点的二次函数的关系式为,则有 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎∴二次函数的关系式为 ‎ ‎2、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)‎ ‎ 如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点,D是抛物线的顶点,O为坐标原点. A、B两点的横坐标分别是方程 的两根,且cos∠DAB=.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)作AC⊥AD,AC交抛物线于点C,求点C的坐标及直线AC的函数解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,使△APC的面积最大?如果存在,请求出点P的坐标和△APC的最大面积;如果不存在,请说明理由.‎ 答案:(10分)解:(1)解方程得,.‎ ‎∴A(-2,0),B(6,0). ‎ 过D作DE⊥x轴于E, ∵D是顶点,‎ ‎∴点E是AB的中点,∴E(2,0).‎ 在Rt△DAE中,∵cos∠DAB=,∴∠DAE=45°,‎ ‎∴AE=DE=4,∴D(2,4) ‎ ‎(由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式,不论用顶点式、两根式还是一般式均可)‎ ‎∴抛物线的解析式为(或写成). ‎ ‎(2)∵AC⊥AD,由(1)∠DAE=45°得:‎ ‎∠BAC=45°,△ACG是等腰直角三角形. ‎ ‎∴设C(a,b)(显然a>0,b<0),‎ 则b=―a―2,即C(a,―a―2)‎ ‎∵点C在抛物线上,∴―a―2=―(a―2)2+4‎ a2―‎8a―20=0‎ 解之得:a1=10,a2=-2(舍去)‎ ‎∴C(10,-12)‎ 设直线AC的方程为,代入A、C的坐标,得 ‎ 解之得:‎ ‎∴直线AC的解析式为y=―x―2. ‎ ‎(3)存在点P(4,3),使S△APC最大=54. ‎ ‎ 理由如下:‎ ‎ 作CG⊥x轴于G,PF∥y轴交x轴于Q,交AC于F. 设点P的横坐标是h,‎ ‎ 则G(10,0),P(h,),F(h,-h-2)‎ ‎ ∴PF= ‎ ‎ △PCF的高等于QG .‎ ‎ S△APC=S△APF+S△PCF ‎ =PF·AQ+PF·QG ‎ =PF(AQ+QG)=PF·AG ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ∴当h=4时,S△APC最大=54. 点P的坐标为(4,3). ‎ ‎3、(2011年北京四中四模)已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个二次函数的解析式.‎ 答案:设所求函数的解析式为把(―1,―5),(0,-4),(1,1)分别代入,得 , 解这个方程组,得所求的函数的解析式为 ‎ ‎4、(2011北京四中模拟7)已知二次函数,它的图象与x轴只有一个交点,交点为A,与y轴交于点B,且AB=2 . (1)求二次函数解析式; (2)当b<0时,过A的直线y=x+m与二次函数的图象交于点C,在线段BC上依次取D、E两点,若,试确定ÐDAE的度数,并简述求解过程。‎ 答案 解法一:(1)∵的图象与x轴只有一个交点 ‎ ‎ ∴一元二次方程=0有两个相等的实数根 ‎ ‎ 由AB=2,得A与B不重合,又a>0 ∴c>0 ∴ac=1 ‎ ‎ ∴二次函数与x轴,y轴交点坐标为 ‎ 在RtDABO中, ‎ ‎ ‎ 把(1)代入(2),解得 把 ‎ ‎ 二次函数解析式为 (2)当b<0时,由二次函数的解析式 ‎ 直线与二次函数图象交点C的坐标为 ‎ 过C点作CF^x轴,垂足为F,可推得 AB=AC,ÐBAC=90°(如图所示) 在CF上截取CM=BD,连结EM、AM,则 可证DABD≌DACM 从而可证DDAE≌DMAE ‎ ‎ ∴∠1=∠2,∠DAE=∠EAM ∴∠DAM=∠BAC=90° ∴∠DAE=45° ‎ ‎5、(2011北京四中模拟8)如图,在直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为‎2cm,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。抛物线经过点B、C。‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D、E分别是AB、BC上的动点,且点D从点A开始,以‎1cm/s的速度沿AB向点B移动,同时点E从点B开始,以 ‎1cm‎/s的速度沿BC向点C移动。运动t 秒(t≤2)后,能否在抛物线上找到一点P,使得四边形BEDP为平行四边形。如果能,请求出t 值和点P的坐标;如果不能,请说明理由。‎ 答案 ‎ ‎;能,,P ‎6、(2011淮北市第二次月考五校联考)已知,二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(-1,0)和点B(3,0)两点,且与y轴交于点C,‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求△ABC的面积。‎ 答案 解:(1)y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3 ………………2分 ‎ (2)AB=3-(-1)=4 ………………4分 ‎ S△ABC=×4×3=6 ………………8分 ‎7、(2011淮北市第二次月考五校联考)丁丁推铅球的出手高度为‎1.6m,在如图所示的直角坐标系中,铅球运动路线是抛物线y=-0.1(x-k)2+2.5,求铅球的落点与丁丁的距离。‎ 答案 y=0.1 x2+0.2kx-0.1k2+2.5 ………………2分 ‎ -0.1k2+2.5=1.6 k=±3 k=3 ………………4分 ‎0.1(x-3)2+2.5=0 x1=-2(舍去) x2=8 ‎ 所以, 铅球的落点与丁丁的距离为‎8cm. ………………8分 ‎8.