2018届二轮复习直接证明与间接证明课件（文）（江苏专用）

2018届二轮复习直接证明与间接证明课件（文）（江苏专用）

§ 12.2 　直接证明与间接证明 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 直接证明 (1) 综合法 ① 定义： 从 出发 ，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法 . 知识梳理 已知条件 ③ 思维过程：由因导果 . (2) 分析法 ① 定义： 从 出发 ，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 . 这种证明方法常称为分析法 . ③ 思维过程：执果索因 . 问题的结论 2. 间接证明 反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定 ( 即肯定原命题 ). 这个过程包括下面 3 个步骤： (1) 反设 —— 假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； (2) 归谬 —— 从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3) 存真 —— 由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 综合法是直接证明，分析法是间接证明 .( 　　 ) (2) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 .( 　　 ) (3) 用反证法证明结论 “ a > b ” 时，应假设 “ a < b ” . ( 　　 ) (4) 反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 .( 　　 ) (5) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 .( 　　 ) × × × × √ √ 考点自测 1.(2016· 扬州质检 ) 已知点 A n ( n ， a n ) 为函数 y ＝ 图象 上的点， B n ( n ， b n ) 为函数 y ＝ x 图象 上的点，其中 n ∈ N * ，设 c n ＝ a n － b n ，则 c n 与 c n ＋ 1 的大小关系为 _________. 答案 解析 c n ＋ 1 < c n 由条件得 则 c n 随 n 的增大而减小， ∴ c n ＋ 1 < c n . 2. 用反证法证明命题： “ a ， b ∈ N ，若 ab 不能被 5 整除，则 a 与 b 都不能被 5 整除 ” 时，假设的内容应为 ________________________. 答案 解析 a ， b 至少有一个能被 5 整除 “ 都不能 ” 的否定为 “ 至少有一个能 ” ， 故 假设的内容应为 “ a ， b 至少有一个能被 5 整除 ”. 3. 要证 a 2 ＋ b 2 － 1 － a 2 b 2 ≤ 0 只要证明 ____( 填正确的序号 ). ① 2 ab － 1 － a 2 b 2 ≤ 0 ； 答案 解析 ④ a 2 ＋ b 2 － 1 － a 2 b 2 ≤ 0 ⇔ ( a 2 － 1)( b 2 － 1) ≥ 0. 答案 解析 a ≥ 0 ， b ≥ 0 且 a ≠ b 5.(2016· 盐城模拟 ) 如果函数 f ( x ) 在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， 有 ≤ f ( ) ，已知函数 y ＝ sin x 在区间 (0 ， π) 上是凸函数，则在 △ ABC 中， sin A ＋ sin B ＋ sin C 的最大值为 _____. 答案 解析 ∵ f ( x ) ＝ sin x 在区间 (0 ， π) 上是凸函数，且 A ， B ， C ∈ (0 ， π). 题型分类　深度剖析 题型一　综合法的应用 证明 解答 (1) 综合法是 “ 由因导果 ” 的证明方法，它是一种从已知到未知 ( 从题设到结论 ) 的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断 ( 命题 ) 出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 . ( 2) 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 . 思维 升华 跟踪训练 1 若 a ， b ， c 是不全相等的正数，求证： 证明 ∵ a ， b ， c ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 由于 a ， b ， c 是不全相等的正数， ∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立， 题型二　分析法的应用 证明 所以 cos x 1 cos x 2 >0 ， sin( x 1 ＋ x 2 )>0,1 ＋ cos( x 1 ＋ x 2 )>0 ， 故只需证明 1 ＋ cos( x 1 ＋ x 2 )>2cos x 1 cos x 2 ， 即证 1 ＋ cos x 1 cos x 2 － sin x 1 sin x 2 >2cos x 1 cos x 2 ， 即证 cos( x 1 － x 2 )<1. 证明 由于 x 1 ， x 2 ∈ R 时 ， (1) 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． (2) 证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价 ( 或充分 ) 的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证 ． 思维 升华 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题 ( 写出已知，求证 ) ，并用分析法加以证明 ． 解答 只需证 a ( b ＋ m )> b ( a ＋ m ) ，只需证 am > bm ， 只需证 a > b ，由已知得 a > b 成立， 题型三　反证法的应用 命题点 1 　证明否定性命题 例 3 　 (2016· 连云港模拟 ) 设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 . (1) 推导 { a n } 的前 n 项和公式； 解答 设 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 当 q ＝ 1 时， S n ＝ a 1 ＋ a 1 ＋ … ＋ a 1 ＝ na 1 ； 当 q ≠ 1 时， S n ＝ a 1 ＋ a 1 q ＋ a 1 q 2 ＋ … ＋ a 1 q n － 1 ， ① qS n ＝ a 1 q ＋ a 1 q 2 ＋ … ＋ a 1 q n ， ② ① － ② 得， (1 － q ) S n ＝ a 1 － a 1 q n ， (2) 设 q ≠ 1 ，证明：数列 { a n ＋ 1} 不是等比数列 . 