【物理】2019届一轮复习人教版 机械能 学案
模块六:机械能
考点1
功和功率
1.(2017·全国卷Ⅱ,14)如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环,小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力( )。
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心
【解析】因大圆环光滑,它对小环没有摩擦力,只有相互作用的弹力,而弹力总跟接触面垂直,且小环的速度总是沿大圆环的切线方向,故弹力一直不做功,A项正确,B项错误;当小环位于圆心上方时,FN沿半径向外,当小环位于圆心下方时,FN沿半径向里,故C、D两项错误。
【答案】A
2.(2016·全国卷Ⅱ,19)(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成,甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落,假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比,与球的速率无关。若它们下落相同的距离,则( )。
A.甲球用的时间比乙球用的时间长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【解析】设f=kR,则由牛顿第二定律得F合=mg-f=ma,而m=πR3ρ,故a=g-,由m甲>m乙、ρ甲=ρ乙可知R甲>R乙,则a甲>a乙,故C项错误;因甲、乙位移相同,由v2=2ax可知,v甲>v乙,B项正确;由x=at2可知,t甲
f乙,则W甲克服>W乙克服,D项正确。
【答案】BD
3.(2015·全国卷Ⅱ,17)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中,可能正确的是( )。
【解析】0~t1时间内,功率P1不变,这一段时间如果汽车做匀速运动,那么速度v1=,在 t1时刻功率突然变大,则牵引力突然变大,牵引力大于阻力,则汽车的速度增加,由P2=Fv可知,v增加时F减小,故汽车应做加速度减小的加速运动直至匀速,C项错误;如果0~t1时间内汽车加速,由P1=Fv可知0~t1时间内汽车应做加速度减小的加速运动直至匀速,故A项正确,B、D两项错误。
【答案】A
考点2
动能定理及其应用
1.(2016·全国卷Ⅲ,20)(多选)如图,一固定容器的内壁是半径为R的半球面;在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中,克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时,向心加速度的大小为a,容器对它的支持力大小为N,则( )。
A.a= B.a=
C.N= D.N=
【解析】质点P下滑到底端的过程,由动能定理得mgR-W=mv2-0,可得v2=,所以a==,A项正确,B项错误;在最低点,由牛顿第二定律得N-mg=m,故N=mg+m=mg+·=,C项正确,D项错误。
【答案】AC
2.(2015·全国卷Ⅰ,17)如图,一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落,恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时,对轨道的压力为4mg,g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则( )。
A.W=mgR,质点恰好可以到达Q点
B.W>mgR,质点不能到达Q点
C.W=mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离
D.W0,故质点到达Q点后会继续上升,C项正确。
【答案】C
3.(2017·江苏卷,3)一小物块沿斜面向上滑动,然后滑回到原处。物块初动能为Ek0,与斜面间的动摩擦因数不变,则该过程中,物块的动能Ek与位移x关系的图线是( )。
【解析】小物块上滑过程,由动能定理得-(mgsin θ+μmgcos θ)x=Ek-Ek0,整理得Ek=Ek0-(mgsin θ+μmgcos θ)x。设小物块上滑的最大位移为s,小物块下滑过程,由动能定理得(mgsin θ-μmgcos θ)(s-x)=Ek-0,整理得Ek=(mgsin θ-μmgcos θ)s-(mgsin θ-μmgcos θ)x,上滑与下滑均为线性关系,所以C项正确。
【答案】C
4.(2016·全国卷Ⅰ,25)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出)。随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,AF=4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=,重力加速度大小为g。(取sin 37°=,cos 37°=)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平相距R、竖直相距R,求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【解析】(1)根据题意知,B、C之间的距离l=7R-2R
设P到达B点时的速度为vB,由动能定理得
mglsin θ-μmglcos θ=m
式中θ=37°,联立解得vB=2。
(2)设BE=x,P到达E点时速度为零,设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中,由动能定理有
mgxsin θ-μmgxcos θ-Ep=0-m
E、F之间的距离l1=4R-2R+x
P到达E点后反弹,从E点运动到F点的过程中,由动能定理有
Ep-mgl1sin θ-μmgl1cos θ=0
联立解得
x=R
Ep=mgR。
(3)设改变后P的质量为m1,D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为
x1=R-Rsin θ
y1=R+R+Rcos θ
设P在D点的速度为vD,由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有
y1=gt2
x1=vDt
联立解得vD=
设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒,有
m1=m1+m1g(R+Rcos θ)
