2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期开学考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．A⊆B B．A∩B＝{2}‎ C．A∪B＝{1，2，3，4，5}‎ D．A∩（）＝{1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为但，所以A不对，因为，所以B不对，因为，所以C不对，经检验，D是正确的，故选D．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎2．函数的最小正周期是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.‎ 详解：∵，，‎ ‎∴．故选D 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎3．函数y＝ ＋log2(x＋3)的定义域是(　　)‎ A．R B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3,0)∪(0，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意,得，解得.故选D.‎ ‎【考点】函数的定义域.‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，是偶函数，函数图像开口向下在上单调递减，不符合题意；‎ 对于B，的图像不关于y轴对称，故不是偶函数，不符合题意；‎ 对于C，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；‎ 对于D，是偶函数，在上单调递减，不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性．‎ ‎5．设，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：首先，b,c都小于1，又 故选A 点评：本题考查对数值大小关系的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用 ‎6．当时,在同一坐标系中,函数的图象是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果 解：∵函数y=a﹣x与可化为 函数y=，其底数大于1，是增函数，‎ 又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，‎ 两个函数是一增一减，前增后减．‎ 故选C．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．‎ ‎7．方程的根所在区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题可知，设，，，因此，根所在区间是(0，1)。‎ ‎【考点】二分法求函数零点 ‎8．若函数＝，则的值是( )‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝，‎ ‎∴f（1）＝ln1＝0，‎ f（f（1））＝f（0）＝9﹣0+1＝2，‎ f（﹣log32）＝+1＝4+1＝5．‎ ‎∴f（f（1））+f（﹣log32）＝2+5＝7．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.‎ ‎9．定义在R上的偶函数满足，且当 时，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用确定函数的周期，再结合偶函数性质求值．‎ ‎【详解】‎ 用x+1代换x，得f(x+2)=f(x)，f(x)为周期函数，T=2 log28=3 f（3）=f（1）=f（-1）=2，本题选择D选项．‎ ‎【点睛】‎ 函数若满足，等时，则此函数为周期函数，且是它的一个周期．‎ ‎10．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：将函数y=sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x－)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）－)= y=sin(x－)，故选C ‎【考点】本题考查了三角函数图象的变换 点评：熟练掌握三角函数图象的变换法则是解决此类问题的关键，属基础题 ‎11．函数的图象（ ）‎ A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称 ‎【答案】B ‎【解析】由于函数无奇偶性，故可排除选项A,C；‎ 选项B中，当时，，所以点是函数图象的对称中心，故B正确。‎ 选项D中，当时，,所以直线不是函数图象的对称轴，故D不正确。‎ 选B。‎ ‎12．函数是（ ）‎ A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式将函数解析式化简，然后根据余弦函数的单调性确在相应区间上的增减性．‎ ‎【详解】‎ ‎,利用余弦函数图像的性质可得：‎ A.在上先减后增；B．在[0，π]上为增函数；‎ C．在x∈[﹣π，0]时为减函数；D．在上先减后增．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和余弦函数图像的性质，主要考查余弦函数图像单调性的应用，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝___.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用函数的奇偶性可得f(-2)=f(2),代入解析式即可求解.‎ ‎【详解】‎ f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-2)=f(2),‎ 且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(2)=1,‎ 故f(-2)=f(2)=1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，属于简单题.‎ ‎14．若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，则f(x)＝___，g(x)＝___.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据指数函数与幂函数的形式设出两个函数，将点代入，求出函数解析式．‎ ‎【详解】‎ 设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα 将（2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α 解得a＝2，α＝2‎ 故答案为：f（x）＝2x，g（x）＝x2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数和幂函数解析式的求法，通过待定系数法求解即可．