高中数学人教a版选修1-1第三章导数及其应用学业分层测评16word版含答案
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数 y＝f(x)的图象如图 3－3－4 所示，则导函数 y＝f′(x)的图
象可能是( )
图 3－3－4
【解析】 由函数 y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋
∞)上，函数 f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)
均小于 0，故选 D.
【答案】 D
2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
【解析】 ∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0 恒成立，∴f(x)在(－
∞，＋∞)上为增函数．
【答案】 A
3．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
【解析】 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x
＋3)ex>0，由于 ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3
0，所以 f(x)
在(0，＋∞)上是增函数，所以有 f(2)0；
②若在(a，b)内 f′(x)存在，则 f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意 x 都有 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有 f′(x)<0，则在(a，b)内有 f(x)<0.
【解析】 对于①，可以存在 x0，使 f′(x0)＝0 不影响区间内函数
的单调性；对于②，导数 f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；
对于④，f′(x)<0 只能得到 f(x)单调递减．
【答案】 ③
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝1
2x＋sin x，x∈(0,2π)；
(2)f(x)＝2x－ln x.
【解】 (1)∵f′(x)＝1
2
＋cos x，
令 f′(x)>0，得1
2
＋cos x>0，即 cos x>－1
2.
又∵x∈(0,2π)，∴00，解得 x>1
2
；
令 2－1
x<0，解得 00，
此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－10，所
以 f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当 01 时，xf′(x)>0，所以 f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上
升的，由上述分析，可知选 C.
【答案】 C
2．设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x)＞g′(x)，则当 a＜x＜b
时，有( ) 【导学号：26160085】
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
【解析】 ∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当 a＜x＜b 时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选 C.
【答案】 C
3．若函数 f(x)＝ln x－1
2ax2－2x 存在单调递减区间，则实数 a 的取
值范围是________．
【解析】 f′(x)＝1
x
－ax－2＝－ax2＋2x－1
x .
因为函数 f(x)存在单调递减区间，所以 f′(x)≤0 有解．
又因为函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
所以 ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内有解．
①当 a>0 时，y＝ax2＋2x－1 为开口向上的抛物线，
ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内恒有解；
②当 a<0 时，y＝ax2＋2x－1 为开口向下的抛物线，
若 ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内恒有解，
则
Δ＝4＋4a≥0，
x＝－1
a>0，
解得－1≤a<0；
③当 a＝0 时，显然符合题意．
综合上述，a 的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】 [－1，＋∞)
4．已知函数 f(x)＝x3－ax－1.
(1)若 f(x)在 R 上单调递增，求 a 的取值范围；
(2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出 a
的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1 的图象不可能总在直线 y＝a 的上方．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0 在 R 上恒成立，即 a≤3x2
在 R 上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当 a≤0 时，f(x)＝x3－ax－1 在 R
上是增函数，又 a＝0 时，f′(x)＝3x2 不恒为 0，∴a≤0.
(2)∵3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2 在(－1，1)上恒成
立．但当 x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当 a≥3 时，f(x)在(－
1,1)上单调递减．
(3)证明：取 x＝－1，得 f(－1)＝a－2
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