中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一次方程组及其应用

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中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一次方程组及其应用

河北 6 年中考真题 河北中考考点梳理 河北中考题型突破 第二单元 方程(组)与 不等式(组) 第 6 课时 一次方程(组)及其应用 河北中考考点梳理 温馨提示:点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 考点 2 考点 3 二元一次方程(组)及其解法 一次方程(组)的应用 考点 1 一元一次方程及其解法 河北中考题型突破 温馨提示:点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 题组二 题组三 二元一次方程组的解法 一次方程(组)的应用 题组一 一元一次方程的解法 1. 【导学号: 79700038 】 (2015 , T 11 , 2 分 ) 利用加减 消元法解方程组 下列做法正 确的是 ( ) A .要消去 y ,可以将 ① ×5 + ② ×2 B .要消去 x ,可以将 ① ×3 + ② ×( - 5) C .要消去 y ,可以将 ① ×5 + ② ×3 D .要消去 x ,可以将 ① ×( - 5) + ② ×2 河北 6 年中考真题 D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 2. 【导学号: 79700039 】 (2012 , T 20 , 8 分 ) 如图,某 市 A , B 两地之间有两条公路,一条是市区公路 AB , 另一条是外环公路 AD - DC - CB . 这两条公路组成等腰 梯形 ABCD ,其中 DC ∥ AB , AB ∶ AD ∶ DC = 10∶5∶2 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 (1) 求外环公路总长和市区公路长的比; (2) 某人驾车从 A 地出发,沿市区公路去 B 地,平均速 度是 40 km / h ,返回时沿外环公路行驶,平均速度 是 80 km / h ,结果比去时少用了 h ,求市区公路 的长. 解: (1) 设 AB = 10 x km ( x > 0) ,则 AD = 5 x km , DC = 2 x km . ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, DC ∥ AB , ∴ CB = AD = 5 x km .∴ AD + DC + CB = 12 x km . ∴ 外环公路总长和市区公路长的比为 12 x :10 x = 6:5. (2) 由 (1) 可知,市区公路长为 10 x km ,外环公路的总 长为 12 x km . 由题意,得 解这个方程,得 x = 1. ∴10 x = 10. 答: 市区公路的长为 10 km . 返回 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 1 .一元一次方程 考点 1 一元一次方程及其解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 一元一次方程 定义   只含有 ______ 未知数 ( 元 ) ,未知数的次 数是 _____ ,且等号两边都是整式的方程   形式 一般形式 ax + b = 0( a ≠0) 最简形式 ax =- b ( a ≠0) 解 x =- ( a ≠0) 一个 1 2. 方程变形的依据 ( 等式的性质 ) (1) 若 a = b ,则 a ± c = ________ . (2) 若 a = b ,则 ac = ________ . (3) 若 a = b , c ≠0 ,则 = ________ . ( 二 ) 河北中考考点梳理 b ± c bc 3. 解一元一次方程的一般步骤 ( 二 ) 河北中考考点梳理 步骤 具体做法 注意事项 去分母 若方程中未知数的系数为分数,则方程两边同乘分母 的 ____ ________ 不要漏乘不含分母的项 去括号 若方程中有括号,应先去括号 括号前是负号时,去括号后括号内各项均要变号 最小公倍数 续表 ( 二 ) 河北中考考点梳理 步骤 具体做法 注意事项 移项 把方程中含未知数的项移到等号的一边,把不含未知数的项移到等号的另一边 移项要变号 合并同 类项 把方程化成 ax =- b ( a ≠0) 的形式 系数相加,字母及其指数均不变 系数 化为 1 方程两边同除以未知数的 ______ ,得到方程的解 x = ( 化为 x = c 的形式 ) 分子、分母不要颠倒 系数 a 返回 1. 