‎ ‎15．已知，，则＝____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由，可得，则，故.‎ ‎【考点】1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系.‎ ‎16．函数的图象为C，‎ ‎①图象C关于直线x＝ π对称；‎ ‎②函数f(x)在区间内是增函数；‎ ‎③由y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C，‎ 其中正确命题的序号为_________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】利用正弦函数图像的性质对三个命题逐个进行检验即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为当x＝π时，，则直线π是图象的对称轴，故①正确；‎ 令，解得x∈，所以函数的一个增区间是，故②正确；‎ 由y＝3sin2x的图象向右平移个单位，得到图象对应的函数表达式为y＝3sin2（x﹣）＝3sin（2x﹣），所以所得图象不是函数f(x)的图象C，故③不正确 故答案为：①②‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像的性质，考查函数的对称性、单调性以及函数的图象变换，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合 ，，；若，求实数的值或取值范围 .‎ ‎【答案】或或．‎ ‎【解析】试题分析：由知，因此可能为，，，进而求出的取值范围，由知，因此可能为，，，，进而得到的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎ .‎ ‎∵，∴，∴可能为，，，，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，∴中一定有1，‎ ‎∴，或，即或.‎ 经验证，均满足题意，‎ 又∵，∴，∴可能为，，，.‎ 当时，方程无解，‎ ‎∴，∴，‎ 当时，无解；当时，也无解；当时，，‎ 综上所述，或，或..‎ ‎【考点】1、集合运算；2、一元二次方程的解法.‎ ‎18．已知方程，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式将已知等式和所求式子进行化简，然后利用齐次式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵sin（α﹣3π）＝2cos（α﹣4π），‎ ‎∴﹣sinα＝2cosα，即tanα＝﹣2，‎ ‎ ；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.‎ ‎19．已知函数f(x)＝1－ .‎ ‎(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；‎ ‎(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明 ‎【答案】(1)1(2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1），由于函数为奇函数，所以有，即，解得；（2）首先判断函数在区间上单调递增，可以根据函数单调性定义进行证明，设是区间上任意两个不等的实数，且，则，，由于 且，所以，即，所以函数在区间上单调递增.‎ 试题解析：（1）由已知g（x）＝f（x）-a得，‎ g（x）＝1-a-，‎ 因为g （x）是奇函数，所以g（-x）＝-g（x）， ‎ 即1-a-＝-，‎ 解得a＝1.‎ ‎（2）函数f（x）在（0，＋∞）内为增函数． ‎ 证明如下：‎ 设x1、x2为（0，＋∞）内的任意两点，且x10，‎ 从而，‎ 即f（x1）0时，f(x)＝log2x.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)解关于x的不等式f(x)≤ .‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，由x＞0时的解析式和函数的奇偶性可得到函数解析式（2）根据（1）中函数的解析式，分别解出各段上满足f(x)≤的x范围，然后取并集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝log2x ‎∴f（﹣x）＝log2（﹣x），又∵函数f（x）是奇函数 ‎∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x）．‎ 当x＝0时，f（0）＝0‎ 综上所述 ‎（2）由（1）得不等式f(x)≤ 可化为 x＞0时，，解得0＜x≤‎ x＝0时，0≤，满足条件，‎ x＜0时，，解得x≤，‎ 综上所述原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用奇偶性来求对称区间上的解析式，一定要注意，求哪一个区间的解析式，要在哪个区间上取变量．‎ ‎21．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，)的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为.‎ ‎(1)求函数解析式；‎ ‎(2)求函数的最小值，并写出相应的x值的集合；‎ ‎(3)当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）最小值-5，；（3）‎ ‎【解析】（1）由题意知A＝5由点P和最高点之间的距离可得函数周期，从而得ω值，由图像过，可求φ值，从而得到函数解析式；（2）利用正弦型函数的性质可得最小值及所对应的x取值集合；（3）先求的范围，利用正弦函数的图像可求该函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：A＝5,,即 ‎ ‎∴ω＝2,∴y=5sin(2x＋φ)‎ 又∵过，∴ ，即，‎ 又，则，∴‎ ‎（2）函数最小值为-5，当,即时取到最小值.‎ ‎（3），则，‎ ‎∴，即f（x）的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦型函数的值域的求法，属于基本知识的考查．‎ ‎22．已知函数 ‎(1)求函数解析式；‎ ‎(2)判断函数的奇偶性（给出结论即可）；‎ ‎(3)若方程 ‎【答案】（1）（2）偶函数（3）b<-1‎ ‎【解析】(1)将函数f(x)解析式进行化简，然后利用二次函数的图像的性质，讨论对称轴和区间的位置关系可得函数的最大值；（2）由函数图像可得函数的奇偶性；（3）根据题意可转为y=b与y=g(a)有两个不同的交点，结合图像可得b得取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)=−(sinx−a)2-1，‎ ‎∵−1⩽sinx⩽1，∴当−1

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