【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（Ⅰ）--证明平行与垂直学案

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（Ⅰ）--证明平行与垂直学案

‎1. 【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ 证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎【考点】面面垂直的证明 ‎2. 【2016年高考北京理数】（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，‎ 如图建立空间直角坐标系，由题意得，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.‎ ‎【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等. ‎ ‎3. 【2014年湖北，卷理9】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.‎ ‎ （1）当时，证明：直线平面；‎ ‎ （2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ 由已知得，‎ 所以，，，‎ ‎（1）证明：当时，，因为，‎ 所以，即，‎ 而平面，且平面，‎ 故直线平面.‎ 考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直，二面角.‎ ‎【名师点睛】这是一类探究型习题，重点考查直线与平面平行的判定定理和二面角的求法，其解题思路：第一问通过证明线线平行得出线面平行的结论；第二问正确求解的关键是正确地找出平面与平面所成的二面角的平面角.充分体现了探究型学习在高考中的重要性. ‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 向量方法证明平行与垂直 B 高考会这样考：1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.能用向量方法证明线面的平行或垂直；3.考查用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．‎ 备考建议：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．‎ ‎1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 ‎2．用向量证明空间中的平行关系 ‎(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.‎ ‎(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.‎ ‎(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.‎ ‎3．用向量证明空间中的垂直关系 ‎(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.‎ ‎(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.‎ 题型一　利用空间向量证明平行问题 例1　(2016·重庆模拟)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.‎ ‎【答案】详见解析 设＝s＋t，‎ 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，‎ ‎∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，‎ 又∵与不共线，∴，与共面．‎ ‎∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.‎ 引申探究 本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.‎ ‎【答案】详见解析 解题技巧与方法总结 ‎ (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．‎ ‎(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．‎ ‎【变式训练】(2016·北京海淀区模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】证明　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，则M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，‎ 于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．‎ 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y， )，‎ 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1， ＝－1.‎ 所以n＝(1，－1，－1)．‎ 又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，‎ 所以⊥n.‎ 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. ‎ 题型二　利用空间向量证明垂直问题 命题点1　证线面垂直 例2　如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.‎ ‎【答案】详见解析 方法二　取BC的中点O，连接AO.‎ 因为△ABC为正三角形，‎ 所以AO⊥BC.‎ 因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，‎ 所以AO⊥平面BCC1B1.‎ 取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，‎ 命题点2　证面面垂直 例3　(2017·武汉月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】证明　(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.‎ 因为PA＝PD，所以PO⊥AD.‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.‎ 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.‎ 因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.‎ 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(，0,0)，F(0，，0)，D(－，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(－，a,0)．‎ 因为E为PC的中点，所以E(－，，)．‎ 易知平面PAD的一个法向量为＝(0，，0)，‎ 因为＝(，0，－)，‎ 且·＝(0，，0)·(，0，－)＝0，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 解题技巧与方法总结 证明垂直问题的方法 ‎(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．‎ ‎(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．‎ ‎【变式训练】(2016·青岛模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：‎ ‎(1)A1B1⊥平面AA1C；‎ ‎(2)AB1∥平面A1C1C.‎ ‎【答案】详见解析 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．‎ ＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，‎ 设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y， )，‎ 则即 即取y＝1，则n＝(0,1,0)．‎ ‎∴＝2n，即∥n.‎ ‎∴A1B1⊥平面AA1C.‎ ‎(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，‎ 设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1， 1)，‎ 则即 令x1＝1，则y1＝－1， 1＝1，即m＝(1，－1,1)．‎ ‎∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，‎ ‎∴⊥m.‎ 又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C. ‎ 题型三　利用空间向量解决探索性问题 例4　(2016·北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.‎ ‎(1)求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】详见解析 ‎ (2)解　取AD中点O，连接CO，PO，‎ ‎∵PA＝PD，‎ ‎∴PO⊥AD.‎ 又∵PO⊂平面PAD，‎ 平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ ‎∵CO⊂平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥CO，‎ ‎∵AC＝CD，∴CO⊥AD.‎ 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系．易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0)．‎ 则＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)．‎ ＝(－2，－1,0)．‎ 设n＝(x0，y0,1)为平面PCD的一个法向量．‎ 由得解得 即n＝.‎ 设PB与平面PCD的夹角为θ.‎ 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝ ‎＝.‎ 解题技巧与方法总结 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．‎ ‎【变式训练】(2016·深圳模拟)如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；‎ ‎(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】详见解析 ‎ ‎ ‎(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.‎ 连接AE，如图所示．‎ 因为＝(0,1,1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)，‎ 又＝(，－1,0)，‎ 所以＝＋＝(，λ－1，λ)．‎ 由ES⊥平面AMN，‎ 得即解得λ＝，‎ 此时＝(0，，)，||＝.‎ 经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.‎ 故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.‎ ‎1．（山西省三区八校2017届高三第二次模拟）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．‎ ‎（Ⅰ）求多面体的体积；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.‎ ‎（Ⅲ）取线段的中点，连结，直线即为所求．‎ 如图所示：‎ 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. ‎ ‎2．（天津市河西区2017届高三二模）如图，已知梯形中， ， ， ，四边形为矩形， ，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ 关系求解（3）研究线面角，一般利用空间向量进行列式求解参数，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求解参数.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则， ， ， ，‎ ‎∴， ，‎ 设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅲ）设 ， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平面的法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或．‎ 当时， ，∴；‎ 当时， ，∴．‎ 综上， ．‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. ‎ ‎3．（吉林省吉林大学附属中学2017届高三第六次摸底）在等腰中，，腰长为，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），使得平面，此时二面角的余弦值为．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结、，‎ 因为在等腰中，，，、分别是边、的中点，‎ 所以，‎ 又因为翻折后，所以翻折后，且 为等腰直角三角形，所以，‎ 因为翻折后，，且，平面，因为，‎ 平面，，又，平面，‎ 又，，且，是平行四边形，，‎ 平面； …（3分）‎ 要使平面，则须，‎ 所以，即线段上存在一点，使得平面，‎ ‎…（9分）‎ 设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取，则，，‎ 因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，‎ 即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），‎ 使得平面，此时二面角的余弦值为…（12分）‎ 考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解. ‎ ‎4．（内蒙古包钢第一中学2015届高三适应性）如图，已知长方形中，, 为 的中点。将 沿折起，使得平面平面。‎ ‎（1）求证： ； ‎ ‎（2）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为。‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）为的中点 试题解析：（1）因为平面平面， 是的中点， 取的中点O，连结OD，则平面，取AB的中点N，连结ON，则，以O为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得 ‎，则 所以，故 ‎（Ⅱ）设，因为平面的一个法向量 ‎ ‎， ‎ 设平面的一个法向量为， ‎ 取，得，所以，‎ 因为 求得，所以为的中点。‎ 考点：1．线面垂直的判定；2．二面角的求解 ‎5．（河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：‎ ‎ 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心， ，故.又平面平面 平面.‎ 点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可 ‎ ‎