专题02 函数-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）
1
专题 02 函数
易错点 1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化
已知 ( )1 3f x x ＝ ，求 f（x）的解析式.
【错解】令 1x t ，则 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有 f（x）＝2－x2.
【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“ 1x ”是有范围限制的．利用换元法求
函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
【试题解析】令 1x t ，则 t≥0，且 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），
即 f（x）＝2－x2（x≥0）．
【参考答案】f（x）＝2－x2（x≥0）．
利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．
1．已知 1 2f x x x ，则 f x
A． 2 1 1x x B． 2 1x
C． 2 1 1x x D． 2 1x
2
注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为 1t ，忽略了这一点，在求 f x 时就会出错.本题也可用配凑
法，具体解析过程如下： 2
1 2 2 1 1 1 1f x x x x x x ，又 1 1x ，所以
2 1 1f x x x ．故选 A．
易错点 2 分段函数的参数范围问题
设函数
3 1, 1
( )
2 , 1x
x x
f x
x
,则满足 ( )( ) 2 aff f a ＝ 的 a 的取值范围是
A． 2[ ,1]3 B．[0,1]
C． 2[ , )3
D．[1，＋∞）
【错解】当 a<1 时，f（a）＝3a－1，
此时 f（f（a））＝3（3a－1）－1＝9a－4，
3 12 2af a－＝ ，方程无解．
当 a≥1 时， 2 1af a ＝ ，
此时 2 22 2 2a aaff f a ＝ ， ＝ ，
方程恒成立，故选 D．学科网
【错因分析】对字母 a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对 3a－1 与 1 的大小进行探讨，即参数 a 的
分界点应该有 2 个，a＝2
3
或 a＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．
【参考答案】C
3
求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值 f（x0）时，首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代
入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
2．已知函数
2
1 , 02
2 ,0 4
x
a xf x
x x x
的值域是 8,1 ，则实数 a 的取值范围是
A． , 3 B． 3,0
C． 3, 1 D． 3
【答案】B
易错点 3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误
若函数 f（x）＝x2＋2ax＋4 的单调递减区间是（－∞，2]，则实数 a 的取值范围是________.
【错解】函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，
即 a≤－2.
【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
【试题解析】因为函数 f（x）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x＝－a，
所以有－a＝2，即 a＝－2.
【参考答案】a＝－2
4
单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在
某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔
细读题，明确条件的含义．
3．已知函数 2 2 1 2f x x a x 在区间 ,5 上为减函数，则实数 a 的取值范围为__________．
【解析】∵函数 2 2 1 2y x a x 的图象是开口方向朝上，以直线 1x a 为对称轴的抛物线，
若函数 2 2 1 2y x a x 在区间 ,5 上是减函数，则5 1 a ，即 4a ．
【答案】 4a
易错点 4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x－1） x＋1
x－1
；
（2）f（x）＝ 1－x2
|x＋2|－2
.
【错解】（1）f（x）＝（x－1）· x＋1
x－1
＝ x2－1.
∵ 2( )( ) ( )1f fx x x = = ，∴f（x）为偶函数．
（2）
2 21 ( ) 1
| 2|( 2) 2 | | 2
x xf x x x
＝ ＝ ，
∵f（－x）≠－f（x）且 f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．
【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定
义域制约条件下将 f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．
【试题解析】（1）由x＋1
x－1
≥0 得{x|x＞1，或 x≤－1}，
∵f（x）定义域关于原点不对称，
5
∴f（x）为非奇非偶函数．
（2）由 1－x2≥0
|x＋2|－2≠0
得－1≤x≤1 且 x≠0，定义域关于原点对称，
又－1≤x≤1 且 x≠0 时，f（x）＝ 1－x2
x＋2－2
＝ 1－x2
x
，
∵
2 21 (( ) ) 1 ( )x xf x f xx x
＝ ＝ ，
∴f（x）为奇函数．
【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．
根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性
的条件．学科！网
函数奇偶性判断的方法
（1）定义法：
（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函
数．此法多用在解选择填空题中．
4．下列函数为奇函数的是
A． lny x B． exy
C． siny x x D． e ex xy
【解析】对于选项 A，定义域为 0, ，不关于原点对称，故不是奇函数，所以选项 A 错；
对于选项 B， 1e e
x
xf x f x ，故不是奇函数，所以选项 B 错；
对于选项 C， sin sin sinf x x x x x x x f x ，所以 siny x x 为偶函数，故选项 C
6
错；
对于选项 D， e e e ex x x xf x f x ，所以函数 e ex xy 为奇函数，故选项 D 正
确.
