四川省广安市武胜烈面中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

四川省广安市武胜烈面中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

烈面中学高2018级高二上期第一次月考试题 ‎（数学文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．‎ 解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．‎ 故选D 考点：空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎2.下列推理错误的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ，‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】A、B分别是公理、的符号表示，故它们都是正确的；‎ 对于C，有两种可能， ，与相交；若交点为，则且．故错；‎ D是公理的性质，正确,故选C．‎ 考点：平面的基本性质及推论．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题，亦属于易错题．利用集合的符号语言来描述平面几何中点、线、面的位置关系，学生在理解上存在着差异，点相当于元素，而线与平面看成是点的集合，所以点与线面的关系是属不属于的关系，而直线与平面之间是含与不含的关系,线与面之间当然也可以进行交运算．‎ ‎3.如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有(　　)‎ A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的判定，可分析出AD,BC两条直线和平面平行.‎ ‎【详解】显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．‎ ‎【点睛】本题主要考查了中位线的性质，直线与平面平行的判定定理，属于中档题.‎ ‎4.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）‎ A. AC B. A1D1 C. A1D D. BD ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直 ‎【详解】，平面，平面，‎ 则平面 ‎ 又因为平面 则 故选D ‎【点睛】本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果 ‎5.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，‎ ‎，故选D.‎ ‎6.如果平面a 外有两点 ，它们到平面a 的距离都是，则直线和平面a 的位置 关系一定是( )．‎ A. 平行 B. 相交 C. AB Ìa D. 平行或相交 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，结合线面位置关系，分类得到两种结果 ‎【详解】‎ 由题意可得两点在面的异侧和同侧两种情况，结合图形可知直线与平面相交或平行，故选D ‎【点睛】本题考查了线面的位置关系，结合题意，需要进行分类讨论 ‎7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意不妨令棱长为，如图 在底面内的射影为的中心，故 由勾股定理得 过作平面，则为与底面所成角，且 如图作于中点 与底面所成角的正弦值 故答案选 点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．‎ ‎8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是(　　)‎ A. D1O∥平面A1BC1‎ B. MO⊥平面A1BC1‎ C. 二面角M－AC－B等于90°‎ D. 异面直线BC1与AC所成的角等于60°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体内由线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及线面角、线线角的知识来判断 ‎【详解】对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形 故 平面平面平面，故正确 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，‎ ‎,易证平面，则平面，故正确；‎ 对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误 对于D，为异面直线与所成的角，‎ 为等边三角形，，故正确 故选C ‎【点睛】本题考查了在正方体内的线面平行、线面垂直，求二面角的平面角的大小以及异面直线的大小，需要熟练运用判定方法等相关知识，较为综合 ‎9.设 m，n 是两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )‎ A. a∥ b ，m⊥a ，n∥ b Þ m⊥n B. a ⊥ b ，m⊥a ，n∥ b Þ m⊥n C. m⊥a ，n Ì b ，m⊥n Þ a⊥ b D. a ⊥ b ，a ∩ b ＝m，n⊥m Þ n⊥b ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定定理与性质来解题 ‎【详解】对于A，因为，所以，又因为，故A正确；‎ 对于B，满足，，则有，或相交，或异面，故B错误；‎ 对于C，如图所示，‎ 满足，但不满足，故C错误；‎ 对于D，若，，，则与相交、平行或，故错误 故选A ‎【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，平面与平面平行、垂直的判定与性质，需要熟练掌握并运用 ‎10.平面a⊥平面 b，A∈α，B∈β，AB 与两平面a，β所成的角分别为和，过 A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为 ，则等于( )．‎ A. 3∶2 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 4∶3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果 ‎【详解】在中，‎ 在中，,‎ 在中，,‎ 所以 ‎ 故选C ‎【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 ‎11.若P为△ABC所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】设△ABC为直角三角形，过一锐角顶点A，如果有PA⊥平面ABC，则如图所示： ‎ 因为PA⊥平面ABC，PA⊥AC，PA⊥AB，‎ 所以△PAB，△PAC为直角三角形.‎ 因BC⊥AB，PA⊥BC，‎ 所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.‎ 所以△PBC是直角三角形，‎ 所以△ABC，△PAB，△PAC，△PBC四个三角形都是直角三角形.‎ 故选A ‎12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：‎ ‎①平面MB1P⊥ND1；‎ ‎②平面MB1P⊥平面ND1A1；‎ ‎③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；‎ ‎④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．‎ 其中正确的命题序号是(　　)‎ A. ① B. ②③‎ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的几何性质及线面垂直、面面垂直等相关知识对四个命题进行判断 ‎【详解】①平面,可用极限位置判断，当与重合时，平面不成立，故①错误；‎ ‎②因为,且，平面，‎ 又平面，则平面平面，故②正确 ‎③在底面上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是，点在底面上的投影在上，故其到的距离不变，故投影图形的面积为定值，故③正确；‎ ‎④当点落在点时，在侧面上射影图形是条线段，故④错误，‎ 故正确的是②③，故选B ‎【点睛】本题考查了在正方体内线面垂直、面面垂直的判定及射影等知识，需要熟练运用各知识来解题，较为综合 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷中的相应位置.‎ ‎13.已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是_____．‎ ‎【答案】垂直 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用线面垂直的判定定理和性质定理解答出结果 ‎【详解】 ，‎ 则平面平面 所以 故和的关系是垂直 ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直，属于基础题 ‎14.如图: PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先过B作BD∥AC，且BD=AC得到下底面为矩形，把问题转化为求∠PBD；然后通过PA⊥DB，DB⊥AD证得DB⊥平面PAD，进而求出BD，PA；在RT△PDB中，求出∠PBD的正切值即可．