定义:含有两个未知数的一次方程,称为二元一 次方程.由两个一次方程组成的含两个未知数的 方程组就叫做二元一次方程组. 2. 解二元一次方程组的基本思想: ______ ,即将二 元一次方程组转化为一元一次方程. 考点 2 二元一次方程(组)及其解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 消元 3 .二元一次方程组的解法 (1)______ 消元法:把一个方程的一个未知数用含 另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个 方程,进行求解. (2)______ 消元法:把两个方程的两边分别相加或 相减消去一个未知数的方法. 返回 ( 二 ) 河北中考考点梳理 代入 加减 1. 列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤 (1) 审:审清题意,分清题中的已知量、未知量; (2) 设:设关键的未知数; (3) 列:找出等量关系,列方程 ( 组 ) ; (4) 解:解方程 ( 组 ) ; (5) 验:检验答案是否正确、是否符合题意; (6) 答:规范作答,注意单位名称. 考点 3 一次方程 ( 组 ) 的应用 ( 二 ) 河北中考考点梳理 2. 常见题型及关系式 利润问题:售价=标价 × 折扣; 销售额=售价 × 销量;利润=售价-进价; 利润率= ×100%. 利息问题:利息=本金 × 利率 × 期数; 本息和=本金+利息. 工程问题:工作量=工作效率 × 工作时间. ( 二 ) 河北中考考点梳理 行程问题:路程=速度 × 时间, (1) 相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程; (2) 追及问题: a . 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程; b . 同时不同地出发:前者走的路程+两地间的距离 =追者走的路程. 返回 ( 二 ) 河北中考考点梳理 题组一 一元一次方程的解法 1. ( 2015 咸宁 ) 方程 2 x - 1 = 3 的解是 ( ) A . x =- 1         B . x =- 2 C . x = 1 D . x = 2 ( 三 ) 河北中考题型突破 D 2. ( 2016 秦皇岛二模 ) 关于 x 的方程 mx - 1 = 2 x 的解为正 实数,则 m 的取值范围是 ( ) A . m ≥2 B . m ≤2 C . m > 2 D . m < 2 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 解方程 mx - 1 = 2 x ,得 x = . 由题意得 为正实数,所以 > 0 ,所以 m > 2. 3. ( 2015 常州 ) 已知 x = 2 是关于 x 的方程 a ( x + 1) = a + x 的解,则 a 的值是 ____ . 4. ( 2016 保定模拟 ) 解方程: 解: 去分母,得 12 - 2(2 x + 1) = 3(1 + x ) , 去括号,得 12 - 4 x - 2 = 3 + 3 x , 移项、合并同类项,得- 7 x =- 7 , 方程两边同除以- 7 ,得 x = 1. ( 三 ) 河北中考题型突破 在解方程时容易出现的三种错误: (1) 移项时忘记改变符号; (2) 利用等式的性质 2 对方程进行变形时出现漏乘现 象; (3) 去分母时忽略分数线的括号作用. 返回 方法点拨 ( 三 ) 河北中考题型突破 1. ( 2016 邯郸二模 ) 已知 是二元一次方程组 的解,则 2 m - n 的算术平方根 为 ( ) A . ±2         B. C . ± D . 2 题组二 二元一次方程组的解法 ( 三 ) 河北中考题型突破 D ( 三 ) 河北中考题型突破 将 代入方程组,得 解得 所以 2 m - n = 2×3 - 2 = 4.4 的算术平方根 为 2. 2. ( 2015 聊城 ) 解方程组: 解法一: 代入消元法: 由 ① 得 y = x - 5③ , 将 ③ 代入 ② ,得 2 x + x - 5 = 4 ,解得 x = 3 , 将 x = 3 代入 ③ ,得 y =- 2 , 所以原方程组的解为 ( 三 ) 河北中考题型突破 解法二: 加减消元法: ① + ② 得 3 x = 9 ,解得 x = 3 , 将 x = 3 代入 ① ,得 y =- 2 , 所以原方程组的解为 ( 三 ) 河北中考题型突破 3. ( 2016 石家庄模拟 ) 解方程组: 解: 方程组可化为 由 ② 得 x = 5 y - 3③ , 将 ③ 代入 ① ,得 5(5 y - 3) - 11 y =- 1 , 解得 y = 1. 