江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）数学试题

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）数学试题

南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（三） 试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。‎ ‎1.已知集合则∩ ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是的共轭复数，则 ( )‎ ‎ ‎ ‎3.设向量，，，且，则 ( )‎ ‎ ‎ ‎4.的展开式中的系数是 ( )‎ ‎ ‎ ‎5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( )‎ A．里 B．里 C．里 D．里 ‎6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，‎ ‎；当 时，，则f(6)= ( )‎ A．−2 B．−1 C．0 D．2‎ ‎8．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是 ( )‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9． 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为 ( ) ‎ A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>0>b，则a2<－ab D．若c>a>b>0，则> ‎10. 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是 ( ) ‎ 的方程为 的离心率为 ‎ 曲线经过的一个焦点 直线与有两个公共点 ‎11．将函数图象向右平移个单位得函数的图像．则下列命题中正确的是 ( ) ‎ A．在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C． D．函数的图像关于点对称 ‎12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，以下结论正确的有 ( ) ‎ A．AC⊥BE； B．点A到ΔBEF的距离为定值 C．三棱锥A－BEF的体积是正方体体积的； ‎ D．异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．如果角的终边过点，那么等于 .‎ ‎14．设，则的最小值为 .‎ ‎15. 已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数 .‎ ‎16. 已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是___________;三棱锥的外接球的表面积是____________.‎ ‎南京市秦淮中学2019～2020学年高二下期末测试（模拟卷三）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13：_______________; 14 : ______________; 15：______________; 16 :_________ ， __________;‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求sinC．‎ ‎18.（10分）‎ 已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎19.（12分）‎ 如图，直三棱柱中，分别是的中点， ‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎20.（12分）‎ 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？‎ 附：，，，.‎ ‎21.（12分）‎ 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎（1）若，求l的方程；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎22.（14分）‎ 已知函数，其中为自然对数底数.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；‎ ‎（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.‎ 南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（三） 答案 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。‎ ‎1.已知集合则∩ ( B )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是的共轭复数，则 ( D )‎ ‎ ‎ ‎3.设向量，，，且，则 ( A )‎ ‎ ‎ ‎4.的展开式中的系数是 ( B )‎ ‎ ‎ ‎5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( B )‎ A．里 B．里 C．里 D．里 ‎6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=( D ) ‎ A．−2 B．−1 C．0 D．2‎ ‎8．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是( D )‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎ ‎ ‎9． 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为 ( BD ) ‎ A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>0>b，则a2<－ab D．若c>a>b>0，则> ‎10. 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是 ( AC ) ‎ 的方程为 的离心率为 ‎ 曲线经过的一个焦点 直线与有两个公共点 ‎11．将函数图象向右平移个单位得函数的图像．则下列命题中正确的是 ( AC ) ‎ A．在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C． D．函数的图像关于点对称 ‎12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，以下结论正确的有 ( ABC ) ‎ A．AC⊥BE； B．点A到ΔBEF的距离为定值 C．三棱锥A－BEF的体积是正方体体积的； ‎ D．异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．如果角的终边过点，那么等于______________.‎ ‎14．设，则的最小值为______________.‎ ‎15. 已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数 .‎ ‎16. 已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是___________;三棱锥的外接球的表面积是__________.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求sinC．‎ 解：（1）由已知得，故由正弦定理得．‎ 由余弦定理得．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，‎ 即，可得．‎ 由于，所以，故 ‎．‎ ‎18.已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由=，得 当=1时，；‎ 当2时，，.‎ 由，得，.‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎19.如图，直三棱柱中，分别是的中点， ‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，‎ 因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，‎ 平面，所以 //平面；‎ ‎（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，‎ 所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、‎ 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则、、、，‎ ‎，，，‎ ‎，设平面的法向量为，‎ 则且，可解得，令，得平面的 一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，‎ 则，所以，所以二面角D--E的正弦值为．‎ ‎20.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？‎ 附：，，，.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，，，，‎ 所以对的回归直线方程为：．‎ ‎（2）设获得的利润为，，‎ 因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，‎ 所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．‎ ‎21.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎（1）若，求l的方程；‎ ‎（2）若，求．‎ 解析 设直线．‎ ‎（1）由题设得，故，由题设可得．‎ 由，可得，则．‎ 从而，得．所以的方程为．‎ ‎（2）由可得．‎ 由，可得．‎ 所以．从而，故．‎ 代入的方程得．故．‎ ‎22.已知函数，其中为自然对数底数.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；‎ ‎（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.‎ 解：（1）当时，，，，‎ ‎∴函数在点处的切线方程为，即． ‎ ‎（2）∵，‎ ‎①当时，，函数在上单调递增；‎ ‎②当时，由得，‎ ‎∴时，，单调递减；时，，单调递增． ‎ 综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，‎ ‎∴不可能恒成立；‎ 当时，，此时；‎ 当时，由函数对任意都成立，得，‎ ‎∵，∴ ∴， ‎ 设，∴ ， ‎ 由于，令，得，，‎ 当时，，单调递增；时，，单调递减．‎ ‎∴，即的最大值为，此时． ‎