2018届二轮复习圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课件（全国通用）

2018届二轮复习圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课件（全国通用）

第二讲　 圆锥曲线的概念与性质、 与弦有关的计算问题 【 必备知识 】 1. 圆锥曲线的定义式 (1) 椭圆 :|PF 1 |+|PF 2 |=2a(2a>|F 1 F 2 |); (2) 双曲线 :||PF 1 |-|PF 2 ||=2a(2a<|F 1 F 2 |); (3) 抛物线 :|PF|=|PM|, 点 F 不在直线 l 上 ,PM⊥ l 于 M( l 为抛物线的准线方程 ). 2. 圆锥曲线的重要性质 (1) 椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 : ① 在椭圆 中 :________; 离心率为 ②在双曲线中 :________; 离心率 为 a 2 =b 2 +c 2 c 2 =a 2 +b 2 (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 : ① 双曲线 = 1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 _______; 焦点坐标 F 1 _______,F 2 ______; ② 双曲线 =1(a>0,b>0) 的渐近线方程为 _______, 焦点坐标 F 1 _______,F 2 ______. (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程 : ① 抛物线 y 2 =±2px(p>0) 的焦点坐标为 ______, 准线方程为 ________; ② 抛物线 x 2 =±2py(p>0) 的焦点坐标为 _______, 准线方程为 _________. 3. 弦长问题 (1) 弦长公式 : 设直线斜率为 k, 直线与圆锥曲线交于 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 时 , (2) 过抛物线焦点的弦长 : 过抛物线 y 2 =2px(p>0) 焦点 F 的弦 AB, 若 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), 则 x 1 x 2 = ,y 1 y 2 =-p 2 , 弦长 |AB |=_______. x 1 +x 2 +p 【 真题体验 】 1.(2016· 全国卷 Ⅱ) 已知方程 表示 双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的取值 范围是 ( 　　 ) A.(-1 ， 3) B.(-1 ， ) C.(0 ， 3) D.(0 ， ) 【 解析 】 选 A. 表示双曲线， 则 (m 2 +n)(3m 2 -n)>0 ， 所以 -m 2 0) 与 C 交于点 P,PF⊥x 轴 , 则 k= 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为抛物线方程是 y 2 =4x, 所以 F(1,0). 又因为 PF⊥x 轴 , 所以 P(1,2), 把 P 点坐标代入曲线方程 y= (k>0), 即 =2, 所以 k=2. 3.(2017· 全国卷 Ⅲ) 已知双曲线 C ： (a>0 ， b>0) 的一条渐近线方程为 y= x ，且与椭圆 =1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由题意可得： ， c=3 ，又 a 2 +b 2 =c 2 ，解得 a 2 =4 ， b 2 =5 ， 则 C 的方程为 =1. 4.(2017· 全国卷 Ⅰ) 已知双曲线 C ： (a>0 ， b>0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点 . 若∠ MAN=60° ， 则 C 的离心率为 ________. 【 解析 】 如图， 因为∠ MAN=60° ，所以 又因为 tanθ= ，所以 解得 a 2 =3b 2 ， e= 答案： 【 大数据易错点 】 排序 1: 忽略条件致误 . 应用圆锥曲线定义解题时 , 易忽略定义中的条件导致错误 . 排序 2: 忽略焦点的位置致误 . 当焦点的位置没有明确给出时应对焦点位置进行分类讨论 , 椭圆、双曲线有两种情况 , 抛物线有四种情况 . 排序 3: 混淆 a,b,c 的关系致误 . 在椭圆中 a 的值最大 ,a 2 =b 2 +c 2 ; 在双曲线中 c 的值最大 ,c 2 =a 2 +b 2 . 排序 4: 忽略隐含条件 . 圆锥曲线上点的横、纵坐标是有范围的 , 在设计求最值或范围时 , 易忽略该条件 . 