P由E点运动到C点的过程中,同理,由动能定理有
Ep-m1g(x+5R)sin θ-μm1g(x+5R)cos θ=m1
联立解得m1=m。
【答案】(1)2 (2)mgR (3) m
考点3
机械能守恒定律及其应用
1.(2017·全国卷Ⅱ,17)如图所示,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )。
A. B. C. D.
【解析】设小物块在最高处的速度为vt,因为在它运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒。由机械能守恒定律有m-mv2=-mg·2R,解得vt=。到达最高点之后小物块做平抛运动,根据平抛运动规律,有2R=gt2,解得t=,所以水平位移x=vt·t=,由数学知识可知,当R=时,x存在最大值,所以B项正确,A、C、D三项错误。
【答案】B
甲
2.(2016·全国卷Ⅱ,21)(多选)如图甲所示,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中( )。
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
乙
【解析】小球在M点时弹簧处于压缩状态,在N点时弹簧处于伸长状态,则在由M到N过程中有一点弹簧处于原长状态,设该点为B点,另设小球在A点时对应的弹簧最短,如图乙所示。从M点到A点,弹簧压缩量变大,弹力做负功,从A点到B点弹簧从压缩逐渐恢复至原长,弹力做正功,从B点到N点弹簧从原长逐渐伸长,弹力做负功,A项错误。小球在A点时,水平方向上弹簧的弹力与杆的弹力相平衡,小球受到的合力F合=mg,故加速度a=g;小球在B点时,弹簧处于原长,杆对小球没有作用力,小球受到的合力F合=mg,故加速度a=g,B项正确。在A点时,弹簧的弹力F弹垂直于杆,小球的速度沿杆向下,则P弹=F弹vcos 90°=0,C项正确。从M点到N点,小球与弹簧所组成的系统机械能守恒,则Ek增=Ep减,即EkN-0=Ep重M-Ep重N+Ep弹M-Ep弹N,由于在M、N两点弹簧弹力大小相同,由胡克定律可知,弹簧形变量相同,则弹性势能Ep弹N=Ep弹M,故EkN=Ep重M-Ep重N,D项正确。
【答案】BCD
3.(2015·全国卷Ⅱ,21)(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则( )。
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg
【解析】首先,把a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b的速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A项错误;根据系统机械能守恒可知,a的重力势能的减少量等于a动能的增加量,即mgh=mv2,得v=,B项正确;a下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故a的加速度有时大于g,C项错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。
【答案】BD
考点4
功能关系 能量守恒定律
甲
1.(2017·全国卷Ⅲ,16)如图甲所示,一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点,M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中,外力做的功为( )。
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
乙
【解析】由题可知,缓慢提升绳子,在整个过程中,动能不变,则外力做的功WF等于重力势能的增加量ΔEp,将Q端提升至M位置,如图乙所示。全程重力势能增加量ΔEp可视为NQ段上升增加的重力势能。取NQ段为研究对象,此段质量大小m'=m,其重心位置上升高度h=l,则外力做的功WF=ΔEp=m'gh=mgl,A项正确。
【答案】A
2.(2017·全国卷Ⅰ,24)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105 m处以7.5×103 m/s的速度进入大气层,逐渐减慢至速度为100 m/s 时下落到地面。取地面为重力势能零点,在飞船下落过程中,重力加速度可视为常量,大小取9.8 m/s2。(结果保留2位有效数字)
(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能。
(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功,已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
【解析】(1)飞船着地前瞬间的机械能
Ek0=m
式中,m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率,解得
Ek0=4.0×108 J
设地面附近的重力加速度大小为g,飞船进入大气层时的机械能
Eh=m+mgh
式中,vh是飞船在高度1.6×105 m处的速度大小,解得
Eh=2.4×1012 J。
(2)飞船在高度h'=600 m处的机械能
Eh'=m+mgh'
由功能原理得W=Eh'-Ek0
式中,W是飞船从高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功
联立解得W=9.7×108 J。
【答案】(1)4.0×108 J 2.4×1012 J (2)9.7×108 J
3.(2015·福建卷,21)如图,质量为M的小车静止在光滑水平面上,小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道,BC段是长为L的水平粗糙轨道,两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下,重力加速度为g。
(1)若固定小车,求滑块运动过程中对小车的最大压力。
(2)若不固定小车,滑块仍从A点由静止下滑,然后滑入BC轨道,最后从C点滑出小车。已知滑块质量m=,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍,滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ,求:
①滑块运动过程中,小车的最大速度大小vm。
②滑块从B到C运动过程中,小车的位移大小s。
【解析】(1)滑块滑到B点时对小车压力最大,从A到B机械能守恒,有mgR=m
滑块在B点处,由牛顿第二定律,有
N-mg=
解得N=3mg
由牛顿第三定律,有N'=3mg。
(2)①滑块下滑到达B点时,小车速度最大。由机械能守恒定律,有
mgR=M+m(2vm)2
解得vm=。
②设滑块运动到C点时,小车速度大小为vC,由功能关系,有
mgR-μmgL=M+m(2vC)2
设滑块从B到C过程中,小车运动的加速度大小为a,由牛顿第二定律,有μmg=Ma
由运动学规律,有-=-2as
解得s=L。
【答案】(1)3mg (2) (3)L
机械能是动力学内容的继续和深化,动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛,是自然界中普遍适用的基本规律,也是我们求解物理问题的一条重要思路和方法,因此它是高中物理的重点,也是近几年高考考查的热点,其核心考点有:功和功率、动能定理、机械能守恒定律和功能关系,命题往往与生活、生产、科技实际结合,具体特点如下:
(1)对功和功率,高考命题角度为功的定义式的理解及应用,机车启动模型的分析,常结合图象考查,主要以选择题的形式出现。
(2)动能定理主要考查解决变力做功及多过程问题,题目综合性较强。正确理解动能定理,灵活分析物体的受力特点、运动特点及做功情况是常用方法。
(3)对机械能守恒定律的考查,一是以绳、杆、弹簧等连接体为情景命题,考查其应用;二是以单个质点为情景,以平抛、竖直平面内的圆周运动等典型运动为背景综合考查力学主干知识。主要以计算题的形式出现。
(4)对功能关系的考查主要体现在两方面,一是理解力做功与各能量的转化关系,主要以选择题的形式出现;二是应用功能关系解决问题,常以滑块、传送带、弹簧为素材综合考查功能关系的应用。
预测2019年高考对机械能知识的考查主要表现在两个方面:一是重基础,考查基本概念,功、平均功率、瞬时功率、动能、重力势能等物理量的判断和计算;二是突重点,考查动能定理,机械能守恒定律、功能关系和能量转化与守恒定律的应用。命题往往与牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动、电磁感应等考点综合,将功和能的知识和方法融入其他问题考查,情景设置为多过程,具有较强的综合性。
考点1 功和功率
1
功
(1)定义:一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生了一段位移,就说这个力对物体做了功。
(2)必要因素:①物体受力的作用。②物体在力的方向上发生了位移。
(3)物理意义:功是能量转化的量度。功只有大小,没有方向。
(4)计算公式
①恒力F的方向与位移l的方向一致时:W=Fl。
②恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时:W=Flcos α。
(5)功的性质
①功是过程量:做功必定对应一个过程(位移),应明确是哪个力在哪一过程中做的功。
②功是标量,没有方向,但功有正、负值。其正负表示力在做功过程中所起的作用。正功表示动力做功(此力对物体的运动有推动作用),负功表示阻力做功。正负并不表示功的方向,而且也不是数量上的正与负。
(6)功的单位
在国际单位制中,功的单位是焦耳,简称焦,符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移所做的功,即1 J=1 N·m。
1.1 (多选)如图所示,重物P放在一长木板OA上,将长木板绕O端转过一个小角度的过程中,重物P相对于木板始终保持静止。关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )。
A.摩擦力对重物不做功
B.摩擦力对重物做负功
C.支持力对重物不做功
D.支持力对重物做正功
【答案】AD
1.2 如图所示的a、b、c、d中,质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用,在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移。μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数,乙是随物体甲一起运动的小物块,比较物体甲移动的过程中力F对物体甲所做的功的大小( )。
A.Wa最小 B.Wd最大
C.Wa>Wc D.四种情况一样大
【答案】D
1.3 物体受到两个互相垂直的作用力F1、F2而运动,已知力F1做功6 J,物体克服力F2做功8 J,则力F1、F2的合力对物体做功( )。
A.14 J B.10 J C.2 J D.-2 J
【答案】D
2
功率
(1)定义:功与完成这些功所用时间的比值。
(2)公式
①P=,P为时间t内物体做功的快慢。此为功率的定义式。
②P=Fv
若v为平均速度,则P为平均功率。
若v为瞬时速度,则P为瞬时功率。
当力F和速度v不在同一直线上时,可以将力F分解或者将速度v分解,即P=Fvcos θ。
(3)额定功率和实际功率
①额定功率是发动机在额定电压下正常工作时的最大功率,通常都在铭牌上标明。额定功率是动力机器重要的性能指标,一个动力机器的额定功率是一定的。
②实际功率是发动机实际工作时输出的功率。机器工作时受额定功率的限制,发动机实际输出的功率(实际功率),可以小于或等于额定功率,有时实际功率也会略大于额定功率,但不允许长时间超过额定功率。
2.1 关于功率,下列说法中正确的是( )。
A.根据P=可知,机械做功越多,其功率就越大
B.根据P=Fv可知,汽车的牵引力一定与其速度成反比