证明 假设 { a n ＋ 1} 是等比数列，则对任意的 k ∈ N * ， ( a k ＋ 1 ＋ 1) 2 ＝ ( a k ＋ 1)( a k ＋ 2 ＋ 1) ， ∵ a 1 ≠ 0 ， ∴ 2 q k ＝ q k － 1 ＋ q k ＋ 1 . ∵ q ≠ 0 ， ∴ q 2 － 2 q ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ q ＝ 1 ，这与已知矛盾 . ∴ 假设不成立，故 { a n ＋ 1} 不是等比数列 . 命题点 2 　证明存在性问题 例 4 　已知四棱锥 S － ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB ＝ SD ＝ ， SA ＝ 1. (1) 求证： SA ⊥ 平面 ABCD ； 证明 由已知得 SA 2 ＋ AD 2 ＝ SD 2 ， ∴ SA ⊥ AD . 同理 SA ⊥ AB . 又 AB ∩ AD ＝ A ， AB ⊂ 平面 ABCD ， AD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ 平面 ABCD . (2) 在棱 SC 上是否存在异于 S ， C 的点 F ，使得 BF ∥ 平面 SAD ？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由 . 解答 假设在棱 SC 上存在异于 S ， C 的点 F ，使得 BF ∥ 平面 SAD . ∵ BC ∥ AD ， BC ⊄ 平面 SAD . ∴ BC ∥ 平面 SAD . 而 BC ∩ BF ＝ B ， ∴ 平面 FBC ∥ 平面 SAD . 这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾， ∴ 假设不成立 . ∴ 不存在这样的点 F ，使得 BF ∥ 平面 SAD . 命题点 3 　证明唯一性命题 例 5 　已知 a ≠ 0 ，证明关于 x 的方程 ax ＝ b 有且只有一个根 . 证明 假设 x 1 ， x 2 是它的两个不同的根， 即 ax 1 ＝ b ， ① ax 2 ＝ b ， ② 由 ① － ② 得 a ( x 1 － x 2 ) ＝ 0 ， 因为 x 1 ≠ x 2 ，所以 x 1 － x 2 ≠ 0 ， 所以 a ＝ 0 ，这与已知矛盾，故假设错误 . 所以当 a ≠ 0 时，方程 ax ＝ b 有且只有一个根 . 应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤 第一步：分清命题 “ p ⇒ q ” 的条件和结论； 第二步：作出与命题结论 q 相反的假设 綈 q ； 第三步：由 p 和 綈 q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设 綈 q 不真，于是原结论 q 成立，从而间接地证明了命题 p ⇒ q 为真 . 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 . 思维 升华 跟踪训练 3 已知 二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f ( c ) ＝ 0 ，且 0< x < c 时， f ( x )>0. 证明 ∵ f ( x ) 的图象与 x 轴有两个不同的交点， ∴ f ( x ) ＝ 0 有两个不等实根 x 1 ， x 2 ， ∵ f ( c ) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ c 是 f ( x ) ＝ 0 的根， (2) 试用反证法 证明 > c . 证明 典例 　 (14 分 ) 直线 y ＝ kx ＋ m ( m ≠ 0) 与椭圆 W ： ＋ y 2 ＝ 1 相交于 A 、 C 两点， O 是坐标原点． (1) 当点 B 的坐标为 (0,1) ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； (2) 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形． 反证法 在证明题中的应用 思想与方法系列 2 2 思想方法指导 规范解答 在 证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意： (1) 掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的． (2) 当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法． (3) 利用反证法证明时，一定要回到结论上去 ． 返回 ( 1) 解 　 因为四边形 OABC 为菱形， 则 AC 与 OB 相互垂直平分． 由于 O (0,0) ， B (0,1) ， (2) 证明 　 假设四边形 OABC 为菱形， 因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC ⊥ OB ，所以 k ≠ 0. 消 y 并整理得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 4 ＝ 0 . [ 7 分 ] 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， C ( x 2 ， y 2 ) ，则 因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m ≠ 0 ， k ≠ 0 ， 所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形 ． [ 14 分 ] 返回 课时作业 1 . (2017 · 泰 州 月考 ) 用反证法证明命题 “ 设 a ， b 为实数，则方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ______________________ __ _ ． 答案 解析 因为 “ 方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至少有一个实根 ” 等价 于 “ 方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 有一个实根或两个实根 ” ， 所以 该命题的否定是 “ 方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 没有实根 ” ． 