2010年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

2010年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•哈尔滨）某年哈尔滨市一月份的平均气温为﹣18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（　　）‎ ‎ A、16℃ B、20℃‎ ‎ C、一16℃ D、一20℃‎ 考点：有理数的减法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据题意用三月份的平均气温气温减去一月份的平均气温气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解．‎ 解答：解：2﹣（﹣18）=2+18=20℃．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查有理数的减法运算法则．‎ ‎2、（2010•哈尔滨）下列运算中，正确的是（　　）‎ ‎ A、x3•x2=x5 B、x+x2=x3‎ ‎ C、2x3÷x2=x D、‎‎（x‎2‎‎）‎‎3‎=‎x‎3‎‎2‎ 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂的乘法、合并同类项、单项式的除法和积的乘方法则进行计算．‎ 解答：解：A、x3•x2=x5，正确；‎ B、x与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ C、应为2x3÷x2=2x，故本选项错误；‎ D、应为（x‎2‎）3=x‎3‎‎8‎，故本选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查整式的运算和幂的运算法则，要注意区分它们各自的特点，以避免出错．‎ ‎3、（2010•哈尔滨）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心对称图形。‎ 分析：根据中心对称图形的概念求解．‎ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ 解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、不是中心对称图形，不符合题意；‎ C、不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、是中心对称图形，符合题意．‎ 故选D．‎ 点评：掌握好中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎4、（2010•哈尔滨）在抛物线y=x2﹣4上的一个点是（　　）‎ ‎ A、（4，4） B、（1，﹣4）‎ ‎ C、（2，0） D、（0，4）‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．‎ 解答：解：A、x=4时，y=x2﹣4=12≠4，点（4，4）不在抛物线上，‎ B、x=1时，y=x2﹣4=﹣3≠﹣4，点（1，﹣4）不在抛物线上，‎ C、x=2时，y=x2﹣4=0，点（2，0）在抛物线上，‎ D、x=0时，y=x2﹣4=﹣4≠4，点（0，4）不在抛物线上，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系．‎ ‎5、（2010•哈尔滨）一个袋子里装有8个球，其中6个红球2个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎8‎ B、‎‎1‎‎6‎ ‎ C、‎1‎‎4‎ D、‎‎3‎‎4‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．‎ 解答：解：∵袋子里装共有8个球，6个红球，‎ ‎∴随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是：‎6‎‎8‎=‎3‎‎4‎．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎6、（2010•哈尔滨）下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．‎ 解答：解：A、正方体的三视图均为正方形，故A错误；‎ B、圆柱的俯视图是圆，故B错误；‎ C、三棱柱的俯视图是三角形，故C正确；‎ D、球体的三视图均为圆，故D错误；‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．‎ ‎7、（2010•哈尔滨）反比例函数y=k﹣3‎x的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）‎ ‎ A、k＜3 B、k≤3‎ ‎ C、k＞3 D、k≥3‎ 考点：反比例函数的性质。‎ 分析：根据反比例函数的性质解题．‎ 解答：解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴函数图象必在第四象限，‎ ‎∴k﹣3＜0，‎ ‎∴k＜3．‎ 故选A．‎ 点评：对于反比例函数y=‎kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．‎ ‎8、（2010•哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（　　）‎ ‎ A、7sin35° B、‎‎7‎cos‎35‎‎0‎ ‎ C、7cos35° D、7tan35°‎ 考点：解直角三角形。‎ 分析：在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长．‎ 解答：解：在Rt△ABC中，cosB=BCAB，‎ ‎∴BC=AB•cosB=7cos35°．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ ‎9、（2010•哈尔滨）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（　　）‎ ‎ A、‎2‎‎2‎ B、‎‎2‎‎3‎ ‎ C、‎5‎ D、‎‎3‎‎5‎ 考点：垂径定理；解直角三角形。‎ 分析：过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．‎ 解答：解：过O作OC⊥AB于C．