C.根据P=可知,只要知道时间t内所做的功,就可知任意时刻的功率
D.根据P=Fv可知,发动机的功率一定时, 发动机的牵引力与运动速度成反比
【答案】D
2.2 (多选)一辆汽车在水平公路上行驶,设汽车在行驶过程中所受阻力不变,汽车的发动机始终以额定功率输出。关于牵引力和汽车速度,下列说法中正确的是( )。
A.汽车加速行驶时,牵引力不变,速度增大
B.汽车加速行驶时,牵引力增大,速度增大
C.汽车加速行驶时,牵引力减小,速度增大
D.当牵引力等于阻力时,速度达到最大值
【答案】CD
考点2 动能定理及其应用
1
动能
(1)公式:Ek=mv2,式中v为瞬时速度,动能是状态量。
(2)矢标性:动能是标量,只有正值,动能与速度的方向无关。
(3)动能的变化量:ΔEk=m-m。
1.1 一个质量为0.3 kg的弹性小球,在光滑水平面上以6 m/s 的速度垂直撞到墙上,碰撞后小球沿相反方向运动,反弹后的速度大小与碰撞前相同,则关于碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中小球的动能变化量ΔEk,下列说法正确的是( )。
A.Δv=0 B.Δv=12 m/s
C.ΔEk=1.8 J D.ΔEk=10.8 J
【答案】B
2
动能定理
(1)内容:合力对物体所做的功等于物体动能的变化。
注意:动能定理叙述中所说的“力”,既可以是重力、弹力、摩擦力,也可以是电场力、磁场力或其他力。
(2)表达式:W=ΔEk=m-m。
(3)应用动能定理的“四点注意”
①动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
②动能定理的表达式是一个标量式,不能在某方向上应用动能定理。
③动能定理往往用于单个物体的运动过程,由于不涉及加速度和时间,比动力学研究方法更简便。
④当物体的运动包含多个不同过程时,可分段应用动能定理求解;当所求解的问题不涉及中间的速度时,也可以全过程应用动能定理求解。
2.1 (多选)如图所示,电梯质量为M,在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动,当电梯的速度由v1增加到v2时,上升高度为H,则在这个过程中,下列说法或表达式正确的是( )。
A.对物体,动能定理的表达式为W支持力=m-m
B.对物体,动能定理的表达式为W合=0,其中W合为合力做的功
C.对物体,动能定理的表达式为W支持力-mgH=m-m
D.对电梯,其所受合力做的功W合=M-M
【答案】CD
考点3 机械能守恒定律及其应用
1
重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与初、末位置的高度差有关。
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增加。
②定量关系:物体从位置A到位置B的过程中,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即WG=-ΔEp。
③重力势能的变化量是绝对的,与参考面的选取无关。
1.1 关于重力势能,下列说法中正确的是( )。
A.物体的位置一旦确定,它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大,它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从-5 J变化到-3 J,重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【答案】D
2
弹性势能
(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)大小:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式可表示为W=-ΔEp。
【温馨提示】 弹性势能是由物体的相对位置决定的。同一根弹簧的伸长量和压缩量相同时,弹簧的弹性势能相同。
2.1 如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端固定连接一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是( )。
A.弹簧的弹性势能逐渐减少
B.弹簧的弹性势能逐渐增加
C.弹簧的弹性势能先增加再减少
D.弹簧的弹性势能先减少再增加
【答案】D
3
机械能守恒定律
(1)内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。
(2)机械能守恒定律的三种表达形式及应用
①守恒观点:a.表达式,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。
b.意义,系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
c.注意问题,要先选取零势能面,并且在整个过程中必须选取同一个零势能面。
②转化观点:a.表达式,ΔEk=-ΔEp。
b.意义,系统的机械能守恒时,系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能。
③转移观点:a.表达式,ΔEA增=ΔEB减。
b.意义,若系统由A、B两部分组成,当系统的机械能守恒时,则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
3.1 (多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )。
甲 乙 丙 丁
A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,物体A机械能守恒
B.乙图中,物体A固定,物体B沿斜面匀速下滑,物体B的机械能守恒
C.丙图中,不计任何阻力和定滑轮质量时,A加速下落,B加速上升过程中,A、B组成的系统机械能守恒
D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机械能守恒
【答案】CD
考点4 功能关系 能量守恒定律
1
功能关系
(1)功能关系
①功是能量转化的量度,即做了多少功就有多少能量发生了转化。
②做功的过程一定伴随着能量的转化。
(2)做功与能量变化的对应关系
①合力做的功影响物体动能的变化。
②重力做的功影响物体重力势能的变化。
③弹簧弹力做的功影响弹性势能的变化。
④除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体机械能的变化。
⑤滑动摩擦力做的功影响系统内能的变化。
⑥电场力做的功影响电势能的变化。
1.1 (多选)如图所示,卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱,使之沿斜面加速向上移动。在移动过程中,下列说法正确的是( )
A.F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B.F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
D.F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
【答案】CD
2
能量守恒定律
(1)内容:能量既不会消灭,也不会创生。它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变。
(2)表达式
①E初=E末,初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
②ΔE增=ΔE减,增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。
【温馨提示】 能量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一,运用它是没有条件限制的。
2.1 如图所示,美国空军X37B无人航天飞机由较低轨道飞到较高轨道的过程中( )。
A.X37B中燃料的化学能转化为X37B的机械能
B.X37B的机械能要减少
C.自然界中的总能量要变大
D.如果X37B在较高轨道绕地球做圆周运动,则在此轨道上其机械能逐渐变小
【答案】A
题型一
变力做功的计算
1.用微元法求变力做功
将物体的运动过程分割成许多小段,因每小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做的功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
2.化变力为恒力
变力做功直接求解时,往往都比较复杂,若通过转换研究对象,有时可以化为恒力,用W=Flcos α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
3.利用平均力求变力做功
在求解变力做功时,若物体受到的力方向不变,而大小随位移呈线性变化,即力均匀变化时,则可以等效为物体受到一大小为=的恒力做功,F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力,然后用公式W=lcos α求此力所做的功。
4.利用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负。
5.利用W=Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点,用W=Pt计算功时,必须满足变力的功率是一定的这一条件。
6.利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动;既适用于求恒力做功,也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功,是求变力做功的一种方法。
【例1】如图所示,某人用力F转动半径为R的磨盘,力F的大小不变,但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则在转动一周过程中力F做的功为( )。
A.0 B.2πRF C.FR D.-2πRF
【解析】在转动转盘一周的过程中,力F的方向时刻变化,但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向(切线方向),即F在每瞬时与转盘转过的极小位移Δs1,Δs2,Δs3…都与当时的F方向同向,因而在转动一周的过程中, 力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和,即W=(FΔs1+FΔs2+FΔs3+FΔs4+…+FΔsn)=F(Δs1+Δs2+Δs3+Δs4+…+Δsn)=2πRF,所以B项正确。
【答案】B
计算变力做功的方法选取
“微元法”在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。“化变力为恒力”的方法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。“图象法”只适用于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。用平均力求变力的功只适用于力是线性变化的问题。
【变式训练1】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则( )。
A.W1>W2
B.W1ΔlBC,故W1>W2,A项正确。
【答案】A
【变式训练2】质量为2 kg的物体做直线运动,沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示,则在全过程中外力做的功为( )。
A.20 J
B.14 J
C.26 J
D.12 J
【解析】F-x图象与x轴围成的面积表示外力所做的功,由题图可知W=(2×2+4×4-3×2) J=14 J,故B项正确。
【答案】B
【变式训练3】把长为l的铁钉钉入木板中,每击打一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要击打几次?