热点考向一　圆锥曲线的定义、标准方程与性质 命题解读 : 主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、离心率以及双曲线的渐近线、抛物线的准线等性质 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2017· 全国卷 Ⅱ) 若双曲线 C ： (a>0 ， b>0) 的一条渐近线被圆 (x-2) 2 +y 2 =4 所截得的 弦长为 2 ，则 C 的离心率为 ( 　　 ) (2)(2017 · 衡水一模 ) 已知直线 y=k(x+2)(k>0) 与抛物线 C:y 2 =8x 相交于 A,B 两点 ,F 为 C 的焦点 , 若 |FA|=2|FB|, 则 k=( 　　 ) (3) 已知椭圆 (a>b>0) 的左右焦点分别为 F 1 ,F 2 , 过点 F 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点 , 若△ F 1 AB 是 以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 , 则椭圆的离心率 为　 ( 　　 ) 世纪金榜导学号 92494101 【 解题导引 】 (1) 先求出双曲线的渐近线，再由弦长可得出关于 a ， c 的等式，进而可求出离心率 . (2) 先得出直线恒过定点 P, 过 A,B 分别作 AM⊥ l 于点 M,BN⊥ l 于点 N, 根据已知推断出 |AM|=2|BN|, 可知 |OB|= |AF|, 推断出 |OB|=|BF|, 进而求得点 B 的横 坐标 , 最后利用直线上的两点求得直线的斜率 . (3) 根据△ F 1 AB 的周长为 4a, 把 AF 1 ,AF 2 用 a 表示 , 再根据勾股定理找出 a,c 满足的关系式 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 圆心到渐近线 bx±ay=0 的距离 为 所以 ⇒ c=2a ⇒ e=2. (2) 选 D. 抛物线 C:y 2 =8x 的准线为 l :x=-2, 直线 y=k(x+2)(k>0) 恒过定点 P(-2,0), 如图 , 过 A,B 分别作 AM⊥ l 于点 M,BN⊥ l 于点 N, 由 |FA|=2|FB|, 得 |AM|=2|BN|, 所以点 B 为 AP 的中点 , 连接 OB, 则 |OB|= |AF|, 所以 |OB|=|BF|, 点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为 (1,2 ), 所以 k= (3) 选 D. 设 |F 1 F 2 |=2c,|AF 1 |=m, 若△ F 1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 , 所以 |AB|=|AF 1 |=m,|BF 1 |= m. 由椭圆的定义可知△ F 1 AB 的周长为 4a, 所以 4a=2m+ m,m=2(2- )a. 所以 |AF 2 |=2a-m=(2 -2)a. 因为 |AF 1 | 2 +|AF 2 | 2 =|F 1 F 2 | 2 , 所以 4(2- ) 2 a 2 +4( -1) 2 a 2 =4c 2 , 所以 e 2 =9-6 ,e= - . 【 母题变式 】 1. 本例 (3) 中若椭圆改为双曲线 (a>0,b>0) 过 F 2 的直线与双曲线交于 A,B 两点 , 其他条件不变 , 则 e 2 (e 为双曲线离心率 ) 的值为 ________. 【 解析 】 如图所示 : 因为 |AF 1 |-|AF 2 |=2a,|BF 1 |-|BF 2 |=2a, |AF 1 |=|AF 2 |+|BF 2 |, 所以 |BF 2 |=2a,|BF 1 |=4a. 所以 |AF 1 |=2 a,|AF 2 |=2 a-2a. 因为 |F 1 F 2 | 2 =|AF 1 | 2 +|AF 2 | 2 , 所以 (2c) 2 =(2 a) 2 +(2 a-2a) 2 , 所以 e 2 =5-2 . 答案 : 5-2 2. 在本例 (3) 中若条件变为 “ 在双曲线 (a>0,b>0) 中 ,A 1 ,A 2 是左、右顶点 ,F 是右焦点 ,B 是虚轴的上端点 , 若在线段 BF 上存在点 P, 使得△ PA 1 A 2 构成以 A 1 A 2 为斜边的直角三角形 ” , 试求双曲线离心率 e 的取值范围 . 【 解析 】 由题意知以线段 A 1 A 2 为直径的圆和线段 BF 有公共点 , 则原点到直线 BF 的距离小于或等于 a, 又直线 BF 的方程为 即 bx+cy-bc=0, 所以 整理得 a 4 -3a 2 c 2 +c 4 ≤0, 即 e 4 -3e 2 +1≤0, 解得 又 e>1, 所以 1b>0) 的一个 焦点为 F, 该椭圆上有一点 A, 满足△ OAF 是等边三角 形 (O 为坐标原点 ), 则椭圆的离心率是　 ( 　　 ) A. -1 B.2- C. -1 D.2- 【 解析 】 选 A. 