故选 D.
【答案】D
判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称
的既不是奇函数也不是偶函数.再找 f x 与 f x 的关系，若 f x f x ，则函数 f x 为偶函数；
若 f x f x ，则函数 f x 为奇函数.
易错点 5 因忽略幂底数的范围而导致错误
化简（1－a）[（a－1）－2（－a）
1
2 ]
1
2 ＝________.
【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）
1
2 ]
1
2 ＝（1－a）（a－1）－1·（－a）
1
4 ＝－（－a）
1
4 .
【错因分析】忽略了题中有（－a）
1
2 ，即相当于告知－a≥0，故 a≤0，这样，[（a－1）－2]
1
2 ≠（a－1）－1.实际上
在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方
数是否符合要求，如本例中
1
2( )a ，则必须有－a≥0，即 a≤0.
7
5．化简式子 66 ( 0, 0)b a a b 的结果是 __________．
【解析】因为 0a ， 0b ，所以 0,a b 又因为结果一定非负，所以 66 b a a b ，故答案为
a b ．
【答案】 a b
易错点 6 忽略了对数式的底数和真数的取值范围
对数式 log（a－2）（5－a）＝b 中，实数 a 的取值范围是
A．（－∞，5） B．（2,5）
C．（2，＋∞） D．（2,3）∪（3,5）
【错解】由题意，得 5－a>0，∴a<5.故选 A．
【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．
【试题解析】由题意，得
5－a>0，
a－2>0，
a－2≠1，
∴2
0 恒成立，∴Δ＝1＋4a<0，
∴a<－1
4
，即 a 的范围为（－∞，－1
4
）．
【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解 y＝log2（x2－x－a）值域为 R 的含义．根据对数函数的图
象和性质，我们知道，当且仅当 f（x）＝x2－x－a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y＝log2（x2－x－a）的值域
才为 R.而当Δ<0 时，f（x）>0 恒成立，仅仅说明函数定义域为 R，而 f（x）不一定能取遍一切正实数（一
个不漏）．要使 f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与 x 轴有交点（但此时定义域不再
为 R）．
1．求复合函数单调性的具体步骤是：
（1）求定义域；
（2）拆分函数；
（3）分别求 y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；
（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．
9
2．复合函数 y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数 y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.
函数 单调性
y＝f（μ） 增函数 增函数 减函数 减函数
μ＝g（x） 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f[g（x）] 增函数 减函数 减函数 增函数
7．已知函数 f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．
（1）若函数 f (x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 f (x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围．
【解析】（1）欲使函数 f(x)的定义域为 R，只需 ax2＋2x＋1＞0 对 x∈R 恒成立，所以有
0
=4 4 0
a
a
＞
，
解得 a＞1，即得 a 的取值范围是(1，＋∞).
（2）欲使函数 f (x)的值域为 R，即要 ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞)上的所有值．
①当 a＝0 时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当 x∈(－
2
1 ，＋∞)时满足要求；
②当 a≠0 时，应有 0
4 4 0
a
a
＞
＝ 0＜a≤1，当 x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中 x1，x2 是方程
ax 2＋2x＋1＝0 的两根)．
综上，a 的取值范围是[0，1]．
【参考答案】（1）(1，＋∞)；（2）[0，1]．
注意 y＝lg（ax2＋2x＋1）的值域为 R 与 u＝ax2＋2x＋1 恒为正不一样．前者要求函数 u＝ax2＋2x＋1 能
取遍一切正实数，后者只要求 u＝ax2＋2x＋1 取正时，对应的 x∈R 即可．
易错点 8 零点存在性定理使用条件不清致误
10
函数 1( )f x x x
的零点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【错解】因为 ( 1) 2 0f ， (1) 2 0f ，所以函数 ( )f x 有一个零点，故选 B．
【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过
作图（图略），可知函数 1( )f x x x
的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间
上使用.
【试题解析】函数 ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ，当 0x 时， ( ) 0f x ；当 0x 时， ( ) 0f x .所以函数 ( )f x
没有零点，故选 A．
【参考答案】A
零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.