【解析】在把钉子打入木板的过程中,钉子把得到的能量用来克服阻力做功,而阻力与钉子进入木板的深度成正比,先求出阻力的平均值,便可求得阻力做的功
钉子在整个过程中受到的平均阻力F==
钉子克服阻力做的功WF=Fl=kl2
设全过程共击打n次,则给予钉子的总能量
E总=nE0=kl2
所以n=。
【答案】
题型二
机车启动问题
1.两种启动方式的比较
两种
方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图象
和v-t
图象
OA
段
过程
分析
v↑⇒F=↓⇒a=↓
a=不变⇒F不变P=Fv↑直到P额=Fv1
运动
性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动,维持时间t0=
AB
段
过程
分析
F=F阻⇒a=0⇒vm=
v↑⇒F=↓⇒a=↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F=F阻⇒a=0⇒以vm=匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=。
(2)机车以恒定加速度启动时,匀加速过程结束后功率最大,速度不是最大,即v=0,即mg·R-n·mgR>0,得n<4,所以最多能飞出槽外3次,C项正确。
【答案】AC
题型六
单个物体的机械能守恒问题
应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象
(2)受力分析和各力做功情况分析,确定是否符合机械能守恒的条件。
(3)确定初、末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。
(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。
【例6】如图甲所示,将一质量m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧,CB为其竖直直径(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计),求:
甲
(1)小球经过C点的速度vC的大小。
(2)小球运动到轨道最低点B时,轨道对小球的支持力大小。
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
【解析】(1)小球恰好运动到C点时,由重力提供向心力,由牛顿第二定律知
mg=m
解得vC==5 m/s。
(2)对小球从B点到C点,由机械能守恒定律有
m+mg·2R=m
在B点对小球进行受力分析,由牛顿第二定律有
FN-mg=m
联立解得vB=5 m/s,FN=6.0 N。
(3)对小球从A到B由机械能守恒定律有
乙
m+mgR(1-cos 53°)=m
所以vA= m/s
在A点对小球进行速度的分解如图乙所示,有vy=vAsin 53°
所以H==3.36 m。
【答案】(1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m
机械能守恒定律的应用技巧:
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系,其守恒是有条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒式列方程较方便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化式或转移式列方程较简便。
【变式训练9】如图所示是跳台滑雪的示意图,雪道由倾斜的助滑雪道AB、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成,各雪道间均平滑连接,A处与水平平台间的高度差h=45 m,CD的倾角为30°。运动员自A处由静止滑下,不计其在雪道ABC上滑行和空中飞行时所受的阻力。运动员可视为质点。(g取10 m/s2)
(1)求运动员滑离平台BC时的速度大小。
(2)为保证运动员落在着陆雪道CD上,雪道CD长度至少为多少?
(3)若实际的着陆雪道CD长为150 m,运动员着陆后滑到D点时具有的动能是着陆瞬间动能的80%。在减速区DE,滑行s=100 m后停下,运动员在减速区所受平均阻力是其重力的多少倍?