(淮安市启明外国语学校2010-2011学年度第二学期初三数学期中试卷)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过、两点,抛物线与y轴交点为C,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.‎ ‎(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;‎ ‎(2)如果P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为s,求s与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出s的最大值;‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ E x O 第8题图 ‎(3)在(2)的条件下,当s取得最大值时,过点P作x的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为P',请直接写出P'点坐标,并判断点P'是否在该抛物线上.‎ 答案:(1)抛物线解析式为:. 顶点的坐标为. ‎ ‎(2)设直线解析式为:(),把两点坐标代入,‎ 得 解得.∴直线解析式为.‎ ‎,s=PE·OE ∴ ‎ ‎ .‎ ‎∴当时,取得最大值,最大值为. ‎ ‎(E)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ x O F M H ‎(3)当取得最大值,,,∴.‎ ‎∴四边形是矩形.‎ 作点关于直线的对称点,连接.‎ 过作轴于,交轴于点.‎ 设,则.‎ 在中,由勾股定理,‎ ‎.解得.‎ ‎∵,∴.‎ 由,可得,.‎ ‎∴. ∴坐标. 不在抛物线上。‎ ‎9.(2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题)已知二次函数的图象Q与x轴有且只有一个交点P,与y轴的交点为B(0,4),且ac=b, ‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式。‎ ‎(2)将一次函数y=-3x的图象作适当平移,使它经过点P ‎,记所得的图象为L,图象L与Q的另一个交点为C,请在y轴上找一点D,使得△CDP的周长最短。‎ 答案:(1)由B(0,4)得,c=4. ‎ Q与x轴的交点P(,0),‎ 由条件,得,所以=,即P(,0).‎ 所以解得 所求二次函数的解析式为.‎ ‎(2)设图象L的函数解析式为y=x+b,因图象L过点P(,0),‎ O P B C x y P’‎ D 所以,即平移后所得一次函数的解析式为 y=.‎ 令=,‎ 解得,. ‎ 将它们分别代入y=,‎ 得,. ‎ 所以图象L与Q的另一个交点为C(,9).‎ ‎∵点P(,0)关于y轴的对称点为点P’(2,0)‎ 则直线CP’的解析式为,且与y轴的交点为 即 ‎ ‎10.(2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题)已知:抛物线经过点,,且对称轴与轴交于点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)如图,点、分别是轴、对称轴上的点,且四边形是矩形,点是上一点,将沿着直线翻折,点与线段上的点重合,求点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点是对称轴上的点,直线交于点,,求点坐标.‎ ‎(第3题图)‎ 答案:(1)由题意得 解,得∴.‎ ‎(2)∵与重合,,∴,,∴,又,‎ ‎∴,∵,∴∽,‎ ‎∴,‎ ‎∵四边形是矩形,∴,,‎ 设,则,∴,‎ ‎∴,解,得,∴,∴.‎ ‎(3)过点作,垂足为点.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,,∴∥,‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴经过点,的直线的表达式为,‎ ‎∴.‎ ‎11.(2010-2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x 答案:(1)‎ ‎(2)①点P不在直线ME上 ‎②依题意可知:P(,),N(,)‎ 当0<t<3时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向向下,∴当=,且0<t=<3时,=‎ 当时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得,==3‎ 综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值.‎ ‎12、(2011浙江杭州模拟15)‎ ‎_‎ M ‎_‎ A ‎_‎ B ‎_‎ O ‎_‎ x ‎_‎ y 第1题图 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点A、B,M是抛物线上一个动点,连接OM。‎ (1) 当M为抛物线的顶点时,求△OMB的面积;‎ (2) 当点M在抛物线上,△OMB的面积为10时,求点M的坐标;‎ (3) 当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧,M运动到何处时,△OMB的面积最大;‎ 答案:‎ ‎13、(2011年北京四中中考模拟20)(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,),C(0,),点T在线段OA上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A′),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;‎ ‎(1)求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式;‎ ‎(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围;‎ ‎(3)S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在,请说明理由。