2021年中考数学压轴题专项训练 三角形 (含解析）

2021年中考数学压轴题专项训练 三角形 (含解析）

2021 年中考数学压轴题专项训练《三角形》 1．已知，△ABC 是等边三角形，过点 C 作 CD∥AB，且 CD＝AB，连接 BD 交 AC 于点 O． （1）如图 1，求证：AC 垂直平分 BD； （2）如图 2，点 M 在 BC 的延长线上，点 N 在线段 CO 上，且 ND＝NM，连接 BN．求证：NB ＝NM． （1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°， ∵CD∥AB，且 CD＝AB， ∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴BO＝DO，CO⊥BD， ∴AC 垂直平分 BD； （2）由（1）知 AC 垂直平分 BD， ∴NB＝ND， ∵ND＝NM， ∴NB＝NM． 2．等腰 Rt△ABC，点 D 为斜边 AB 上的中点，点 E 在线段 BD 上，连结 CD，CE，作 AH⊥CE， 垂足为 H，交 CD 于点 G，AH 的延长线交 BC 于点 F． （1）求证：△ADG≌△CDE． （2）若点 H 恰好为 CE 的中点，求证： ∠CGF＝∠CFG． 证明：（1）在等腰 Rt△ABC 中， ∵点 D 为斜边 AB 上的中点， ∴CD＝ AB，CD⊥AB， ∵AD＝ AB， ∴AD＝CD， ∵CD⊥AB， ∴∠ADG＝∠CDE＝90°， ∵AH⊥CE， ∴∠CGH+∠GCH＝90°， ∵∠AGD+∠GAD＝90°， 又∵∠AGD＝∠CGH， ∴∠GAD＝∠GCH， 在△△ADG 和△CDE 中 ∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH ∴△ADG≌△CDE（ASA）， （2）∵AH⊥CE，点 H 为 CE 的中点， ∴AC＝AE， ∴∠CAH＝∠EAH， ∵∠CAH+∠AFC＝90°， ∠EAH+∠AGD＝90°， ∴∠AFC＝∠AGD， ∵∠AGD＝∠CGH， ∴∠AFC＝∠CGH， 即∠CGF＝∠CFG． 3．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 且 BD＝DE，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E． （1）若∠BAE＝32°，求∠C 的度数； （2）若 AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC 的周长． 解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF 垂直平分 AC ∴AB＝AE＝EC ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝32° ∴∠AED＝ （180°﹣32°）＝74°； ∴∠C＝ ∠AED＝37°； （2）由（1）知：AE＝EC＝AB， ∵BD＝DE， ∴AB+BD＝EC+DE＝DC， ∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC， ＝AB+BD+DC+AC， ＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F， 交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D． （1）求证：∠AOB＝90°+ ∠C； （2）求证：AE+BF＝EF； （3）若 OD＝a，CE+CF＝2b，请用含 a，b 的代数式表示△CEF 的面积，S△CEF＝ ab （直 接写出结果）． 证明：（1）∵OA，OB 平分∠BAC 和∠ABC， ∴ ， ， ∴ ∠ AOB ＝ 180 ° ﹣ ∠ OAB ﹣ ∠ OBA ＝ ＝ ＝ ＝ （2）∵EF∥AB， ∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF 又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF， ∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF， ∴AE＝OE，BF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝AE+BF； （3）∵点 O 在∠ACB 的平分线上， ∴点 O 到 AC 的距离等于 OD， ∴S△CEF＝ （CE+CF）•OD＝ •2b•a＝ab， 故答案为：ab． 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E． （1）求证：BD•AD＝DE•AC． （2）若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长． （3）在（2）的条件下，求 cos∠BDE 的值． 证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． ∴ ， ∴BA•AD＝DE•CA； （2）∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ADB 中，AD＝ ＝ ＝12， ∵ •AD•BD＝ •AB•DE， ∴DE＝ ． （3）∵∠ADB＝∠AED＝90°， ∴∠BDE＝∠BAD， ∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝ ． 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧 DE＝50°，求∠C 的度数． （3）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BC＝8，AF＝3BF，求弧 BD 的长． （1）证明：如图，连接 AD． ∵AB 是圆 O 的直径， ∴AD⊥BD． 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD． （2）解：∵弧 DE＝50°， ∴∠EOD＝50°． ∴∠DAE＝ ∠DOE＝25°． ∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°． ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABD＝65°． （3）∵BC＝8，BD＝CD， ∴BD＝4． 设半径 OD＝x．则 AB＝2x． 由 AF＝3BF 可得 AF＝ AB＝ x，BF＝ AB＝ x， ∵AD⊥BD，DF⊥AB， ∴BD2＝BF•AB，即 42＝ x•2x． 解得 x＝4． ∴OB＝OD＝BD＝4， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠BOD＝60°． ∴弧 BD 的长是： ＝ ． 7．