【解析】(1)A→C过程中机械能守恒,有mgh=m
得vC==30 m/s。
(2)设落点距抛出点C的距离为L,由平抛运动规律得
Lcos 30°=vCt
Lsin 30°=gt2
解得L=120 m。
(3)运动员由A运动到落点的过程中,由机械能守恒得
mg(h+Lsin 30°)=mv2
设运动员在减速区减速过程中所受平均阻力是重力的k倍,根据动能定理有
-kmgs=0-m
根据题意有m=80%×mv2
解得k=0.84。
【答案】(1)30 m/s (2)120 m (3)0.84
题型七
多个物体的机械能守恒问题
1.杆连物体系统机械能守恒
问题简述
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动,且A、B的角速度相等
方法突破
求解这类问题时,因为二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,寻找到系统重力势能的变化,最后根据ΔEk=-ΔEp列出机械能守恒的方程求解。另外须注意轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另一物体做了负功,并且绝对值相等
2.绳连物体系统机械能守恒
问题简述
如图所示的两物体组成的系统,当释放B而使A、B运动的过程中,A、B的速度均沿绳子方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等,这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系
方法突破
求解这类问题时,因为二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式。另外须注意系统机械能守恒并非每个物体的机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功
3.弹簧连接的系统机械能守恒
问题简述
由弹簧相连的物体系统,在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移,而总的机械能守恒
方法突破
求解这类问题时,首先以弹簧遵循的胡克定律为突破口:弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F=kx和ΔF=kΔx。其次,以弹簧的弹力做功为突破口:弹簧发生形变时,具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关,但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小,弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同,通过运算可以约去。当题目中始、末长度都不是弹簧原长时,要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应,即伸长量或压缩量,而力的位移就可能是两次形变量之和或之差
【例7】(多选)如图甲所示,a、b、c是三个质量相同的小球(可视为质点),a、b两球套在水平放置的光滑细杆上,c球分別用长度为L的细线与a、b两球连接。起初a、b两球固定在细杆上相距2L处,重力加速度为g,若同时释放a、b两球,则( )。
甲
A.在a、b碰撞前的任一时刻,b相对c的速度方向与b、c的连线垂直
B.在a、b碰撞前的运动过程中,c的机械能先增大后减小
C.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为
D.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为
【解析】若同时释放a、b两球,几何关系如图乙所示,vccos θ=vbsin θ,在a、b碰前瞬间有θ=0,vc=0,所以A项正确;在a、b碰撞前的运动过程中,c向下运动,两细线对c做负功,则c的机械能一直减小,B项错误;由能量关系,有mgL=2×m,解得vb=,所以C项正确,D项错误。
乙
【答案】AC
多个物体应用机械能守恒定律解题应注意的问题
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动的过程中,系统的机械能是否守恒。
(2)注意先寻找连接各物体间的连接物,如绳子、杆或者其他物体,再寻找几个物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEA增=ΔEB减的形式。
【变式训练10】(多选)如图所示,三个小球A、B、C的质量均为m,A 与B、C间通过铰链用轻杆连接,杆长为L。B、C 置于水平地面上,用一轻质弹簧连接,弹簧处于原长。现A 由静止释放下降到最低点,两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C 在同一竖直平面内运动,弹簧在弹性限度内,忽略一切摩擦,重力加速度为g。则此下降过程中( )。
A.A的动能达到最大前,B受到地面的支持力小于mg
B.A的动能最大时,B受到地面的支持力等于mg
C.弹簧的弹性势能最大时,A 的加速度方向竖直向下
D.弹簧的弹性势能最大值为mgL
【解析】A球由静止释放下降到最低点,经过先加速达到速度最大,再减速至速度为零的过程。当A的动能达到最大,即速度最大时,其所受合力为零,此时以A、B、C整体为研究对象,整体的加速度为零,故地面对整体的支持力大小等于整体的重力大小,B受到地面的支持力等于mg,B项正确;在A下降加速达到最大速度之前,A处于失重状态,以A、B、C整体为研究对象,地面对整体的支持力大小小于整体的重力大小,故B受到地面的支持力小于mg,A项正确;当弹簧的弹性势能最大时,弹簧长度最大,此时,A处于最低点,之后A竖直向上先加速再减速,回到原位置,以后周期性运动,C项错误;当弹簧的弹性势能最大时,对整个系统由机械能守恒定律得,Epmax=mg(Lcos 30°-Lcos 60°)=mgL,D项错误。
【答案】AB
题型八
非质点类机械能守恒问题
在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再当作质点来处理。
虽然物体不能被当作质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。
甲
【例8】如图甲所示,一长为L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上,由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动,则铁链完全离开滑轮时的速度大小为( )。
A. B.
C. D.
【解析】铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的
乙
作用,弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直,故只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v,由机械能守恒定律有mv2=-ΔEp
其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能,如图乙所示,即ΔEp=-mg·,解得v=,故C项正确。
【答案】C
(1)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
(2)非质点类物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。
【变式训练11】如图所示,粗细均匀,两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为( )。
A. B.
C. D.
【解析】由于不考虑摩擦阻力,故整个液柱的机械能守恒。从初始状态到左右管液面相平为止,相当于有长为的液柱由右管移到左管。系统的重力势能减少,动能增加。
该过程中,整个液柱势能的减少量等效于高为的液柱降低重力势能的减少量。设液柱总质量为8m,则mg·=×8m·v2,得v=。
【答案】A
题型九
功能关系的理解和应用问题
1.对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化可以通过做功来实现。
(2)功是能量转化的量度,功和能的关系,一是体现在不同的力做功,对应不同形式能的转化,具有一一对应关系;二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.几种常见的功能关系及其表达式
各种力
做功
对应能
的变化
定量的关系
合力做功
动能变化
合力对物体做的功等于物体动能的增量,W合=Ek2-Ek1
重力做功
重力势
能变化
重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增加,且WG=-ΔEp=Ep1-Ep2
弹簧弹
力做功
弹性势
能变化
弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加,且W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2
只有重力、
弹簧弹力
做功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE=0
非重力和
弹力做功
机械能
变化
除重力和弹力之外的其他力做正功,物体的机械能增加;做负功,机械能减少,且W其他=ΔE
电场力
做功
电势能
变化
电场力做正功,电势能减少;电场力做负功,电势能增加,且W电=-ΔEp
滑动摩擦
力做功
内能变化
一对滑动摩擦力做功引起系统内能增加,ΔE内=Ffl相对