‎ 在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=‎1‎‎2‎∠AOB=60°，‎ ‎∴AC=OA•sin60°=‎3‎，‎ 因此AB=2AC=2‎3‎．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．‎ ‎10、（2010•哈尔滨）小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S（单位：米）与离家的时间t（单位：分）之间的函数关系图象大致是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：函数的图象。‎ 专题：分段函数。‎ 分析：本题是分段函数的图象问题，要根据行走，休息，回家三个阶段判断．‎ 解答：解：第10﹣20分，离家的距离随时间的增大而变大；20﹣30分，时间增大，离家的距离不变，函数图象与x轴平行；30﹣60分，时间变大，离家越来越近．‎ 故选D．‎ 点评：读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．‎ 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎11、（2010•哈尔滨）地球与太阳的距离约是149 896 229千米，用科学记数法表示（保留两个有效数字）应记作 千米．‎ 考点：科学记数法与有效数字。‎ 专题：应用题。‎ 分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．‎ 解答：解：确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于149 896 229有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．‎ 保留两个有效数字，所以149 896 229≈1.5×108．‎ 答案：1.5×108千米．（保留两个有效数字）‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎12、（2010•哈尔滨）函数y=x+1‎x+2‎的自变量x的取值范围是 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x+2≠0，解得x的范围．‎ 解答：解：根据题意，得：x+2≠0‎ 解得：x≠﹣2．‎ 故答案为x≠﹣2．‎ 点评：本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0，进而求出x的取值范围．‎ ‎13、（2010•哈尔滨）化简：‎16‎= ．‎ 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：根据二次根式的性质解答．‎ 解答：解：原式=‎16‎=‎4‎‎2‎=4．‎ 点评：解答此题，要根据二次根式的性质：a‎2‎=|a|解题．‎ ‎14、（2010•哈尔滨）把多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果是 ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：首先提取公因式2，然后再运用完全平方公式进行二次分解．‎ 解答：解：2a2﹣4ab+2b2，‎ ‎=2（a2﹣2ab+b2），…（提取公因式）‎ ‎=2（a﹣b）2．…（完全平方公式）‎ 点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎15、（2010•哈尔滨）方程‎5‎x‎+‎x﹣3‎x=0的解是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：观察方程可得最简公分母是：x，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．‎ 解答：解：方程两边同乘以x，‎ 得5+x﹣3=0，‎ 解得x=﹣2．‎ 经检验：x=﹣2是原方程的解．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎16、（2010•哈尔滨）某种衬衫每件的标价为150元，如果每件以8折（即按标价的80%）出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为 元．‎ 考点：有理数的乘法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：以标价为基数打8折，列出算式，计算结果．‎ 解答：解：依题意，得 ‎150×80%=120元．‎ 点评：本题考查了根据实际问题，列式计算的能力．‎ ‎17、（2010•哈尔滨）将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：‎ 易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角度数．‎ 解答：解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，‎ ‎∴nπ×12‎‎180‎=10π，‎ ‎∴n=150°．‎ 点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．‎ ‎18、（2010•哈尔滨）观察下列图形：‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 解答：解：第1个图形有1+3=4个★；‎ 第2个图形有1+3+3=1+2×3=7个★；‎ 第3个图形有1+3+3+3=1+3×3=10个★；‎ 第4个图形有1+3+3+3+3=1+3×4=13个★；‎ 第9个图形有1+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=1+3×9=28个★．‎ 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．‎ ‎19、（2010•哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为 度．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．