‎ y x O B C A T y x O B C A T 解:(1) ∵A,B两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,),‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴‎ ‎ 当点A´在线段AB上时,∵,TA=TA´,‎ ‎ ∴△A´TA是等边三角形,且,‎ ‎ ∴,,‎ A A´‎ B P T E C O y x ‎ ∴,‎ ‎ 当A´与B重合时,AT=AB=,‎ ‎ 所以此时。‎ ‎ (2)当点A´在线段AB的延长线,且点P在线段AB(不与B重合)上时,‎ ‎ 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1),其中E是TA´与CB的交点),‎ A´‎ A T C O y x P F ‎ 当点P与B重合时,AT=2AB=8,点T的坐标是(2,0)‎ ‎ 又由(1)中求得当A´与B重合时,T的坐标是(6,0)‎ B E ‎ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,。‎ ‎ (3)S存在最大值 ‎ 当时,,‎ ‎ 在对称轴t=10的左边,S的值随着t的增大而减小,‎ ‎∴当t=6时,S的值最大是。‎ 当时,由图,重叠部分的面积 ‎∵△A´EB的高是,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当t=2时,S的值最大是;‎ 当,即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图,其中E是TA´与CB的交点,F是TP与CB的交点),‎ ‎∵,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,‎ ‎∴‎ 综上所述,S的最大值是,此时t的值是。‎ 图5‎ ‎14、(2011年北京四中中考模拟18) 已知二次函数的图象经过点(2,0)、(-1,6)。 (1)求二次函数的解析式; (2)画出它的图象; (3)写出它的对称轴和顶点坐标。 ‎ 解:(1)依题意,得:,解得:‎ ‎  所以,二次函数的解析式为:y=2x2-4x ‎(2)(图略);(3)对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-2)。‎ ‎15、(2011年北京四中中考模拟19)(本小题满分6分)‎ ‎ 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点,且与y轴交于点C(0,3)。‎ ‎(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴方程和顶点M坐标;(3)求四边形ABMC的面积。‎ 解:(1)y=—x2+2x+3;(2)x=1,M(1,4),(3)9;‎ ‎16、(北京四中模拟)‎ 已知:二次函数的图象与X轴交于A(1,0)、B(5,0),抛物线的顶点为P,且PB=,‎ 求:(1)二次函数的解析式。‎ ‎(2)求出这个二次函数的图象;‎ ‎(3)根据图象回答:当x取什么值时,y的值不小于0。‎ 解(1)由题意,设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax2-6ax+‎‎5a ‎ 对称轴为x=3,设对称轴与x轴的交点为C(3,0)‎ ‎ ∴OC=3 ∵OB=5 ∴BC=2‎ ‎ ∵P是顶点,BP= ∴PC=4 P(3,-4)‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎ ∴二次函数的解析式为 ‎ (2)略 (3)当11‎ ‎∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.‎ ‎①若B1为顶点,由B1(1,),则d=1-=‎ ‎②若B2为顶点,由B2(2,),则d=1-=‎ 综上所述,d的值为或时,存在美丽抛物线。‎ ‎2. (2011浙江慈吉 模拟)已知如图, 四边形ABCD是平行四边形, A、B均在轴上, 点C的坐标是(6, 3), AD所在的直线的解析式为.‎ ‎ (1)求A、B、D的坐标;‎ ‎(2)以D为顶点的抛物线经过点B, 若将抛物线向上平移()个单位后经过点A, 求原抛物线的解析式及的值.‎ 答案:‎ ‎(1)当时,,得 ‎ 点A的坐标为() ‎ ‎ 四边形ABCD是平行四边形 ‎ AB∥CD,AB=CD ‎ ‎ ‎ ‎ 得 点D的坐标为() ‎ ‎ AB=CD=‎ ‎ 点B的坐标是() ‎ ‎ (2)设原抛物线的解析式为 ‎ 把点B的坐标()代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ 原抛物线的解析式为 ‎ ‎ 设原抛物线向上平移个单位后的解析式为 ‎ 把点A()代入得 ‎ ‎ ‎ ‎3.( 2011年杭州三月月考)如图,已知抛物线与轴交于点,,与轴交于点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标;‎ ‎(2)设直线交轴于点.在线段的垂直平分线上是否存在点,使得点到直线的距离等于点到原点的距离?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;‎ A B C O x y ‎(3)过点作轴的垂线,交直线于点,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?