8．函数 33xf x ax
的一个零点在区间 1,2 内，则实数 a 的取值范围是
A． 151, 2
B． 3,6
C． 0,6 D． 150, 2
【解析】由基本初等函数的性质，可得函数 33xf x ax
单调递增, 函数 33xf x ax
的一
个零点在区间 1,2 内，由题意可得
1 0
2 0
f
f
，解得 150 2a .故选 D．
【答案】D
11
一、函数
（1）映射：设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个
元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 :f A B 为从集合 A 到集合 B 的
一个映射.
（2）函数：非空数集 A 非空数集 B 的映射，其要素为定义域 A 、对应关系 f ，函数的值域 ( )C C B .
求函数定义域的主要依据：
①分式的分母不为 0；
②偶次方根的被开方数不小于 0；
③对数函数的真数大于 0；学！科网
④指数函数和对数函数的底数大于 0 且不等于 1；
⑤正切函数 tany x 中， x 的取值范围是 xR ，且 ππ + ,2x k k Z .
求函数定义域的类型与方法
（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
（3）复合函数问题：
①若 f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由 a≤g（x）≤b 解出；
②若 f（g（x））的定义域为[a，b]，则 f（x）的定义域为 g（x）在[a，b]上的值域．
[注意] ①f（x）中的 x 与 f（g（x））中的 g（x）地位相同；②定义域所指永远是 x 的范围．
二、函数的性质
（1）函数的奇偶性
如果对于函数 y＝f（x）定义域内的任意一个 x，都有 ( ) ( )f x f x （或 ( ) ( )f x f x ），那么函数
f（x）就叫做奇函数（或偶函数）．
（2）函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间 D 上的函数 f（x），若对于任意 1 2x x D, ，当 1 2 )f x f x) ( ），则称 f（x）在区间 D 上为单调增（或减）函数．
12
反映在图象上，若函数 f（x）是区间 D 上的增（减）函数，则图象在 D 上的部分从左到右是上升（下
降）的．如果函数 f（x）在给定区间（a，b）上恒有 f ′（x）>0（f ′（x）<0），则 f（x）在区间（a，b）上
是增（减）函数，（a，b）为 f（x）的单调增（减）区间．
（3）函数的周期性
设函数 y＝f（x），x∈D，如果存在非零常数 T，使得对任意 x∈D，都有 f（x＋T）＝f（x），则函数
f（x）为周期函数，T 为 y＝f（x）的一个周期．
（4）最值
一般地，设函数 y＝f（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
①对于任意的 x∈I，都有 f（x）≤M （或 f（x）≥M）；
②存在 0x I ，使得 0f x M＝ ，那么称 M 是函数 y＝f（x）的最大值（或最小值）．
三、函数图象
（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面
的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
（2）利用函数图象的变换作图
①平移变换
0,
0,( ) ( )h h
h hy f x y f x h
右移 个单位长度
左移 个单位长度 ，
0,
0,( ) ( )k k
k ky f x y f x k
上移 个单位长度
下移 个单位长度 .
②伸缩变换
10 1,
11,
( ) ( )y f x y f x
横坐标伸长到原来的 倍
横坐标缩短到原来的 倍 ，
0 1,
1,( ) ( )A A
A Ay f x y Af x
纵坐标缩短到原来的 倍
纵坐标伸长到原来的 倍 .
③对称变换
( ) ( )xy f x y f x 关于 轴对称 ，
( ) ( )yy f x y f x 关于 轴对称 ，
13
=( ) (2 )x ay f x y f a x 关于直线 对称 ，
( ) ( )y f x y f x 关于原点对称
.
四、函数与方程、函数的应用
1．函 数的零点
（1）函数的零点：对于函数 f（x），我们把使 f（x）＝0 的实数 x 叫做函数 f（x）的零点．
（2）函数的零点与方程根的联系：函 数 F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程 f（x）＝g（x）的根，
即函数 y＝f（x）的图象与函数 y＝g（x）的图象交点的横坐标．
（3）零点存在性定理：如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f（a）·
f（b）<0，那么，函数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c∈（a，b）使得 f（c）＝0, 这个 c 也
就是方程 f（x）＝0 的根．
2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[ , ]a b 的长度尽
量小；（2） ( )f a ， ( )f b 的值比较容易计算，且 ( ) ( ) 0f a f b .