‎ 解答：解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°；‎ 由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF；‎ 而∠BED=180°﹣∠AEB=110°，∴∠BEF=55°；‎ 易知∠EBC=∠D=∠BC′F=∠C=90°，‎ ‎∴BE∥C′F，‎ ‎∴∠EFC′=180°﹣∠BEF=125°．‎ 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．‎ ‎20、（2010•哈尔滨）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，点D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点C作CN⊥BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，则MN的长为 ．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′，可分为顺时针和逆时针旋转两个图形；先求顺时针旋转的情形，如图作辅助线，先解Rt△BFC，再解△BE′F求BE′，用“面积法”求CN，证明△ACG≌△BCN，△CD'H≌△CE'N，将有关线段转化，可求CM，从而可求MN．‎ 解答：解：如下图，过点B作E'C的垂线交其延长线于F点，过点D'作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM的垂线交其延长线于G点．‎ ‎∵∠ACD'=60°，∠ACB=∠D'CE'=90°，‎ ‎∴∠BCE=360°﹣∠ACD'﹣∠ACB﹣∠D'CE'=120°．‎ ‎∴∠BCF=180°﹣∠BCE=60°，BF=sin∠BCF•BC=‎3‎‎2‎×10=‎5‎‎3‎，‎ ‎∴S△BCE'=$frac{1}{2}$BF•CE'=‎15‎‎3‎．‎ 又∵∠ACG=∠CBN，AC=BC，‎ ‎∴△ACG≌△BCN，AG=CN，CG=BN．‎ 同理△CD′H≌△CE′N，D′H=CN，CH=NE′．‎ ‎∴M为GH中点，CM=‎1‎‎2‎（CG+CH）=‎1‎‎2‎BE'．‎ 又BF=‎5‎‎3‎，∠BCF=60°，‎ ‎∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，‎ ‎∴BE'=BF‎2‎‎+‎FE'‎‎2‎=‎（5‎3‎）‎‎2‎‎+‎‎11‎‎2‎=14，‎ ‎∴CM=‎1‎‎2‎BE'=7．‎ 又S△BCE'=$frac{1}{2}$CN•BE'，‎ ‎∴CN=2S△BCE′÷BE'=‎15‎‎3‎‎7‎，‎ ‎∴MN=CM+CN=7‎+‎‎15‎‎3‎‎7‎．‎ 同理，当△CDE逆时针旋转60°时，MN如下图中右边所示，MN=7﹣‎15‎‎3‎‎7‎．‎ 点评：本题考查了了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理的运用及分类讨论的思想．‎ 三、解答题（共8小题，满分60分）‎ ‎21、（2010•哈尔滨）先化简，再求值a+1‎a+3‎‎÷‎a+1‎‎2‎，其中a=2sin60°﹣3．‎ 考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。‎ 分析：分别化简原式和a，再代入计算．‎ 解答：解：原式=a+1‎a+3‎‎×‎2‎a+1‎=‎‎2‎a+3‎，‎ 当a=2sin60°﹣3=2×‎3‎‎2‎‎﹣3=‎3‎﹣3‎时，‎ 原式=‎2‎‎3‎‎﹣3+3‎‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎．‎ 点评：此题关键是熟练掌握分式的化简求值及特殊角的三角函数值．‎ ‎22、（2010•哈尔滨）点A（﹣1，4）和点B（﹣5，1）在平面直角坐标系中的位置如图所示．‎ ‎（1）将点A、B分别向右平移5个单位，得到点A1、B1，请画出四边形AA1B1B；‎ ‎（2）画一条直线，将四边形AA1B1B分成两个全等的图形，并且每个图形都是轴对称图形．‎ 考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换。‎ 分析：（1）将点A、B分别向右平移5个单位，得到点A1、B1，顺次连接四点即可．‎ ‎（2）取AB，A1B1的中点连线即可．‎ 解答：解：（1）‎ ‎（2）‎ 点评：本题主要考查了平移和轴对称的性质，需要对书本的基本知识有较好的掌握．‎ ‎23、（2010•哈尔滨）如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C．‎ 求证：CE=BF．‎ 考点：圆周角定理；全等三角形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：因为OB，OC是⊙O的半径，所以OB=OC，又因为∠B=∠C，∠BOE=∠COF，易证△EOB≌△FOC，则可求证CE=BF．‎ 解答：证明：∵OB，OC是⊙O的半径，‎ ‎∴OB=OC．‎ 又∵∠B=∠C，∠BOE=∠COF，‎ ‎∴△EOB≌△FOC．‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎∵CE=OC+OE，BF=OB+OF，‎ ‎∴CE=BF．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎24、（2010•哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．‎ ‎（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长．‎ 考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法；二次函数的应用。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：（1）根据长方形的面积公式求出S与x之间的函数关系式．‎ ‎（2）根据矩形ABCD的面积为50平方米，即S=50，即可列出一元二次方程求解．‎ 解答：解：（1）根据题意AD=‎30﹣2x‎2‎‎=15﹣x，‎ S=x（15﹣x）=﹣x2+15x ‎（2）当S=50时，﹣x2+15x=50，‎ 整理得x2﹣15x+50=0‎ 解得x1=5，x2=10‎ 当AB=5时，AD=10；‎ 当AB=10时，AD=5‎ ‎∵AB＜AD ‎∴AB=5‎ 答：当矩形ABCD的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米．