根据题意 , 如图 , 设 F(0,c), 又由△ OAF 是等边三角形 , 则 A ,A 在椭圆上 , 则有 =1,①;a 2 =b 2 +c 2 ,②; 联立①② , 可解得 c=( -1)a, 则其离心率 e= = -1. 2.( 新题预测 ) 已知双曲线过点 (4, ) 且渐近线方程 为 y=± x, 则该双曲线的标准方程是 ________. 【 解析 】 设双曲线方程为 y 2 - x 2 =λ, 代入点 (4, ), 可得 3- ×16=λ, 所以 λ=-1, 所以双曲线的标准方程是 x 2 -y 2 =1. 答案 : x 2 -y 2 =1 【 加练备选 】 1.(2017 · 太原二模 ) 过双曲线 x 2 - =1(b>0) 的右焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线 , 垂足为 E,O 为坐标原点 , 若∠ OFE=2∠EOF, 则 b= 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 由题意 ,∠OFE=2∠EOF=60°, 所以双曲线的一条渐近线的斜率为 , 所以 b= . 2. 已知抛物线 y 2 =2px(p>0) 上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p, 则直线 MF 的斜率为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 设 M(x 0 ,y 0 ), 由题意 x 0 + =2p, 则 x 0 = , 从而 y 0 2 =3p 2 , 热点考向二　直线、圆、圆锥曲线的简单综合 命题解读 : 主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线相结合时问题的处理能力 , 以选择题、填空题为主 , 有时也会在解答题中出现 , 但以椭圆为主 , 其他曲线为辅 . 【 典例 2】 (1)(2017 · 重庆一模 ) 已知圆 (x-1) 2 +y 2 = 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: (a>0,b>0) 有两 个交点 , 则双曲线 C 的离心率的取值范围是　 ( 　　 ) A.(1, ) B.(1,2) C.( ,+∞) D.(2,+∞) (2) 已知抛物线 y 2 =8x 的焦点恰好是椭圆 +y 2 =1(a>0) 的右焦点 , 则椭圆方程为 ________. 【 解题导引 】 (1) 先求出切线的斜率 , 再利用圆 (x-1) 2 +y 2 = 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: (a>0,b>0) 有两个交点 , 可得 , 即可求出双曲 线 C 的离心率的取值范围 . (2) 求得抛物线的焦点坐标 , 则 c=2,a 2 =b 2 +c 2 =5, 即可求得椭圆方程 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 由题意 , 圆心到直线的距离 d= 所以 k=± , 因为圆 (x-1) 2 +y 2 = 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: (a>0,b>0) 有两个交点 , 所以 , 所以 1+ >4, 所以 e>2. (2) 抛物线 y 2 =8x 焦点在 x 轴上 , 焦点 F(2,0), 由 F(2,0) 为椭圆 +y 2 =1(a>0) 的右焦点 , 即 c=2, 则 a 2 =b 2 +c 2 =5, 所以椭圆的标准方程为 +y 2 =1. 答案 : +y 2 =1 【 规律方法 】 处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 (1) 注意圆心、半径和平面几何知识的应用 , 如直径所对的圆周角为直角 , 构成了垂直关系 ; 弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等 . (2) 注意圆与特殊线的位置关系 , 如圆的直径与椭圆长轴 ( 短轴 ), 与双曲线的实轴 ( 虚轴 ) 的关系 ; 圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等 . 【 变式 1+1】 1.(2017 · 抚州一模 ) 已知焦点在 x 轴上 , 渐近线方程为 y=± x 的双曲线的离心率和曲线 (b>0) 的离心率之积为 1, 则 b 的值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为双曲线的焦点在 x 轴上 , 渐近线方程 为 y=± x, 所以双曲线的离心率 e= , 所以椭圆 的离心率为 , 当椭圆的焦点在 x 轴上时 , 当焦点在 y 轴上时 , 2.