方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 没有实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 若一元二次不等式 2 kx 2 ＋ kx － < 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为 ________. ( － 3,0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 解得－ 3< k ≤ 0. 答案 解析 ① 都大于 2 ② 至少有一个大于 2 ③ 至少有一个不小于 2 ④ 至少有一个不大于 2 当且仅当 x ＝ y ＝ z 时等号成立． 所以三个数中至少有一个不小于 2 ， ③ 正确 ． ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∴ P 2 < Q 2 ， ∴ P < Q . P < Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2016· 苏州模拟 ) 下列条件： ① ab >0 ， ② ab <0 ， ③ a >0 ， b >0 ， ④ a <0 ， b <0 ，其中能 使 成立 的条件的序号是 ________. 答案 解析 ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0) 有有理数根，那么 a ， b ， c 中至少有一个是偶数 . 用反证法证明时，下列假设正确的是 ___. ① 假设 a ， b ， c 都是偶数 ； ② 假设 a ， b ， c 都不是偶数； ③ 假设 a ， b ， c 至多有一个偶数 ； ④ 假设 a ， b ， c 至多有两个偶数 . ② “ 至少有一个 ” 的否定为 “ 都不是 ” ，故 ② 正确 . 答案 解析 7.(2016· 全国甲卷 ) 有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” ，则甲的卡片上的数字是 ______. 1 和 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” 可知，丙为 “ 1 和 2 ” 或 “ 1 和 3 ” ，又乙说 “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，所以乙只可能为 “ 2 和 3 ” ，又甲说 “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，所以甲只能为 “ 1 和 3 ”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若二次函数 f ( x ) ＝ 4 x 2 － 2( p － 2) x － 2 p 2 － p ＋ 1 ，在区间 [ － 1,1 ] 内 至少 答案 解析 存在一点 c ，使 f ( c )>0 ，则实数 p 的取值范围是 _________. 若二次函数 f ( x ) ≤ 0 在区间 [ － 1,1] 内恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为 m >0 ，所以 1 ＋ m >0. 所以要证原不等式成立， 只需证 ( a ＋ mb ) 2 ≤ (1 ＋ m )( a 2 ＋ mb 2 ) ， 即证 m ( a 2 － 2 ab ＋ b 2 ) ≥ 0 ， 即证 ( a － b ) 2 ≥ 0 ，而 ( a － b ) 2 ≥ 0 显然成立， 故原不等式得证 . 10. 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，若函数 f ( x ＋ 1) 与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称，求证： f ( x ＋ ) 为偶函数 . 证明 由函数 f ( x ＋ 1) 与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称，可知 f ( x ＋ 1) ＝ f ( － x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2016· 苏州模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋ ( a >1 ). (1) 证明：函数 f ( x ) 在 ( － 1 ，＋ ∞ ) 上为增函数 ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 任取 x 1 ， x 2 ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) ， 不妨设 x 1 < x 2 ，则 x 2 － x 1 >0. ∵ a >1 ， ∴ 且 > 0 ， 又 ∵ x 1 ＋ 1>0 ， x 2 ＋ 1>0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故函数 f ( x ) 在 ( － 1 ，＋ ∞ ) 上为增函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 用反证法证明方程 f ( x ) ＝ 0 没有负数根 . 证明 假设存在 x 0 <0( x 0 ≠ － 1) 满足 f ( x 0 ) ＝ 0 ， ∵ a >1 ， ∴ 0 < < 1 ， 故方程 f ( x ) ＝ 0 没有负数根 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) f ( x ) ≥ 1 － x ＋ x 2 ； 所以 f ( x ) ≥ 1 － x ＋ x 2 . 证明 由 0 ≤ x ≤ 1 得 x 3 ≤ x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. (2015· 课标全国 Ⅱ ) 设 a ， b ， c ， d 均为正数，且 a ＋ b ＝ c ＋ d ，证明： 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ① 若 | a － b | ＜ | c － d | ，则 ( a － b ) 2 ＜ ( c － d ) 2 ， 即 ( a ＋ b ) 2 － 4 ab ＜ ( c ＋ d ) 2 － 4 cd . 因为 a ＋ b ＝ c ＋ d ，所以 ab ＞ cd . 因为 a ＋ b ＝ c ＋ d ，所以 ab ＞ cd ， 于是 ( a － b ) 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 4 ab ＜ ( c ＋ d ) 2 － 4 cd ＝ ( c － d ) 2 . 因此 | a － b | ＜ | c － d |. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13