3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：
读题 建模 求解 反馈
文字语言 数学语言 数学应用 检验作答
与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、
造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数
的有关知识加以综合解答．
1．[2018 年高考新课标Ⅲ卷理科]设 0.2log 0.3a ， 2log 0.3b ，则
A． 0a b ab B． 0ab a b
C． 0a b ab D． 0ab a b
2．[2018 年高考新课标 II 卷理科]已知 f x 是定义域为 , 的奇函数，满足 1 1f x f x ．若
1 2f ，则 1 2 3f f f 50f
A． 50 B．0
14
C．2 D．50
3．[2018 年高考浙江卷]函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
4．[2017 年高考新课标全国Ⅰ卷理科]设 x、y、z 为正数，且 2 3 5x y z ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
5．[2017 年高考新课标Ⅰ卷理科]函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递减，且为奇函数．若 ( 11)f ，则满足
21 ( ) 1xf 的 x 的取值范围是
A．[ 2,2] B．[ 1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
6．已知函数 2log , 0( ) 3 , 0,x
x xf x x
则 1[ ( )]4f f =
A． 1
9 B．9
C． 1
9
D． 9
7．已知函数 ( ) log (6 )af x ax 在（0，2）上为减函数，则 a 的取值范围是
A．（1，3] B．（1，3）
C．（0，1） D．[3，+∞）
8．已知单调函数 f x ，对任意的 xR 都有 2 6f f x x ，则 2f
15
A．2 B．4
C．6 D．8
9．函数 f x 对任意的实数 x 都有 2 2 1f x f x f ，若 1y f x 的图象关于直线 1x 对称，
且 0 2f ，则 2017 2018f f
A．0 B．2
C．3 D．4
10．已知函数 2f x x x x ，则下列结论正确的是
A． f x 是偶函数，递增区间是 0, B． f x 是偶函数，递减区间是 , 1
C． f x 是奇函数，递增区间是 , 1 D． f x 是奇函数，递增区间是 1,1
11．若函数 2
0.9log 5 4f x x x 在区间 1, 1a a 上单调递增，且 0.9lg0.9, 2b c ，则
A． c b a B．b c a
C． a b c D．b a c
12．[2018 年高考新课标 I 卷理科]已知函数 e 0
ln 0
x xf x
x x
， ，
， ， g x f x x a ．若 g（x）存在 2
个零点，则 a 的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
13．若幂函数 22 2
)33( mmxmmy 的图象不过原点，则 m 的取值是______.
14．若函数
2 11 e 1x
af x x
为偶函数，则 a __________．
15．若函数 ( ) ( 0, 1)xf x a a a 在［－1，2］上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 ( ) (1 4 )g x m x 在[0, )
上是增函数，则 a＝______.
16．设函数 f x 在 1, 上为增函数， 3 0f ，且 1g x f x 为偶函数，则不等式 2 2 0g x
的解集为__________．
17．已知函数
2 4 , 1
ln 1, 1
x x a xf x
x x
，若方程 2f x 有两个解，则实数 a 的取值范围是______．
16
18．[2017 新课标 III 卷理]设函数 1 0( ) 2 0x
x xf x x
，
， ，则满足 1( ) ( ) 12f x f x 的 x 的取值范围是______.
19 ． [2018 年 高 考 江 苏 卷 ] 函 数 f x 满 足 4f x f x x R ， 且 在 区 间 2,2 上 ，
πcos ,0 2,2
1 , 2 0,2
x x
f x
x x
则 15f f 的值为________．
20．设函数 3 2( ) 3 1f x x x= + + ．已知 0a ，且 2( ) ( ) ( )( )f x f a x b x a- = - - ， xÎ R ，则实数 a=_____，
b=______．
21．定义在实数集 R 上的函数 f x 满足 4 4f x f x f x ，当 0,2x 时， 3 1xf x x ，
则函数 2log 1g x f x x 的零点个数为__________．
22．[2018 年高考天津卷理科]已知 0a ，函数
2
2
2 , 0,
2 2 , 0.
x ax a xf x
x ax a x
若关于 x 的方程 f x ax
恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是______________.
23．[2018 年高考浙江卷]已知λ∈R，函数 f(x)= 2
4,
4 3,
x x
x x x
，当λ=2 时，不等式 f(x)<0 的解集是
___________．若函数 f(x)恰有 2 个零点，则λ的取值范围是___________．
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