‎ 点评：对于长方形的面积公式要熟记．注意本题AB＜AD，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．‎ ‎25、（2010•哈尔滨）哈市某中学为了解学生的课余生活情况，学校决定围绕“在欣赏音乐、读课外书、体育运动．其他活动中，你最喜欢的课余生活种类是什么？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢欣赏音乐的学生占被抽取人数的12%，请你根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）最喜欢读课外书的学生占被抽取人数的百分数是多少？‎ ‎（3）如果全校有1000名学生，请你估计全校最喜欢体育运动的学生约有多少名？‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）因为最喜欢欣赏音乐的学生有6人，所占百分比为12%，即可求出调查总人数；‎ ‎（2）求出最喜欢读课外书的学生的人数，再除以总人数即可求解；‎ ‎（3）用全校总人数乘以最喜欢体育运动的学生所占百分比即可求得结果．‎ 解答：解：（1）6÷12%=50（名）‎ ‎∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；‎ ‎（2）50﹣6﹣20﹣8=16（名）‎ ‎16‎‎50‎‎×100%=32%‎ ‎∴最喜欢读课外书的学生占被抽取人数的32%；‎ ‎（3）1000×‎20‎‎50‎‎=400‎（名）‎ ‎∴估计全校最喜欢体育运动的学生约有400名．‎ 点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎26、（2010•哈尔滨）君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．‎ ‎（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？‎ ‎（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？‎ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。‎ 专题：工程问题；优选方案问题。‎ 分析：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x﹣2）件A种产品．‎ 等量关系：甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．‎ ‎（2）设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品（80﹣m）件．‎ 不等关系：①按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元；②按出厂价购买A、B两种产品的费用不超过15080元．‎ 解答：解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x﹣2）件A种产品．‎ 根据题意，得 ‎3（x+2）=4x，‎ 解，得x=6．‎ ‎∴x+2=8．‎ 答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品．‎ ‎（2）设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品（80﹣m）件．‎ 根据题意，得 ‎15000＜200（80﹣m）+180m≤15080，‎ ‎46≤m＜50．‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m为46或47或48或49．‎ 又∵乙车间8天生产48件，‎ ‎∴m为46或47或48．‎ ‎∴有三种购买方案：‎ 购买A种产品32件，B种产品48件；‎ 购买A种产品33件，B种产品47件；‎ 购买A种产品34件，B种产品46件．‎ 点评：本题考查的是根据等量关系列方程求解问题，及根据不等关系列不等式求解问题的能力．‎ ‎27、（2010•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，EFEG‎=‎‎5‎‎2‎．‎ 考点：勾股定理；梯形；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；分类讨论。‎ 分析：（1）过点B作BN⊥OC，则四边形ABNO是矩形，BN=AO=8，AB=ON，由勾股定理可求得NB的长；‎ ‎（2）可证△BON∽△POH，有BOPO‎=ONOH=‎BNPH，由题意知OP=10﹣5t，OH=6﹣3tPH=8﹣4t，BH=OB﹣OH=10﹣（6﹣3t）=3t+4，从而求得S的表达式，由于OC=10，故0≤t＜2；‎ ‎（3）分两种情况分析：①当点G在点E上方时，如图2过点B作BN′⊥OC，垂足为N′，先得到四边形BMPC是平行四边形，有PM=BC=4‎5‎，BM=PC=5t，证得∠OPD=∠ODP，由同角的余角相等得到∠RMP=∠DPH，有EM=EP，由于点F为PM的中点，则EF⊥PM，得到∠EMF=∠PMR，∠EFM=∠PRM=90°，有△MEF∽△MPR，有MEMP‎=MFMR=‎EFPR，由条件可得ME=5，EF=‎5‎，根据题意知EFEG‎=‎‎5‎‎2‎，有EG=2，MG=EM﹣EC=5﹣2=3，又可证得△MGB∽△N′BO，有MGN'B‎=‎MBN'O，得BM=‎9‎‎4‎，从而求得t的值；②当点G在点E下方时，如图3，同理可得MG﹣ME+EG=5+2=7，有BM=5t=‎21‎‎4‎，可得t的值．