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE＝EF 可以进一步 证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用 AE＝EF 可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据 AAS 可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一 的辅助线的作法是： 延长 AD 至点 G，使 DG＝AD，连接 BG ； ②思路二的辅助线的作法是： 作 BG＝BF 交 AD 的延长线于点 G ． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求： 只写出辅助线的作法，并 画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 解：（1）①延长 AD 至点 G，使 DG＝AD，连接 BG，如图①，理由如下： ∵AD 为△ABC 中线， ∴BD＝CD， 在△ADC 和△GDB 中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长 AD 至点 G，使 DG＝AD，连接 BG； ②作 BG＝BF 交 AD 的延长线于点 G，如图②．理由如下： ∵BG＝BF， ∴∠G＝∠ BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC 和△GDB 中， ， ∴△A DC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作 BG＝BF 交 AD 的延长线于点 G； （2）作 BG∥AC 交 AD 的延长线于 G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD 为△ABC 中线， ∴BD＝CD， 在△ADC 和△GDB 中， ， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 8．如图 1，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，OC 平分∠AOB 交 AB 于点 C，点 D 为 线段 AB 上一点，过点 D 作 DE∥OC 交 y 轴于点 E，已知 AO＝m，BO＝n，且 m、n 满足 n2 ﹣8n+16+|n﹣2m|＝0． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若点 D 为 AB 中点，求 OE 的长； （3）如图 2，若点 P（x，﹣2x+4）为直线 AB 在 x 轴下方的一点，点 E 是 y 轴的正半轴 上一动点，以 E 为直角顶点作等腰直角△PEF，使点 F 在第一象限，且 F 点的横、纵坐标 始终相等，求点 P 的坐标． 解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0， ∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0， ∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0， ∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0， ∴m＝2，n＝4， ∴点 A 为（2，0），点 B 为（0，4）； （2）延长 DE 交 x 轴于点 F，延长 FD 到点 G，使得 DG＝DF，连接 BG， 设 OE＝x， ∵OC 平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOC＝45°， ∵DE∥OC， ∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°， ∴OE＝OF＝x， 在△ADF 和△BDG 中， ， ∴△ADF≌△BDG（SAS）， ∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°， ∴∠G＝∠BEG＝45°， ∴BG＝BE＝4﹣x， ∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1， ∴OE＝1； （3）如图 2，分别过点 F、P 作 FM⊥y 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，设点 E 为（0，m）， ∵点 P 的坐标为（x，﹣2x+4）， ∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4， ∵∠PEF＝90°， ∴∠PEN+∠FEM＝90°， ∵FM⊥y 轴， ∴∠MFE+∠FEM＝90°， ∴∠PEN＝∠MFE， 在△EFM 和△PEN 中， ， ∴△EFM≌△PEN（AAS）， ∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4， ∴点 F 为（m+2x﹣4，m+x）， ∵F 点的横坐标与纵坐标相等， ∴m+2x﹣4＝m+x， 解得：x＝4， ∴点 P 为（4，﹣4）． 9．在等边△ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线．动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边△CDE，连结 BE． （1）若点 D 在线段 AM 上时（如图 1），则 AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝ 30 度； （2）设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O． ①当动点 D 在线段 AM 的延长线上时（如图 2），试判断 AD 与 BE 的数量关系，并说明理由； ②当动点 D 在直线 AM 上时，试判断∠AOB 是否为定值？若是，请直接写出∠AOB 的度数； 若不是，请说明理由． 解：（1））∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60° ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ADC 和△BEC 中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝60°． ∵线段 AM 为 BC 边上的中线 ∴∠CAM＝ ∠BAC， ∴∠CAM＝30°． 