把 y = 1 代入 ③ ,得 x = 2 , 所以原方程组的解是 ( 三 ) 河北中考题型突破 方法点拨 解二元一次方程组的基本思路是消元,将二元 一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方 法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结 合方程组的特点,灵活选用消元方法.如果出现未 知数的系数为 1 或- 1 ,宜用代入消元法;如果出现 同一个未知数的系数相等、互为相反数、成倍数关 系或系数较为复杂,宜用加减消元法. ( 三 ) 河北中考题型突破 返回 1. ( 2015 南充 ) 学校机房今年和去年共购置了 100 台计 算机,已知今年购置的计算机数量是去年的 3 倍, 则今年购置计算机的数量是 ( ) A . 25 台        B . 50 台 C . 75 台 D . 100 台 题组三 一次方程(组)的应用 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 设去年购置计算机 x 台,则今年购置计算机 3 x 台,根据题意得 3 x + x = 100 ,解得 x = 25 ,则 3 x = 3×25 = 75 ,所以今年购置计算机 75 台. 2. ( 2016 保定二模 ) 在学校组织的游艺晚会上,掷飞镖的 游戏规则如下,掷到 A 区和 B 区的得分不同, A 区为小 圆内部分, B 区为大圆内小圆外部分 ( 掷中一次记一个 点 ) .现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况,如图 所示,按此方法计算小芳的得分为 ( ) A . 76 分 B . 74 分 C . 72 分 D . 70 分 ( 三 ) 河北中考题型突破 B ( 三 ) 河北中考题型突破 设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x 分, y 分, 依题意得: 解得 可知: 2 x + 6 y = 74 ,所以按此方法计算小芳的得分为 74 分. 3.( 2016 福州 ) 列方程 ( 组 ) 解应用题:某班去看演出,甲 种票每张 24 元,乙种票每张 18 元.如果 35 名学生购 票恰好用去 750 元,甲乙两种票各买了多少张? 解法一: 设甲种票买了 x 张,则乙种票买了 (35 - x ) 张. 由题意,得 24 x + 18(35 - x ) = 750. 解得 x = 20. ∴35 - x = 15. 答: 甲种票买了 20 张,乙种票买了 15 张 . ( 三 ) 河北中考题型突破 解法 二 : 设甲种票买了 x 张,则乙种票买了 y 张. 根据 题意 可 得 : 解 方程组 得 : ∴ 35 - x = 15. 答: 甲种票买了 20 张,乙种票买了 15 张 . ( 三 ) 河北中考题型突破 4. ( 2016 秦皇岛模拟 ) 小林在某商店购买商品 A , B 共三 次,只有一次购买时,商品 A , B 同时打折,其余两 次均按标价购买.三次购买商品 A , B 的数量和费用 如下表: ( 三 ) 河北中考题型突破   购买商品 A 的数量 / 个 购买商品 B 的数量 / 个 购买总费 用 / 元 第一次购物 6 5 1 140 第二次购物 3 7 1 110 第三次购物 9 8 1 062 (1) 小林以折扣价购买商品 A , B 是第 _____ 次购物; (2) 求出商品 A , B 的标价; (3) 若商品 A , B 的折扣相同,问商店是打几折出售 这两种商品的? 解: (2) 设商品 A , B 的标价分别为 x 元, y 元, 则可列方程组为 解得 答: 商品 A , B 的标价分别为 90 元, 120 元. (3)1 062÷(90×9 + 120×8)×100% = 60%. 答: 商店是打六折出售这两种商品的. ( 三 ) 河北中考题型突破 三 方法点拨 当直接设未知数求解比较困难时,可以考虑间 接设未知数来解决问题,但要注意此时求出的方程 ( 组 ) 的解并不是问题的解,应利用方程 ( 组 ) 的解进一 步完成整个题目. ( 三 ) 河北中考题型突破
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