‎ 答案: ‎ ‎(1)设抛物线解析式为,把代入得.‎ ‎, 顶点 ‎ ‎(2)假设满足条件的点存在,依题意设,‎ 由求得直线的解析式为,‎ 它与轴的夹角为,设的中垂线交于,则.‎ 则,点到的距离为.‎ 又. ‎ ‎.‎ 平方并整理得:‎ ‎.‎ 存在满足条件的点,的坐标为. ‎ ‎(3)由上求得.‎ ‎①若抛物线向上平移,可设解析式为.‎ 当时,.‎ 当时,.‎ A B C O x y D F H P E 或.‎ ‎. ‎ ‎②若抛物线向下移,可设解析式为.‎ 由,‎ 有.‎ ‎,.‎ 向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移个单位长. ‎ ‎4.(2011年三门峡实验中学3月模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ 答案:‎ 解:(1)将B、C两点的坐标代入得 ‎ 解得: ‎ 所以二次函数的表达式为: . ‎ ‎(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.‎ 连结PP 则PE⊥CO于E,‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=.‎ ‎∴= ‎ 解得=,=(不合题意,舍去)‎ ‎∴P点的坐标为(,) ‎ ‎(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,‎ 设P(x,),‎ 易得,直线BC的解析式为 则Q点的坐标为(x,x-3). ‎ ‎= ‎ 当时,四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积.‎ ‎5.(2011浙江杭州义蓬一模)如图①, 已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.‎ 图①‎ 图②‎ ‎(1) 求抛物线的解析式;‎ ‎(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点N ,问在对称轴上是否存在点P,使△‎ CNP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3) 如图②,若点E为第三象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.‎ 答案:‎ 如图①, 已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.‎ ‎(1) y=x+2x-3 ‎ ‎(2)P(-1,),P(-1,- ),P(-1,-6),P(-1,-) ‎ ‎(3) S=1/2×3×(-x-2x+3)+ 1/2×3×(-x)‎ S=-3/2(x+3/2)+63/8‎ X=-3/2 , S=63/8 ‎ E(-3/2,-15/4) ‎ ‎6. (2011广东南塘二模)已知抛物线y=‎ ‎(1)求抛物线与坐标轴的交点坐标;‎ ‎(2)不列表画出大致图象,根据图象求当y<0时自变量x的取值范围。‎ 答案:(1)(-1,0)、(3,0)、(0,-2)‎ ‎(2)-1<x<3‎ ‎7.(浙江杭州金山学校2011模拟)(根据杭州启正中学2010学年第二学期九下期初摸底卷第14题改编)已知关于的函数的图像与坐标轴只有2个交点,求的值.‎ 答案:解:分情况讨论:‎ ‎(ⅰ)时,得. 此时与坐标轴有两个交点,符合题意. ‎ ‎(ⅱ)时,得到一个二次函数.‎ ① 抛物线与x轴只有一个交点, 解得 ‎ ‎ ② 抛物线与x轴有两个交点,其中一个交点是(0,0) ‎ ‎ 把(0,0)带入函数解析式,易得 ‎ y x O A B C ‎8.(2011年海宁市盐官片一模)如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标.‎ 答案:解:(1)抛物线经过,两点,‎ ‎ 解得 抛物线的解析式为.‎ y x O A B C D E ‎(2)点在抛物线上,,‎ 即,或.‎ 点在第一象限,点的坐标为.‎ 由(1)知.‎ 设点关于直线的对称点为点.‎ ‎,,且,‎ ‎,‎ y x O A B C D E P F 点在轴上,且.‎ ‎,.‎ 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).‎ ‎(3)作于,于.‎ 由(1)有:,‎ ‎.‎ ‎,且.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,,,‎ ‎.‎ 设,则,,‎ ‎.‎ 点在抛物线上,‎ ‎,‎ ‎(舍去)或,.‎ y x O ‎4‎ ‎8‎ ‎-8‎ ‎-4‎ ‎9.(赵州二中九年级七班模拟)已知抛物线y=(k-1)x2+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点。‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)当k为整数,且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长。‎ 答案:‎ 解:(1),‎ 依题意,得 ‎ ‎∴的取值范围是且. ① ‎ ‎(2)解方程,得 ‎. ‎ ‎∵方程的解是负数,‎ ‎∴. ∴. ② ‎ 综合①②,及为整数,可得 .‎ ‎∴抛物线解析式为 . ‎ ‎(3)如图,设最大正方形ABCD的边长为m,则B、C两点的纵坐标为,‎ 且由对称性可知:B、C两点关于抛物线对称轴对称.‎ ‎∵抛物线的对称轴为:.‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ ‎∵C点在抛物线上,‎ ‎∴.‎ 整理,得 .‎ ‎∴(舍负)‎ ‎∴.‎
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