‎ 解答：解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂足为N 由题意知OB=OC=10，BN=OA=8‎ ‎∴ON=OB‎2‎‎﹣‎BN‎2‎‎=6‎，‎ ‎∴B（6，8）‎ ‎（2）如图1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°‎ ‎∴△BON∽△POH，‎ ‎∴‎BOPO‎=ONOH=‎BNPH ‎∵PC=5t，‎ ‎∴OP=10﹣5t ‎∴OH=6﹣3tPH=8﹣4t ‎∴BH=OB﹣OH=10﹣（6﹣3t）=3t+4‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎（3t+4）（8﹣4t）=﹣6t2+4t+16（0≤t＜2）‎ ‎（3）①当点G在点E上方时，‎ 如图2过点B作BN′⊥OC，垂足为N′‎ BN′=8，CN′=4‎ ‎∴CB=‎BN‎2‎‎+‎CN‎2‎‎=4‎‎5‎ ‎∵BM∥PC，BC∥PM ‎∴四边形BMPC是平行四边形 ‎∴PM=BC=4‎5‎，BM=PC=5t ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC ‎∵PM∥CB，‎ ‎∴∠OPD=∠OCB，∠ODP=∠OBC ‎∴∠OPD=∠ODP ‎∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠DPH=90°‎ ‎∴∠RMP=∠DPH ‎∴EM=EP ‎∵点F为PM的中点，‎ ‎∴EF⊥PM ‎∵∠EMF=∠PMR∠EFM=∠PRM=90°‎ ‎∴△MEF∽△MPR ‎∴MEMP‎=MFMR=‎EFPR，其中MF=‎PM‎2‎‎=2‎‎5‎ MR=8，PR=‎PM‎2‎‎﹣‎MR‎2‎‎=4‎ ‎∴ME=5，EF=‎‎5‎ ‎∵EFEG‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴EG=2‎ ‎∴MG=EM﹣EC=5﹣2=3‎ ‎∵AB∥OC ‎∴∠MBG=∠BON′‎ 又∵∠GMB=∠ON′，B=90°‎ ‎∴△MGB∽△N′BO ‎∴MGN'B‎=‎MBN'O，‎ ‎∴BM=‎‎9‎‎4‎ ‎∴5t=‎‎9‎‎4‎ ‎∴t=‎‎9‎‎20‎ ‎②当点G在点E下方时，如图3，同理可得MG﹣ME+EG=5+2=7‎ ‎∴BM=5t=‎21‎‎4‎，‎ ‎∴t=‎‎21‎‎20‎ ‎∴当t=‎9‎‎20‎或t=‎21‎‎20‎时，‎ EFEG‎=‎‎5‎‎2‎‎．‎ 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及平行四边形的性质，平面直角坐标每等知识点，要注意（3）中，要分类讨论，从而得出运动时间t的值．不要忽略掉任何一种情况．‎ ‎28、（2010•哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=‎2‎MD；‎ ‎（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： ．‎ ‎（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=‎2‎‎7‎，求tan∠ACP的值．‎ 考点：解直角三角形；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）由题意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBM⇒AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°⇒AB=‎2‎BD，则有AE=‎2‎MD；‎ ‎（2）由于cos60°=‎1‎‎2‎，类似（1）可得到AE=2MD；‎ ‎（3）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC．‎ 求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由三角函数的概念求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值．‎ 解答：解：（1）证明：如图1，连接AD．‎ ‎∵AB=AC，BD=CD，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ 又∵∠ABC=45°，‎ ‎∴BD=AB•cos∠ABC即AB=‎2‎BD．‎ ‎∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，‎ ‎∴△ABE∽△DBM．‎ ‎∴AEDM‎=ABDB=‎‎2‎，‎ ‎∴AE=‎2‎MD．‎ ‎（2）∵cos60°=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=2BD．‎ ‎∴AE=2MD；‎ ‎（3）如图2，连接AD，EP．‎ ‎∵AB=AC，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ 又∵D为BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=‎1‎‎2‎AB．‎ ‎∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，‎ ‎∴△ABE∽△DBM．‎ ‎∴BEBM‎=ABDB=2‎，‎ ‎∠AEB=∠DMB．‎ ‎∴EB=2BM．‎ 又∵BM=MP，‎ ‎∴EB=BP．‎ ‎∵∠EBM=∠ABC=60°，‎ ‎∴△BEP为等边三角形，‎ ‎∴EM⊥BP，‎ ‎∴∠BMD=90°，‎ ‎∴∠AEB=90°．‎ 在Rt△AEB中，AE=2‎7‎，AB=7，‎ ‎∴BE=AB‎2‎‎﹣‎AE‎2‎‎=‎‎21‎．‎ ‎∴tan∠EAB=‎3‎‎2‎．‎ ‎∵D为BC中点，M为BP中点，‎ ‎∴DM∥PC．‎ ‎∴∠MDB=∠PCB，‎ ‎∴∠EAB=∠PCB．‎ ‎∴tan∠PCB=‎3‎‎2‎．‎ 在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=‎7‎‎2‎‎3‎，‎ 在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=‎7‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴NA=AD﹣ND=‎7‎‎4‎‎3‎．‎ 过N作NH⊥AC，垂足为H．‎ 在Rt△ANH中，NH=‎1‎‎2‎AN=‎7‎‎8‎‎3‎，AH=AN•cos∠NAH=‎21‎‎8‎，‎ ‎∴CH=AC﹣AH=‎35‎‎8‎，‎ ‎∴tan∠ACP=‎3‎‎5‎．‎ 点评：本题考查了相似三角形的判定，利用直角三角形的性质，三角函数的概念求解，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ 张伟东；zhangCF；xinruozai；MMCH；HJJ；Linaliu；huangling；py168；kuaile；shenzigang；lanchong；fuaisu；haoyujun；zhehe；CJX；wangcen；feng；wdxwwzy；hbxglhl。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日