‎ ‎【详解】过B作BD∥AC，且BD=AC；‎ 所以ADBC为矩形,‎ 且∠PBD（或其补角）即为所求．‎ 因为PA=AC=BC=a ‎∴AD=a；BD=a ‎∵PA⊥平面ABC ‎∴PD=；‎ 又因为PA⊥DB，DB⊥AD⇒DB⊥平面PAD⇒BD⊥PD．‎ 在RT△PDB中，tan∠PBD=．‎ 即异面直线PB与AC所成的角的正切值等于．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考察异面直线及其所成的角．解决本题的关键在于通过过B作BD∥AC ‎，把问题转化为求∠PBD．‎ ‎15.如图，AC是平面a的斜线，且 AO＝a，AO 与a 成 60º角，OCÌa，AA′⊥a于A′，∠A′OC＝45º，则点 A 到直线 OC 的距离是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在图形中依据三角形各边的数量关系来解三角形 ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了点到直线的距离计算，在立体几何中将其转为在三角形中求解，需要掌握此类题目解题方法 ‎16.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，，则．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直判断与性质定理进行判断选择 ‎【详解】取BC中点M,若，，则平面ADM,即，①正确；‎ 作平面BCD于O，若，则,若，则,所以O为三角形BCD的垂心，即,因为平面BCD，所以，④正确；‎ 如图,但不垂直，所以②错误 如图,但不垂直，所以③错误 ‎【点睛】本题考查线面垂直判断与性质定理，考查基本分析论证能力，属中档题 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：‎ ‎(1)DE∥平面BCP；‎ ‎(2)四边形DEFG为矩形．‎ ‎【答案】(1)见解析； (2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明.‎ ‎【详解】证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.‎ 又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.‎ ‎(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，‎ 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.‎ 所以四边形DEFG为平行四边形．‎ 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.‎ 所以四边形DEFG为矩形．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面平行判定及中位线的性质，属于中档题.‎ ‎18.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由正方体性质及中点可得到MB1∥AN，CN∥MD利用线面平行的判定定理可得到MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC，从而得到面面平行.‎ ‎【详解】如图，连接MN．‎ ‎∵M，N分别是所在棱中点，‎ ‎∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．‎ ‎∴MB1∥AN，CN∥MD 又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝D，‎ ‎∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC．‎ ‎∴平面MDB1∥平面ANC．‎ 考点：线线平行，面面平行的判定 ‎19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC的中点E，连接A1E，AE，先证明AE⊥平面A1BC，然后再证明A1D∥AE，从而得证A1D⊥平面A1BC ‎【详解】证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.‎ 由题意得A1E⊥平面ABC，‎ 所以A1E⊥AE.‎ 因为AB＝AC，‎ 所以AE⊥BC.‎ 故AE⊥平面A1BC.‎ 连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，‎ 所以AA1DE为平行四边形．‎ 于是A1D∥AE.‎ 因为AE⊥平面A1BC，‎ 所以A1D⊥平面A1BC.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的证明，在解题过程中将其转换为另一条线与面垂直，再证明线线平行，解答此类题目需要熟练运用线面平行及线面垂直的判定定理和性质定理 ‎20.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．‎ ‎(1)求证：PC⊥AD.‎ ‎(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由线面垂直判定定理证明AD⊥平面POC，继而得到PC⊥AD ‎（2）取棱PB的中点Q，连接QM，证明QM∥AD，从而A，Q，M，D四点共面 ‎【详解】(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC.‎ 依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形．‎ 所以OC⊥AD，OP⊥AD.‎ 又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC.‎ 又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.‎ ‎(2)解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．‎ 证明如下：‎ 取棱PB的中点Q，连接QM.‎ 因为M为PC的中点，所以QM∥BC.‎ 在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD.‎ 所以A，Q，M，D四点共面．‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直的证明，需要先证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理证明线线垂直；要说明四点共面，只需要证明线线平行，则四点即共面 ‎21.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求直线PC与平面PAB所成的角．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接CO，由题意可得△ACO为等边三角形，即得CD⊥AO，再由题意得PD⊥CD，即证得CD⊥平面PAB ‎ ‎（2）由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，在三角形中结合各边长解三角形即可求出结果 ‎【详解】(1)证明：连接CO，‎ 由3AD＝DB知，点D为AO的中点．‎ 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.‎ 由AC＝BC知，∠CAB＝60°，‎ 所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.‎ 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，‎ 所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，‎ 由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，‎ 得CD⊥平面PAB.‎ ‎(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，‎ 又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.‎ 在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，‎ 所以，∠CPD＝30°，‎ 即直线PC与平面PAB所成的角为30°.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直及线面角得大小，需要熟练运用线面垂直得判定定理，再结合题意证明出结果，求线面角时转化为解三角形，关键是找出线面角，然后再计算 ‎22.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．‎ ‎(1) 证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2) 若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，‎ 又E是正三角形ABC边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，‎ 所以A1D＝CD＝AB＝，在Rt△AA1D中，AA1＝‎ ‎，所以FC＝AA1＝，故三棱锥F－AEC的体积V＝S△AEC×FC＝.‎ 考点：平面与平面垂直的判定.‎ ‎ ‎