故答案为：＝，30； （2）①AD＝BE， 理由如下：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE． ②∠AOB 是定值，∠AOB＝60°， 理由如下： 当点 D 在线段 AM 上时，如图 1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°， 又∠ABC＝60°， ∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°， ∵△ABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线 ∴AM 平分∠BAC，即 ， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°． 当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图 2， ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACB+∠ DCB＝∠DCB+∠DCE ∴∠ACD＝∠BCE 在△ACD 和△BCE 中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， 同理可得：∠BAM＝30°， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°． 10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论：在等边三角形 ABC 中，当点 E 为 AB 的中点时，点 D 在 CB 点 延长线上，且 ED＝EC；如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系．请你直接写出结论 AE ＝DB ； （2）特例启发，解答题目 王老师给出的题目中，AE 与 DB 的大小关系是： AE＝DB ．理由如下： 如图 2，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F，（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在△ABC 中，AB＝BC＝AC＝1；点 E 在 AB 的延长线上，AE＝2；点 D 在 CB 的延长线上，ED ＝EC，如图 3，请直接写 CD 的长 1 或 3 ． 解：（1）如图 1，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF 为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE 和△FEC 中， ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， 故答案为：＝； （2 ）解答过程如下：如图 2，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF 为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE 和△FEC 中 ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD． 故答案为：AE＝DB． （3）解：分为四种情况： 如图 3， ∵AB＝AC＝1，AE＝2， ∴B 是 AE 的中点， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE 是直角 三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°， ∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°， ∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即△DEB 是直角三角形． ∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半）， 即 CD＝1+2＝3． 如图 4， 过 A 作 AN⊥BC 于 N，过 E 作 EM⊥CD 于 M， ∵等边三角形 ABC，EC＝ED， ∴BN＝CN＝ BC＝ ，CM＝MD＝ CD，AN∥EM， ∴△BAN∽△BEM， ∴ ， ∵△ABC 边长是 1，AE＝2， ∴ ， ∴MN＝1， ∴CM＝MN﹣CN＝1﹣ ＝ ， ∴CD＝2CM＝1； 如图 5， ∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD 不能大于 120°，否则△EDC 不符合三角形内 角和定理， ∴此时不存在 EC＝ED； 如图 6， ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ECD＞∠EDC， 即此时 ED≠EC， ∴此时情况不存在， 答：CD 的长是 3 或 1． 故答案为：1 或 3． 11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角 三角形”． （1）如图 1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC 是倍角三角形； （2）若△ABC 是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝ ，求△ABC 面积； （3）如图 2，△ABC 的外角平分线 AD 与 CB 的延长线相交于点 D，延长 CA 到点 E，使得 AE＝AB，若 AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°， ∴∠B＝∠C＝72°， ∴∠A＝2∠C， 即△ABC 是倍角三角形， （2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°， ①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°， 过 C 作 CH⊥直线 AB，垂足为 H， 可得∠CAH＝45°， ∴AH＝CH＝ AC＝4． ∴BH＝ ， ∴AB＝BH﹣AH＝ ﹣4， ∴S＝ ． ②当∠A＝2∠B 或∠A＝2∠C 时，与∠A＞∠B＞∠C 矛盾，故不存在． 综上所述，△ABC 面积为 ． （3）∵AD 平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵AB＝AE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE． 又∵AB+AC＝BD， ∴AE+AC＝BD，即 CE＝BD． ∴CE＝DE． ∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC． ∴△ADC 是倍角三角形． 12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点 A（4，0），C（0，7），点 D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点 B 在线段 OC 上，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 M， AC 与 BD 交于点 N． （1）点 B 的坐标为： （0，4） ； （2）求点 D 的坐标； （3）求证：CM＝CN． 