【例9】物体以60 J的初动能,从A点出发做竖直上抛运动,在它上升到某一高度时,动能损失了30 J,而机械能损失了10 J,则该物体在落回到A点时的动能为(空气阻力大小恒定)( )。
A.50 J B.40 J C.30 J D.20 J
【解析】由题可知上升到某一高度时,重力、阻力均做负功,所以根据功能关系有WG+Wf=ΔEk
重力做功对应着重力势能的变化,有WG=ΔEp
ΔEk=30 J,ΔE机=10 J,代入并联立解得WG=20 J,Wf=10 J
由于上升过程中重力、阻力大小都恒定,而且是直线运动,因此重力和阻力做功关系为WG=2Wf
物体上升到最高点时由功能关系可得WG总+Wf总=Ek
联立解得上升过程中阻力做的功Wf总=20 J
当物体落回A点时由动能定理得-2Wf总=Ek1-Ek
代入数据得Ek1=20 J
落回A点时动能为20 J,故D项正确。
【答案】D
功能关系的选用原则
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中,若只涉及动能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
【变式训练12】(多选)如图所示,质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面,其减速运动的加速度为g,此物体在斜面上能够上升的最大高度为h,则在这个过程中物体( )。
A.重力势能增加了mgh
B.机械能损失了
C.动能损失了mgh
D.克服摩擦力做功
【解析】加速度a=g=,解得摩擦力Ff=mg;物体在斜面上能够上升的最大高度为h,所以重力势能增加了mgh,机械能损失了Ffx=mg·=mgh,故A、B两项正确;动能损失量为克服合力所做的功,即ΔEk=F合力·x=mg·=mgh,故C项错误;克服摩擦力做功,故D项错误。
【答案】AB
题组1
功和功率
1.(2018·河南统考)图甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼,图乙为一男士站立在履带式自动扶梯上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功的情况判断正确的是( )。
甲 乙
A.甲图和乙图中支持力都对人做正功
B.甲图和乙图中摩擦力对人做负功
C.甲图和乙图中重力对人不做功
D.甲图和乙图中人所受的合力都不做功
【解析】根据做功的两因素,力和在力的方向上的位移,甲图中支持力方向竖直向上且在竖直方向上有位移,所以支持力做了正功,乙图中在支持力方向上没有位移,因此支持力没有做功,A项错误;甲图中在摩擦力方向没有位移,因此摩擦力没有做功,乙图中摩擦力对人做正功,B项错误;两人的重力与位移之间的夹角大于90°,所以都做负功,C项错误;甲图和乙图中人都匀速运动,合力不做功,所以D项正确。
【答案】D
2.(2017·成都月考)一个质量为m的小球做自由落体运动,那么,在前t秒内重力对它做功的平均功率及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)( )。
A.=mg2t2,P=mg2t2 B.=mg2t2,P=mg2t2
C.=mg2t,P=mg2t D.=mg2t,P=2mg2t
【解析】前t秒内重力做功的平均功率===mg2t;t秒末重力做功的瞬时功率P=Fv=mg·gt=mg2t,故C项正确。
【答案】C
3.(2017·江苏模拟)下列各图反映汽车以额定功率P额从静止启动,最后做匀速运动的过程,其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象,其中正确的是( )。
【解析】汽车以额定功率启动时,功率一定,由P=Fv可知,速度增大,牵引力F减小,根据F-Ff=ma,加速度逐渐减小,但速度继续增大,当牵引力等于阻力时,速度达到最大,故A项正确,B、C、D三项错误。
【答案】A
4.(2017·江西月考)一质量为2 kg的物体,放在动摩擦因数μ=0.1的水平面上,在水平拉力F的作用下,由静止开始运动,拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示, g=10 m/s2,下列说法中正确的是( )。
A.此物体在AB段做匀加速直线运动,且整个过程中拉力的最大功率为15 W
B.此物体在AB段做匀速直线运动,且整个过程中拉力的最大功率为6 W
C.此物体在AB段做匀加速直线运动,且整个过程中拉力的最大功率为6 W
D.此物体在AB段做匀速直线运动,且整个过程中拉力的最大功率为15 W
【解析】根据公式W=Fs可知物体在OA段受到的拉力大小F1= N=5 N,物体在AB段受到的拉力大小F2= N=2 N,运动过程中受到的滑动摩擦力f=μmg=2 N,所以物体在OA段做匀加速直线运动,在AB段做匀速直线运动,物体在OA段的加速度a==1.5 m/s2,在OA段运动的位移x1=a,得t1=2 s,到达A点的速度v=at1=3 m/s,在3 m处,物体速度最大,拉力最大,此时拉力功率最大,Pm=F1v=15 W,D项正确。
【答案】D
甲
5.(2017·安徽一模)(多选)高速公路上的下坡路段刹车失灵时车辆可以驶离行车道,转入行车道外侧增设的安全减速专用斜坡避险车道(如图甲所示),某避险车道的斜坡与水平面的夹角为37°,斜坡长50 m,某汽车进入该避险车道入口时速度为 90 km/h,假设汽车动力为零,所受摩擦阻力为车重的,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则( )。
A.该车上滑到速度为零所用的时间为10 s
B.无论该车的质量如何,上滑至速度为零所用的时间都相同
C.该车上滑到速度为零的过程中,重力的平均功率为摩擦阻力的平均功率的2倍
D.若该车进入斜坡时的速度为108 km/h,则汽车恰好可到达斜坡顶端
乙
【解析】该汽车的初速度v0=90 km/h=25 m/s,如图乙所示,由受力分析得mgsin 37°+0.3mg=ma,解得a=9 m/s2,根据公式v=v0-at得t= s,A项错误。由受力分析可知,无论该车的质量如何,加速度都相同,所以上滑至速度为零所用的时间都相同,B项正确。由受力分析可知,在车上滑过程中重力沿斜面的分力为摩擦阻力的2倍,做功也为摩擦阻力的2倍,所以重力的平均功率为摩擦阻力的平均功率的2倍,C项正确。若v0'=108 km/h=30 m/s,由公式2ax=v0'2-v2可得该汽车速度减为零时x=50 m,D项正确。
【答案】BCD
6.(2017·湖北一模)如图甲所示,一辆遥控小车静止在倾角α=37°的斜面上,现用遥控器启动小车,使它从静止开始以恒定功率向上运动,运动45 m 后达到最大速度时出现故障,小车牵引力消失,再经过3 s小车到达最高点,且小车在减速过程中最后2 s内的位移为20 m。已知遥控小车的质量为1 kg,g=10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
甲
(1)遥控小车与斜面的动摩擦因数。
(2)遥控小车在遥控器出现故障前运动了多长时间。
乙
【解析】(1)设小车做匀减速直线运动的加速度大小为a,最后2 s内的位移为x,可看成反向的匀加速直线运动,根据匀变速直线运动的规律,有 x=at2
解得a=10 m/s2
小车受力如图乙所示
由牛顿第二定律得mgsin α+μmgcos α=ma
解得μ=0.5。
(2)设小车的最大速度为vm,小车做加速直线运动时功率为P,用时为t1
在匀减速过程中,由0=vm-at,得vm=30 m/s
当达到最大速度时F牵=mgsin α+μmgcos α
故P=(mgsin α+μmgcos α)vm
解得P=300 W
在运动45 m的过程中,由动能定理得
Pt1-(mgsin α+μmgcos α)x=m-0
解得t'=3 s。
【答案】(1)0.5 (2)3 s
题组2
动能定理及其应用
1.(2017·温州模拟)在篮球比赛中,某位同学获得罚球机会,他站在罚球线处用力将篮球投出,篮球约以1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.6 kg,篮筐离地高度约为3 m,忽略篮球受到的空气阻力,则该同学罚球时对篮球做的功大约为( )。
A.1 J B.10 J C.50 J D.100 J
【解析】假设人的身高h1=1.8 m,则根据动能定理,有W-mg(h-h1)=mv2,代入数据整理可得W=7.5 J,故B项正确。
【答案】B
2.(2017·辽宁月考)质量m=2 kg 的物块放在粗糙水平面上,在水平拉力的作用下由静止开始运动,物块动能Ek与其发生的位移x之间的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2,则下列说法中不正确的是( )。
A.x=1 m时,物块的速度大小为2 m/s
B.x=3 m时,物块的加速度大小为1.25 m/s2
C.在前2 m的运动过程中,物块所经历的时间为2 s
D.在前4 m的运动过程中,拉力对物块做的功为25 J
【解析】根据图象知,x=1 m时,动能为2 J,即mv2=2 J,解得v= m/s,故A项错误;对x=2 m到x=4 m段运用动能定理,有(F-μmg)Δx=ΔEk,解得F=6.5 N,物块的加速度a==1.25 m/s2,故B项正确;对前2 m运用动能定理得(F'-μmg)Δx'=ΔEk',解得F'=6 N,物块的加速度a'==1 m/s2,末速度v'==2 m/s,根据v'=a't得t=2 s,故C项正确;对全过程运用动能定理得WF-μmgx=ΔEk″,解得WF=25 J,故D项正确。
【答案】A
3.(2018·沧州月考)如图所示,固定在地面上的半圆轨道直径ab水平,质点P从a点正上方高h处自由下落,经过轨道后从b点冲出竖直上抛,上升的最大高度为,空气阻力不计,当质点下落再经过轨道a点冲出时,能上升的最大高度h满足的关系为( )。
A.h= B.h=
C.h< D.
