高考文科数学复习：夯基提能作业本 (36)

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第二节　函数的单调性与最值 A组　基础题组 ‎1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)‎ A.y=‎1‎‎1-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x ‎2.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是(　　)‎ A.f(x)=‎1‎x-x B.f(x)=x3‎ C.f(x)=ln x D.f(x)=2x ‎3.函数f(x)=x|x-2|的单调减区间是(　　)‎ A.[1,2] B.[-1,0] ‎ C.[0,2] D.[2,+∞)‎ ‎4.(2015吉林长春质量检测(二))已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,1] B.(-∞,-1]‎ C.[-1,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎5.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则(　　)‎ A.f(-1)f(3)‎ C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)‎ ‎6.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,则a的取值范围为　　　　. ‎ ‎10.已知函数f(x)=‎1‎a-‎1‎x(a>0,x>0).‎ ‎(1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ ‎(2)若f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上的值域是‎1‎‎2‎‎,2‎,求a的值.‎ ‎11.已知函数f(x)=ax+‎1‎a(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.‎ B组　提升题组 ‎12.设函数f(x)=‎-x‎2‎+4x,x≤4,‎log‎2‎x,x>4.‎若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,1] B.[1,4]‎ C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)‎ ‎13.(2015云南昆明模拟)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn},则max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.1 C.3 D.‎‎7‎‎2‎ ‎14.已知函数f(x)=log2x+‎1‎‎1-x,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(　　)‎ A.f(x1)<0, f(x2)<0 B.f(x1)<0, f(x2)>0‎ C.f(x1)>0, f(x2)<0 D.f(x1)>0, f(x2)>0‎ ‎15.(2016山东日照模拟)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1‎在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]‎ ‎16.(2016湖南益阳一模)已知函数f(x)的值域为‎3‎‎8‎‎,‎‎4‎‎9‎,则函数g(x)=f(x)+‎1-2f(x)‎的值域为　　　　　　. ‎ ‎17.(2015山东临沂模拟)设函数f(x)=‎1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎-1,x<0,‎g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是　　　　. ‎ ‎18.已知函数f(x)=x‎2‎‎+4x,x≥0,‎‎4x-x‎2‎,x<0,‎若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=f(x),x>0,‎‎-f(x),x<0.‎若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.‎ ‎(1)求F(x)的表达式;‎ ‎(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　选项A中,y=‎1‎‎1-x=‎1‎‎-(x-1)‎的图象是将y=-‎1‎x的图象向右平移1个单位得到的,故y=‎1‎‎1-x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.‎ ‎2.A　“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为减函数,易判断f(x)=‎1‎x-x符合题意,选A.‎ ‎3.A　f(x)=x|x-2|=x‎2‎‎-2x,x≥2,‎‎-x‎2‎+2x,x<2.‎结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].‎ ‎4.A　因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,即a≤1,故选A.‎ ‎5.A　依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)0,‎ln1≤1-2a+3a,‎ ‎∴a<‎1‎‎2‎,‎a≥-1,‎∴-1≤a<‎1‎‎2‎.‎ 即a的取值范围是‎-1,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎8.答案　2‎2‎-3‎ 解析　当x≥1时,x+‎2‎x-3≥2x·‎‎2‎x-3=2‎2‎-3,当且仅当x=‎2‎x,即x=‎2‎时等号成立,‎ 此时f(x)min=2‎2‎-3<0;‎ 当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,‎ 此时f(x)min=0.‎ 所以f(x)的最小值为2‎2‎-3.‎ ‎9.答案　(0,1]‎ 解析　任取x1,x2∈(1,+∞),且x10,x2-x1>0,‎ ‎∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立.‎ ‎∴a≤1.‎ 故a的取值范围是(0,1].‎ ‎10.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0,‎ ‎∵f(x2)-f(x1)=‎1‎a‎-‎‎1‎x‎2‎-‎‎1‎a‎-‎‎1‎x‎1‎ ‎=‎1‎x‎1‎-‎1‎x‎2‎=x‎2‎‎-‎x‎1‎x‎1‎x‎2‎>0,‎ ‎∴f(x2)>f(x1),‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎(2)∵f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上的值域是‎1‎‎2‎‎,2‎,‎ f(x)在‎1‎‎2‎‎,2‎上单调递增,‎ ‎∴f‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎, f(2)=2.‎ 易得a=‎2‎‎5‎.‎ ‎11.解析　f(x)=a-‎‎1‎ax+‎1‎a,‎ 当a>1时,a-‎1‎a>0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,‎ ‎∴g(a)=f(0)=‎1‎a;‎ 当0f(2)=0,即f(x1)<0, f(x2)>0.‎ ‎15.D　∵f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,∴a≤1,又∵g(x)=ax+1‎在[1,2]上是减函数,∴a>0,∴01,‎‎0,x=1,‎‎-x‎2‎,x<1.‎函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).‎ ‎18.答案　(-2,1)‎ 解析　由题意知f(x)在R上是增函数,则由题意得2-a2>a,解得-20,‎Δ=(a+1‎)‎‎2‎-4a≤0,‎∴‎a>0,‎‎(a-1‎)‎‎2‎≤0.‎ ‎∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,‎ ‎∴F(x)=‎x‎2‎‎+2x+1,x>0,‎‎-x‎2‎-2x-1,x<0.‎ ‎(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.‎ ‎∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,‎ ‎∴k-2‎‎2‎≤-2或k-2‎‎2‎≥2,解得k≤-2或k≥6.‎ 故k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).‎