( 新题预测 ) 双曲线 (a>0,b>0) 的左、右 顶点分别为 A,B, 渐近线分别为 l 1 , l 2 , 点 P 在第一象限 内且在 l 1 上 , 若 PA⊥ l 2 ,PB∥ l 2 , 则该双曲线的离心率 为　 ( 　　 ) 世纪金榜导学号 92494102 【 解题导引 】 求出双曲线的顶点和渐近线方程 , 设 P(m, m), 再由两直线垂直和平行的条件 , 得到 m, a,b 的关系式 , 消去 m, 可得 a,b 的关系 , 再由离心率公 式计算即可得到 . 【 解析 】 选 B. 双曲线 (a>0,b>0) 的左、 右顶点分别为 A(-a,0),B(a,0), 渐近线分别为 l 1 :y= x, l 2 :y=- x. 设 P (m, m) , 若 PA⊥ l 2 ,PB∥ l 2 , 由 ②可得 m= , 代入①可得 b 2 =3a 2 , 即有 c 2 -a 2 =3a 2 , 即 c=2a, 则有 e= =2. 【 加练备选 】 已知直线 x+ky-3=0 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点 , 且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 已知圆 O:x 2 +y 2 =1, 直线 l :mx+ny=1, 试证 : 当点 P(m,n) 在椭圆 C 上运动时 , 直线 l 与圆 O 恒相交 , 并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 l 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 设椭圆 C 的方程为 (a>b>0), 直线 x+ky-3=0 所经过的定点是 (3,0), 即点 F(3,0). 因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8, 所以 a+3=8, a=5, 所以 b 2 =5 2 -3 2 =16, 所以椭圆 C 的方程为 (2) 因为点 P(m,n) 在椭圆 C 上 , 所以 即 n 2 =16- 又原点到直线 l :mx+ny=1 的距离 d= 所以直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x 2 +y 2 =1 恒相交 , 则 l 2 =4(1 2 -d 2 )= 因为 -5≤m≤5, 所以 热点考向三　圆锥曲线中的最值 ( 范围 ) 及与弦有关的问题 类型一 圆锥曲线中的最值 ( 范围 ) 问题 【 典例 3】 (2017 · 衡水一模 ) 已知椭圆 C 1 : (a>b>0) 的离心率为 e= 且与双曲线 C 2 : 有共同焦点 . 世纪金榜导学号 92494103 (1) 求椭圆 C 1 的方程 . (2) 在椭圆 C 1 落在第一象限的图象上任取一点作 C 1 的切线 l , 求 l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值 . (3) 设椭圆 C 1 的左、右顶点分别为 A,B, 过椭圆 C 1 上的 一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E, 若 C 点满足 连接 AC 交 DE 于点 P, 求证 :PD=PE. 【 解题导引 】 (1) 由 e= , 得到 a 2 =4b 2 , 再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得 a 2 ,b 2 . (2) 设出切线方程 y=kx+m(k<0), 和椭圆方程联立后得到方程的判别式等于 0, 再求出直线在 x 轴和 y 轴上的截距 , 代入三角形的面积公式后化为含有 k 的代数式 , 然后利用基本不等式求最值 . (3) 可证点 P 为线段 DE 的中点 . 【 规范解答 】 (1) 由 e= , 可得 : 即 , 所以 ,a 2 =4b 2 , 　① 又因为 c 2 =2b 2 +1, 即 a 2 -b 2 =2b 2 +1, 　② 联立①②解得 :a 2 =4,b 2 =1, 所以椭圆 C 1 的方程为 +y 2 =1. (2) 因为 l 与椭圆 C 1 相切于第一象限内的一点 , 所以直线 l 的斜率必存在且为负 , 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0), 联立 消去 y 整理可得 : x 2 +2kmx+m 2 -1=0, 　③ 根据题意可得方程③只有一实根 , 所以 Δ=(2km) 2 -4 (m 2 -1)=0, 整理可得 :m 2 =4k 2 +1, 　④ 因为直线 l 与两坐标轴的交点分别为 ,(0,m) 且 k<0, 所以 l 与坐标轴围成的三角形的面积 S= 　⑤ 把④代入⑤可得 :S=(-2k)+ ≥2( 当且仅当 k=- 时取等号 ). (3) 由 (1) 得 A(-2,0),B(2,0), 设 D(x 0 ,y 0 ), 所以 E(x 0 ,0), 因为 , 所以可设 C(2,y 1 ), 所以 =(x 0 +2,y 0 ), =(2,y 1 ), 由 可得 :(x 0 +2)y 1 =2y 0 , 即 y 1 = 所以直线 AC 的方程为 整理得 :y= (x+2), 点 P 在 DE 上 , 令 x=x 0 代入直线 AC 的方程可得 :y= , 即点 P 的坐标为 所以 P 为 DE 的中点 , 所以 PD=PE. 