【解析】由机械能守恒知A、B两球落地的速度大小相同,方向不同,A项错误;因B球落地时竖直速度较大,由P=mgv竖可知,PB>PA,B项错误;重力做功与路径无关,重力对两小球做的功均为mgh,C项错误;因B球从被抛出到落地所用时间较长,故>,D项正确。
【答案】D
2.(2017·安徽一模)有一种地下铁道,车站的路轨建得高些,车辆进站时要上坡,出站时要下坡,如图所示。坡高为h,车辆的质量为m,重力加速度为g,车辆与路轨的摩擦力为f,进站车辆到达坡下A处时的速度为v0,此时切断电动机的电源,车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是( )。
A.fh B.mgh
C.mgh-m D.m-mgh
【解析】设摩擦力做的功为W,对车辆由动能定理得W-mgh=0-m,所以有W=mgh-m,因摩擦力做负功,故车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功为m-mgh,所以D项正确。
【答案】D
3.(2018·九江月考)如图所示,一水平绷紧的传送带由电动机带动,始终保持1 m/s的速度匀速运动,在传送带的左端有一质量为1 kg的物体由静止释放,物体过一会儿能保持与传送带相对静止,已知物体与传送带间的动摩擦因数为0.1,对于物体从静止释放到相对静止这一过程(取g=10 m/s2),下列说法正确的是( )。
A.摩擦力对物体做的功为1 J
B.电动机增加的功率为0.5 W
C.传送带克服摩擦力做的功为1 J
D.电动机多做的功为0.5 J
【解析】对物体受力分析,仅有摩擦力对物体做功,由动能定理知Wf=mv2=0.5 J,A项错误;由功率公式知电动机增加的功率为μmgv=1 W,B项错误;传送带克服摩擦力做的功等于物体动能的增量与摩擦力对物体所做功之和,即W=mv2+Wf=1 J,C项正确;电动机多消耗的电能转变成内能和物体的动能,则电动机多做的功为1 J,D项错误。
【答案】C
4.(2018·山东月考)如图所示,两根相同的轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的M、N两点,已知两根轻绳和MN构成等腰直角三角形,重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以MN为轴做圆周运动,若小球在最低点速率为v,在最高点两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最低点速率为2v时,在最高点每根绳的拉力大小为( )。
A.mg B.mg
C.15mg D.8mg
【解析】设小球做圆周运动的半径为R,在最高点速率为v0时,在最高点两根绳的拉力恰好均为零,所以有mg=
由机械能守恒得mg·2R+m=mv2
解得mv2=5mgR
当小球在最低点速率为2v时,设此时在最高点速率为v0',由机械能守恒得mg·2R+mv0'2=m(2v)2
解得:mv0'2=16mgR
当小球在最高点时有mg+2Tcos 45°=
解得 T=mg,所以A项正确。
【答案】A
5.(2017·湖南一模)(多选)2016 年8月 13 日凌晨,里约奥运会女子蹦床决赛落幕,我国选手何雯娜顶着极大压力,克服伤病困扰,她顽强拼搏,以55.570分获得第四名。如图所示为何雯娜比赛中上升的最高点(距地面高为H),已知何雯娜质量为m,蹦床平面距地面高为h,何雯娜下落后,弹性网最大拉伸量为x,下落过程空气阻力恒为f,则关于何雯娜(看作质点)保持该姿势从最高点下落至最低点的过程,下列说法正确的是( )。
A.何雯娜的动能一直增加
B.何雯娜的重力势能的增量为mg(H+x-h)
C.弹性网弹性势能的增量为(mg-f)(H+x-h)
D.系统机械能减少f(H+x-h)
【解析】何雯娜的动能先增加后减小,A项错误;何雯娜重力势能的增量为-mg(H+x-h),B项错误;由动能定理可得,弹性网弹性势能的增量为(mg-f)(H+x-h),C项正确;系统机械能减少f(H+x-h),D项正确。
【答案】CD
甲
6.(2017·江西一模)如图甲所示,两个物体A和B的质量均为m,其中物体A置于光滑水平台上,物体B穿在光滑竖直杆上,杆与平台有一定的距离,A、B两物体通过不可伸长的轻绳连接跨过台面边缘的光滑定滑轮,绳保持与台面平行。现由静止释放两物体,当物体B下落h时,物体B的速度为2v,物体A的速度为v。关于此过程,下列说法正确的是(重力加速度为g)( )。
A.该过程中物体B的机械能损失了mgh
B.该过程中绳对物体A做的功为mv2
C.物体A在台面上滑动的距离为h
D.该过程中绳对系统做的功为mv2
乙
【解析】在图中的虚线对应的位置,将物体B的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向进行正交分解,如图乙所示。物体A、B沿着绳子方向的分速度相等,故sin θ==,θ=30°,该过程中A、B组成的系统机械能守恒,故mgh=m·(2v)2+mv2,物体B的机械能减小量ΔEB=mgh-m(2v)2,联立解得ΔEB=mgh,故A项正确;根据动能定理,该过程中绳对物体A做的功WA=mv2-0=mv2,故B项错误;结合几何关系,物体A滑动的距离Δx=-=(2-)h,故C项错误;由于绳子不可伸长,故不能储存弹性势能,绳子对两个物体做功的代数和等于弹性势能的变化量,故该过程中绳对系统做功为零,D项错误。
【答案】A
甲
7.(2018·湖南一模)如图甲所示,倾角为37°的斜面长10 m,一块质量m=2 kg的小物块静止放置于斜面底端。小物块在平行于斜面的恒定推力F作用下,沿斜面向上运动,小物块和斜面间的动摩擦因数μ=0.5。当物块向上运动了9 m而到达B时才撤去推力F,物块离开斜面落地的动能为352 J,不计空气阻力,则关于小物块的运动,下列说法错误的是( )。
A.小物块离开斜面做斜抛运动
B.平行于斜面的恒定的推力大小为48 N
C.在推力F作用下,物块沿斜面向上运动的过程中,推力F做的功等于物体克服重力和摩擦力所做的功
D.从小物块开始运动到最后飞出斜面再到最终落回地面的整个过程中,小物块所受推力做的功和滑动摩擦力做的功的代数和等于物块机械能的变化量
