河南省郑州市名校2021届新高三第一次调研考试联考数学（理）试题

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数学（理科）试题第 1 页（共 6 页） 名校联考 2021 届新高三第一次调研考试 数学（理科） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在 答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答 非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合  0342  xxxA ， {2 3 4}B  ，， ，则 A B  A．{1} B．{2} C．{3} D．{12 3 4}，，， 2． 已知1 i 是关于 x的方程 2 2 0ax bx   （ a ，b R ）的一个根，则 a b  A． 1 B．1 C． 3 D．3 3．等比数列{an}中， 2,4 1 2  qa ，则 4a 与 8a 的等比中项是 A．±4 B．4 C． 1 4 D． 1 4 4. 罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之 一。它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像， 高约 33 米。如图所示，太阳神赫利俄斯手 中所持的几何体（含火焰）近似是一个底面 相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去， 其平面几何图形形状为一个角为 60°，边长 为 2 的菱形。现在其中一个圆锥中放置一个 球体，使得球与母线、底面相切，则该球球 的表面积为 A. 9 4 B. 3 4 C. 3 8 D. 3 16 数学（理科）试题第 2 页（共 6 页） 开始 输出A 结束 是 否 1A 1S 5?S≤ 2A A 1S S  60 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 92 66 22 15 86 76 63 75 41 99 58 42 36 72 24 5．要得到函数 siny x 的图象，只需将函数 cosy x      的图象 A．向右平移   个单位 B．向右平移   个单位 C．向左平移   个单位 D．向左平移   个单位 6．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是 A．6 B．5 C． 4 D．3 7．总体由编号为 01,02，...，39，40 的 40 个个体组成，利 用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表 （如右表）第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右 依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 A．23 B．21 C．35 D．32 8．在空间中，a、b、c 是三条不同的直线，  、 是两个 不同的平面，则下列命题中的真命题是 A．若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b B．若 a   ，b   ，  ⊥ ，则 a⊥b C．若 a∥  ，b∥ ，  ∥ ，则 a∥b D．若  ∥ ，a   ，则 a∥ 9．抛物线 y＝－4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 A．－ 17 16 B．－ 15 16 C． 7 16 D． 15 16 10．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人 数学（理科）试题第 3 页（共 6 页） 站在两端的概率为 A． 5 6 B． 1 2 C． 1 3 D． 2 3 11．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的渐近线与圆 2 2 2( 1) sin 130x y    相 切，则该双曲线的离心率等于 A． 1 sin 50 B． 1 cos50 C．2sin 50 D．2cos50 12．若函数 ( ) ( )1 ,f x a nx a R  与函数 ( )g x x ，在公共点处有共同的切 线，则实数 a 的值为 A．4 B． 2 1 C． 2 e D．e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知函数 ( )y f x 为奇函数，若 (3) (2) 1f f  ，则 ( 2) ( 3)f f    ． 14．已知 x，y 满足线性约束条件       0 1 0 x yx yx ，则 2z x y  的最大值______． 15. 在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是棱 B1C1， C1D1 的中点，过 A，M，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平 面 ADD1A1 作投影，则投影图形的面积为________. 16. 设数列 }{ na 满足 a1=2,a2=6，，且 an+2—2an+1+an=2，若[x]表示不超过 x 的最大整数，则 4a _______；则      202021 202020202020 aaa  ________. （本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 数学（理科）试题第 4 页（共 6 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．第 17～21 题为必考题。每道试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（12 分） 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，BD＝8，对角线 AC 与 BD 交于点 O， 点 E，F 分别在 AD，CD 上，满足 AE ED ＝ CE FD ＝ 1 2 ，EF 交 BD 于点 H．将 △DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置， BD＝ 8 5 3 ． （Ⅰ）证明： D F ⊥BH； （Ⅱ）求 BD与平面 ACD 所成的角的正弦值． 18.（12 分） 如图，考虑点 A（1，0），    ,sin,cos,sin,cos 21  PP  )sin(),cos( P ，从这个图出发，解决下列问题： （1）推导公式：  sinsincoscos)cos( （2）利用（1）的结果证明：  )cos()cos(2 1coscos  并计算  5.37cos5.37sin 的值. β α β P1 P2 O P A(1,0) x y 数学（理科）试题第 5 页（共 6 页） 19.（12 分） 习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫” 概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为实现有效利用扶贫资金， 增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利 用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验 后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0. 8.鱼苗乙、 丙的自然成活率均为 0. 9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立. （1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 X ， 求 X 的分布列和数学期望； （2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行 大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对 能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了 50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元，不成活则亏损 2 元，且乙种 鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立，扶贫工作组的扶贫目标是获利不低 于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？ 20.（12 分） 已知函数 f（x）＝x＋alnx 在 x＝1 处的切线 l 与直线 x＋2y＝0 垂直， 函数 g（x）＝f（x）＋ 21 2 x －bx． （1）求实数 a 的值； （2）设 x1，x2（x1＜x2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b≥ 7 2 ，求 g（x1）－g（x2）的最小值． 数学（理科）试题第 6 页（共 6 页） 21.（12 分） 已知椭圆方程为 2 2 16 3 x y  ． （1）设椭圆的左右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上运动，求 11 2 2PF PF PF PF    的值； （2）设直线l 和圆 2 2 2x y  相切，和椭圆交于 A、B 两点，O为原点， 线段OA、OB 分别和圆 2 2 2x y  交于C、 D 两点，设 AOB 、 COD 的面 积分别为 1S 、 2S ，求 1 2 S S 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果 多做．则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为 1 2 3 12 x t y t      （t 为 参数）.在以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长 度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是 2 2sin 4       . （1）求直线l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点  0, 1P  ，若直l 与曲线C相交于两点 ,A B ，求 PA PB 的值. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知   1 2f x x x    . （1）求使得   2f x  的 x 的取值集合 M ； （2）求证：对任意实数 a ，  0b a  ，则： 当 Rx C M 时，  a b a b a f x    恒成立.