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : 一是忽略切点在第一象限 , 造成思路受阻或解题过程烦琐 ; 二是第三问的思路不清晰或直接证明相等 , 运算量大 , 造成不能得出结论 . 【 规律方法 】 1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 (1) 数形结合法 : 利用待求量的几何意义 , 确定出临界位置后数形结合求解 . (2) 构建不等式法 : 利用已知或隐含的不等关系 , 构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法 : 先引入变量构建以待求量为因变量的函数 , 再求其值域 . 2. 求曲线轨迹方程的方法 (1) 直接法 .(2) 定义法 .(3) 交轨法 .(4) 参数法 . 类型二 圆锥曲线中的求值、证明问题 【 典例 4】 (2016 · 全国卷 Ⅲ) 已知抛物线 C:y 2 =2x 的焦点为 F, 平行于 x 轴的两条直线 l 1 , l 2 分别交 C 于 A,B 两点 , 交 C 的准线于 P,Q 两点 . 　世纪金榜导学号 92494104 (1) 若 F 在线段 AB 上 ,R 是 PQ 的中点 , 证明 :AR∥FQ. (2) 若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍 , 求 AB 中点的轨迹方程 . 【 题目拆解 】 高考大题综合性较强 , 求解时 , 把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决 , 可化难为易 , 得步骤分 . 学会了快速拆解题目 , 就能在解大题时得高分、得满分 . 解答本题第 (1) 问 , 可拆成四个小题 : ① 设 l 1 的方程为 y=a, l 2 的方程为 y=b, 求 AB 的方程 ; ② 在上述探究下求 P,Q,R 三点的坐标 ; ③ 已知 F 在 AB 上 , 求 a,b 满足的关系式 ; ④ 求直线 AR 与直线 FQ 的斜率 . 【 规范解答 】 (1) 由题意可知 设 l 1 :y=a, l 2 :y=b 且 ab≠0, 记过 A,B 两点的直线方程为 l , 由点 A,B 可得直线方程为 2x-(a+b)y+ab=0, 因为点 F 在线段 AB 上 , 所以 ab+1=0, 记直线 AR 的斜率为 k 1 , 直线 FQ 的斜率为 k 2 , 所以 又因为 ab+1=0, 所以 所以 k 1 =k 2 , 即 AR∥FQ. (2) 设直线 AB 与 x 轴的交点为 D 所以 S △ABF = 又 S △PQF = 所以由题意可得 S △PQF =2S △ABF 即 : 解得 x 1 =0( 舍 ) 或 x 1 =1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y). 当 AB 与 x 轴不垂直时 , 由 k AB =k DE 可得 (x≠1). 而 所以 y 2 =x-1(x≠1). 当 AB 与 x 轴垂直时 ,E 与 D 重合 , 所以 , 所求轨迹方程为 y 2 =x-1. 【 变式训练 】 (2016 · 天津高考 ) 设椭圆 的右焦点 为 F, 右顶点为 A. 已知 其中 O 为原点 ,e 为椭圆的离心率 . 　世纪金榜导学号 92494105 (1) 求椭圆的方程 . (2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( 点 B 不在 x 轴上 ), 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M, 与 y 轴交于点 H. 若 BF⊥HF, 且∠ MOA≤∠MAO, 求直线 l 的斜率的取值范围 . 【 解析 】 (1) 由题意 , 如图所示 : 已知 所以 解得 a=2, 所以椭圆方程为 (2) 由已知 , 设 l 斜率为 k(k≠0), 方程为 y=k(x-2). 设 B(x B ,y B ),M(x 0 ,k(x 0 -2)),x 0 ≥1(∠MOA≤∠MAO), H(0,y H ), 与椭圆的方程联立可得 整理得 (3+4k 2 )x 2 -16k 2 x+16k 2 -12=0,Δ>0 成立 . 由根与系数的关系得 2 · x B = 所以 l HM :y-k(x 0 -2)=- (x-x 0 ), 令 x=0, 得 y H = x 0 -2k, 因为 HF⊥FB, 所以 =(-1,y H ) · (x B -1,y B )=0, 即 1-x B +y H y B 所以 x 0 = ≥1, 所以 8k 2 ≥3, 所以 k≥ 或 k≤- . 所以直线 l 的斜率的取值范围为