乙
【解析】经过定量运算,小物块应该滑过斜面的最高点做斜抛运动,如图乙所示,A项正确。根据动能定理,有F-f=EkD,解得F=48 N,B项正确。 根据动能定理和功能原理判定D项正确,C项错误。
【答案】C
8.(2017·湖北模拟)(多选)如图所示为汽车的加速度(a)和车速倒数的关系图象。若汽车质量为2×103 kg,它由静止开始沿平直公路行驶,且行驶中阻力恒定,最大车速为30 m/s,则( )。
A.汽车所受阻力大小为2×103 N
B.汽车在车速为15 m/s时,牵引力的功率为6×104 W
C.汽车匀加速的加速度为3 m/s2
D.汽车匀加速所需时间为5 s
【解析】设汽车所受阻力大小为Ff,由汽车的加速度(a)和车速倒数的关系图象可知,汽车从静止开始先做匀加速运动,加速度a=2 m/s2,直到速度达到v1=10 m/s,则匀加速阶段所用时间t==5 s,此时汽车的牵引力功率达到最大,即Pm=(Ff+ma)v1;接下来汽车做加速度逐渐减小的变加速运动,汽车的牵引力功率保持不变,当速度达到v2=30 m/s时,加速度为零,此时Pm=Ffv2,解得Ff=2×103 N,Pm=6×104 W,当汽车速度为15 m/s时,牵引力的功率为6×104 W,所以A、B、D三项正确,C项错误。
【答案】ABD
9.(2017·江西联考)(多选)如图是荡秋千的示意图,若人直立站在踏板上,从绳与竖直方向成角θ=60°的A点由静止开始运动,摆到最低点B时,两根绳中的总拉力是人重力的倍。随后,站在B点正下面的某人推一下,使秋千能摆到绳与竖直方向成θ=60°角的C点。设人的重心到悬点O的距离为l,人的质量为m,踏板和绳的质量不计,人所受空气阻力与人的速度的平方成正比。则下列判断中正确的是( )。
A.人从A点运动到最低点B的过程中损失的机械能大小等于mgl
B.站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl
C.站在B点正下面的某人推一下做的功大于mgl
D.站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl
【解析】人刚到最低点B时,由牛顿第二定律可得mg-mg=m,解得v2=gl,根据动能定理,有mgl(1-cos θ)-Wf=mv2,得Wf=mgl,所以A项正确。因人所受空气阻力与人速度的平方成正比。所以由B向C运动的过程中人所受的阻力比从A向B运动过程中所受阻力大,阻力做功也大,根据动能定理可知,站在B点正下面的某人推一下,有W-mgl(1-cos θ)-Wf'=0,因Wf'>mgl,所以W>mgl,C项正确。
【答案】AC
10.(2017·郑州质检)(多选)如图甲所示,在距离地面高度h=0.80 m的平台上有一轻质弹簧,其左端固定于竖直挡板上,右端与质量m=0.50 kg、可看作质点的物块相接触(不粘连),OA段粗糙且长度等于弹簧原长,其余位置均无阻力作用。物块开始静止于A点,物块与OA段的动摩擦因数μ=0.50。现对物块施加一个水平向左的外力F,其大小随位移x变化的关系如图乙所示。物块向左运动xAB=0.40 m到达B点,到达B点时速度为零,随即撤去外力F,物块在弹簧弹力作用下向右运动,从M点离开平台,落到地面上的N点,取g=10 m/s2,则( )。
A.在弹簧被压缩过程中外力F做的功为6.0 J
B.弹簧在被压缩过程中具有的最大弹性势能为6.0 J
C.整个运动过程中物块克服摩擦力做的功为4.0 J
D.M、N的水平距离为1.6 m
【解析】F-x图象与坐标轴所围图形的面积表示力F做的功,由题图乙可知WF=6.0 J,A项正确;在压缩弹簧过程中,物块克服摩擦力做的功Wf=μmgxAB=1.0 J,整个运动过程中克服摩擦力做的功为2Wf=2.0 J,C项错误;根据功能关系,弹簧在被压缩过程中具有的最大弹性势能Ep=WF-Wf=5.0 J,B项错误;物块由B点运动到M点,由功能关系得-Wf=mv2-Ep,解得物块运动到M点的速度v=4 m/s,设M、N的水平距离为x0,由平抛运动规律,有x0=vt,h=gt2,联立解得x0=1.6 m,D项正确。
【答案】AD
二、非选择题
11.(2017·安徽模拟)为了研究过山车的原理,某物理小组提出了下列设想:取一个与水平方向成夹角θ=60°,长L1=2 m的倾斜轨道AB,通过微小圆弧与长L2= m的水平轨道BC相连,然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道,出口为水平轨道D,如图所示。现将一个小球从距A点高h=0.9 m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出,到A点时速度方向恰沿AB方向,并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为μ=。取g=10 m/s2。
(1)求小球初速度v0的大小。
(2)求小球滑过C点时的速率vC。
(3)要使小球不离开轨道,则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件?
【解析】(1)小球做平抛运动到达A点,由平抛运动规律知竖直方向有=2gh,即vy=3 m/s
因为在A点的速度恰好沿AB方向,所以小球的初速度v0=vytan 30°= m/s。
(2)小球从水平抛出到C点的过程中,由动能定理得
mg(h+L1sin θ)-μmgL1cos θ-μmgL2=m-m
解得vC=3 m/s。
(3)小球刚好能通过圆轨道最高点时,由牛顿第二定律有
mg=m
小球做圆周运动过程中,由机械能守恒定律有
-2mgR1=mv2-m
解得R1==1.08 m
当小球刚好能到达与圆心等高处时,有mgR2=m
解得R2==2.7 m
当圆轨道与AB相切时,有R3=L2tan 60°=1.5 m,即圆轨道的半径不能超过1.5 m
综上所述,要使小球不离开轨道,R应该满足的条件是:0
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