【数学】2019届一轮复习人教A版概率、分布列学案
教材复习课“概率、分布列”相关基础知识一课过
互斥事件与对立事件
[过双基]
事件
定义
性质
互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B是互斥事件)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意两个互斥)
对立事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件
P()＝1－P(A)
1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
解析：选B 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.
2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5 和3 ，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( )
A．0.92 B．0.95
C．0.97 D．0.08
解析：选A 记事件A：“生产的产品为甲级品”，B：“生产的产品为乙级品”，C：“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92.
[清易错]
易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
古典概型
[过双基]
1．特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式：
P(A)＝.
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.
2．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为＝.
3．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题可得，满足要求的所有基本事件数为6×9＝54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为6×5＝30.所以由古典概型可知，P＝＝.
[清易错]
1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A，则P(A)＝＝，所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P＝1－＝.
2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃 ”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析：∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
答案：
几何概型
[过双基]
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．特点：
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的．
3．公式：
P(A)＝.
1．在区间上随机地取一个数x，则事件“－1≤log(x＋1)≤1”不发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为－1≤log(x＋1)≤1，所以－≤x≤2，所以所求事件的概率为1－＝.
2．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝.
3．(2018·西宁复习检测)已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．
解析：由题意知球的半径为1，其体积为V球＝，正方体的体积为V正方体＝23＝8，
则这一点不在球内的概率P＝1－＝1－.
答案：1－
4．数轴上有四个间隔为1的点依次为A，B，C，D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B，C两点的距离之和小于2的概率为________．
解析：如图，数轴上AD＝3，而到B，C两点的距离之和小于2的点E在线段MN内，且MN＝－＝2，所以E点到B，C两点的距离之和小于2的概率P＝＝.
答案：
一、选择题
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球，都是红球
B．至少有1个白球，至多有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至多有1个白球，都是红球
解析：选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.
2．一批产品次品率为4 ，正品中一等品率为75 .现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )
A．0.75 B．0.71
C．0.72 D．0.3
解析：选C 由题意可知，正品率为96 ，
因为正品中一等品率为75 ，
所以一等品率为96 ×75 ＝72 ，
所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.
3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )
A.m2 B．2 m2
C.m2 D．3 m2
解析：选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到＝，所以该不规则图形的面积大约为＝ (m2)．
4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P＝＝.
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P＝.
6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.8
C．0.6 D．1
解析：
选C 标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P＝＝0.6.
7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P＝.
8．设实数x，y满足x2＋(y－1)2≤1，则x－y＋2≤0的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图，x2＋(y－1)2≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x－y＋2≤0表示圆面内在x－y＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB，则CA⊥CB，阴影部分的面积为－×1×1＝－，由几何概型的概率公式得P＝.
二、填空题
9．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图，可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
答案：
10．在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．
解析：不等式|x|＋|y|≤
2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x|＋|y|≤2的概率为P＝＝.
答案：
11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．
解析：画树状图为：
红红白 红白红 白红红
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为.
答案：
12．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________．
解析：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班的男生人数为33.
答案：33
三、解答题
13．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计相应的概率约为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.
14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个 目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两 考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑” 目的成绩为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中“阅读与表达” 目中成绩为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑” 目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两 成绩均为A.在至少一 成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两 成绩均为A的概率．
解：(1)因为“数学与逻辑” 目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有＝40(人)，
所以该考场考生中“阅读与表达” 目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.
(2)由图知，“数学与逻辑” 目的成绩为D
的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑” 目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.
(3)因为两 考试中，共有6个得分等级为A，又恰有两人的两 成绩等级均为A，所以还有2人只有一个 目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两 成绩都是A的同学，则在至少一 成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两 成绩等级均为A的为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝.高考研究课(一)
古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
古典概型
5年4考
求古典概型的概率
古典概型的简单问题
[典例] (1)有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为.
答案：B
(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
[方法技巧]
计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法．
[即时演练]
1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2只球颜色相同的概率为，所以这2只球颜色不同的概率为1－＝.
答案：
2．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
(2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s，s，试比较s与s的大小(只需直接写出结果)；
(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．
解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为1，2.
则1＝＝73.75，
2＝＝76，
故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.
(2)s
0且≤1，即2b≤a时．
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
若a＝3，则b＝－1,1.
∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
∴所求事件的概率P＝＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，即△OAB部分；构成所求事件的区域为△OAC部分．
由得交点坐标C，
∴由几何概型概率公式得所求事件的概率
P＝＝.
角度四：古典概型与统计相结合
4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：
[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
[方法技巧]
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝.
2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.
4．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.
答案：
5．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
一、选择题
1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.
2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x，y)，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A)＝＝.
3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A，B入住同一标间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 记A，B入住同一标间的概率为P，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有A＝90种不同的方法，A，B入住同一标间有CA＝18种不同的方法，∴P＝＝.
4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P＝1－－＝.
6．a，b，c，d，e是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc＋de为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc＋de为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abc＋de为奇数的概率P＝＝.
7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a，b，则<|b－a2|<6－a成立的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知(a，b)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“<|b－a2|<6－a成立”为事件A，则事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种，故P(A)＝.
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，
要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
二、填空题
9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．
解析：由任何三点不共线，则共有C＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P＝＝.
答案：
10．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a，则使曲线y＝的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解的概率为________．
解析：曲线y＝的图象在第一、三象限，且满足不等式组无解，即7－3a>0且a≤3，所以a<，所以a可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝.
答案：
11．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．
解析：当方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝.