解：（1）∵A（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∴B（0，4）， 故答案为：（0，4）． （2）∵C（0，7）， ∴OC＝7， 过点 D 作 DE⊥y 轴，垂足为 E， ∴∠DEC＝∠AOC＝90°， ∵∠DCA＝90°， ∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90° ∴∠BCA＝∠EDC， ∴△DEC≌△COA（AAS）， ∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4， ∴OE＝OC+EC＝11， ∴D（7，11）； （3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE， ∴△DBE 是等腰直角三角形， ∴∠DBE＝45°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝45°， ∴∠DBA＝90°， ∴∠BAN+∠ANB＝90°， ∵∠DCA＝90°， ∴∠CDN+∠DNC＝90°， ∵∠DNC＝∠ANB， ∴∠CDN＝∠BAN， ∵∠DCA＝90°， ∴∠ACM＝∠DCN＝90°， ∴△DCN≌△ACM（ASA）， ∴CM＝CN． 13．如图，在△ABC 中，BD⊥AC，垂足为 C，且∠A＜∠C，点 E 是一动点，其在 BC 上移动， 连接 DE，并过点 E 作 EF⊥DE，点 F 在 AB 的延长线上，连接 DF 交 BC 于点 G． （1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图． （2）当△ABD 与△FDE 全等，且 AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C 的度数． 解：（1）补全示意图如图所示， （2）∵DE⊥EF，BD⊥AC， ∴∠DEF＝∠ADB＝90°． ∵△ABD 与△DEF 全等， ∴AB＝DF， 又∵AD＝FE， ∴∠ABD＝∠FDE， ∴BD＝DE． 在 Rt△ABD 中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°． ∴∠FDE＝60°． ∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD， ∵∠AFD＝40°， ∴∠BDF＝20°． ∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°． ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠BED＝ （180°﹣∠BDE）＝50°． 在 Rt△BDC 中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°． 14．如图．CP 是等边△ABC 的外角∠ACE 的平分线，点 D 在边 BC 上，以 D 为顶点，DA 为一 条边作∠ADF＝60°，另一边交射线 CP 于 F． （1）求证．AD＝FD； （2）若 AB＝2，BD＝x，DF＝y，求 y 关于 x 的函数解析式； （3）联结 AF，当△ADF 的面积为 时，求 BD 的长． 证明：（1）如图 1，连接 AF， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝120°， ∵CP 平分∠ACE， ∴∠ACP＝∠PCE＝60°， ∴∠ADF＝∠ACP＝60°， ∴A、D、C、F 四点共圆， ∴∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠ADF＝∠AFD＝60°， ∴∠DAF＝60°， ∴△ADF 是等边三角形， ∴AD＝FD； （2）如图 2，过点 A 作 AH⊥BC， ∵△ABC 是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝ BH＝ ， ∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1， ∵DF＝ ＝ ， ∴y＝ （3）∵△ADF 是等边三角形，且△ADF 的面积为 ， ∴ DF2＝ ， ∴DF2＝ ＝x2﹣2x+4 ∴x＝ ∴BD＝ 或 15．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边的中点，以 D 为顶点作一个 120°的角，角的两 边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点．以点 D 为中心旋转∠MDN（∠MDN 的度数不变）， 当 DM 与 AB 垂直时（如图①所示），易证 BM+CN＝BD． （1）如图②，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 上时，BM+CN＝BD 是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图③，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 的延长线上时，BM+CN ＝BD 是否仍然成立？若不成立，请写出 BM，CN，BD 之间的数量关系，不用证明． 解：（1）结论 BM+CN＝BD 成立，理由如下： 如图②，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°， ∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D 是 BC 边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN 和△EDM 中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN； （2）上述结论不成立，BM，CN，BD 之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下： 如图③，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠NCD＝120°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°， ∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D 是 BC 边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN 和△EDM 中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN， ∴BM﹣CN＝BD．