答案：
12．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的值为________．
解析：由题意知，点P的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种．
因此，当Cn的概率最大时，n＝2.
答案：2
三、解答题
13．有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字．已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)．
(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)记“函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”为事件A，
由题意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，
∴所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6个．
当函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点时，方程x2＋bx＋c＝0有实数根，即Δ＝b2－4c≥0，
∴c≤，∴c＝1或2，
即事件A包含2个基本事件，
∴函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点的概率P(A)＝＝.
(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
记“函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件B.
∵y＝f(x)的图象开口向上，
∴要想使函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数，
只需－≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6.
∴事件B包含的基本事件有6个．
∴函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率
P(B)＝＝.
14．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A，B，C三个等级，其统计结果如下表：
语言表达能力
文字组织能力
A
B
C
A
2
2
0
B
1
a
1
C
0
1
b
由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C的学生的概率为.
(1)求a，b的值；
(2)从测试成绩均为A或B的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率．
解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为C的学生共有(b＋2)人，
所以＝，a＋b＝3，
解得b＝1，a＝2.
(2)测试成绩均为A或B的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B的有2人，设为b1，b2，其余5人设为a1，a2，a3，a4，a5.
则基本事件空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}．
所以基本事件空间总数为21.
选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B的有(b1，b2)．
所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A的学生的概率P＝1－＝.
1．若x∈A的同时，还有∈A，则称A是“好搭档集合”，在集合B＝的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得，集合B的非空子集有25－1＝31个，其中是“好搭档集合”的有：{1}，，，，，，，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P＝.
2．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50 时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T188012015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：
累积净化量(克)
(3,5]
(5,8]
(8,12]
12以上
等级
P1
P2
P3
P4
为了了解一批空气净化器(共2 000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．
(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；
(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？
(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．
解：(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，
再由频布直方图得，落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，
∴n＝＝100.
由频率分布直方图的性质得：
(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，
解得x＝0.06.
(2)由频率分布直方图可知，落在(6,8]之间共0.12×2×100＝24台，
又∵在(5,6]之间共4台，
∴落在(5,8]之间共28台，
∴估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有×2 000＝560台．
(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，
依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，
则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝C＝15，事件B包含的基本事件个数m＝C·C＝8，
∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝＝.
高考研究课(二)
几何概型命题3角度——长度(角度)、面积、体积
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
长度型
5年1考
求概率
面积型
5年2考
求概率、随机模拟求近似值
体积型
未考查
与长度(角度)有关的几何概型
[典例] (1)在区间[－1,1]上随机取一个数，则直线y＝ (x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．
(2)如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．
[解析] (1)因为直线y＝ (x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤1，
则－≤ ≤，区间长度为，
所以所求事件的概率P＝＝.
(2)当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°.
当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，
所以AM小于AC的概率
P＝＝.
[答案] (1) (2)
[方法技巧]
1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
[即时演练]
1．(2017·江苏高考)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率P＝＝.
答案：
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
解析：因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.
答案：
与体积有关的几何概型
[典例] (2018·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] 由题意，在正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又V正方体ABCDA1B1C1D1＝23＝8，V半球＝·π·13＝π，
∴所求事件概率P(A)＝＝1－.
[答案] 1－
[方法技巧]
与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
[即时演练]
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
解析：选D 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
2．已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥OPAB的体积不小于的概率为________．
解析：如图，取AD，BC，PC，PD的中点分别为E，F，G，H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，VOPAB≥.在几何体CDEFGH中，连接GD，GE，则VCDEFGH＝VGCDEF＋VGDEH＝，又VPABCD＝，则所求概率为＝.
答案：
与面积有关的几何概型
与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.,常见的命题角度有：
(1)与平面图形面积有关的问题；
(2)与线性规划交汇的问题；
(3)与函数有关的问题；
(4)与定积分交汇的问题.
角度一：与平面图形面积有关的问题
1．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于2的概率是________．
解析：若点P到三个顶点的距离都不小于2，
则点P位于图中阴影部分，
三角形在三个圆的面积之和为
×π×22＝2π，
△ABC的面积S＝×6×4＝12，
所以阴影部分的面积S＝12－2π，
故对应的概率P＝＝1－.
答案：1－
角度二：与线性规划交汇的问题
2．把长为80 cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20 cm的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设把长为80 cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80－x－y，则构成实验的全部区域为作出示意图如图所示，此区域为腰长80 cm的等腰直角三角形OAB，则面积为×80×80＝3 200 cm2，记“
这三段长度均不小于20 cm”为事件M，则构成M的区域为此区域为腰长20 cm的等腰直角三角形CDE，则面积为×20×20＝200 cm2，所以每段铁丝长度不小于20 cm的概率P(M)＝＝.
角度三：与函数有关的问题
3．设函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率为( )
A. B．1－
C. D.
解析：选B 由题可得，因为f(x)≥e，且f(x)＝所以有1≤x≤e，所以由几何概型可得，f(x)的值不小于常数e的概率P＝1－.
角度四：与定积分交汇问题
4.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由定积分的性质可知，矩形内空白部分的面积为dx＝(2x－ln x)1＝1－ln 2，故所求概率为P＝＝.
[方法技巧]
与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．
1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝S圆＝，故此点取自黑色部分的概率P＝＝.
2．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示．
若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.
3．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图，
7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
4．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1
C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1
解析：选B 满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．
事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；
事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；
事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．
对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.
一、选择题
1.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.
2．随机地向半圆0
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