椭圆 双曲线与抛物线高考核心考点透析 数学

椭圆 双曲线与抛物线高考核心考点透析 数学

第八章 椭圆、双曲线与抛物线 考点综述 椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形 兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容．纵观近几 年高考试题中对圆锥曲线的考查，主要体现出以下几个特点：1．基本问题，主 要考查以下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、标准方程及 a、b、c、 e、p 五个参数的求解，②几何性质的应用；2、求动点轨迹方程或轨迹图形（高 频），此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数 法．3．有关直线与它们的位置关系问题（高频），这类问题常涉及圆锥曲线的 性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用 数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的 形式出现．4．求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题（高频）， 这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函 数、不等式的综合，特别值得注意的是近年出现的解析几何与平面向量结合的 问题（高频）． 更多参考：http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=22459269 其实，高考数学 只有 35 个核心考点 仅有 122 种典型考法 每种考法只需 1 道例题和 3 道练习题 每次 1 小时，学会必杀技 确保高考 120 分！ 如有疑难，还可以看视频讲解！ 考点 1 椭 圆 典型考法 1 椭圆的最值问题 典型例题 已知椭圆 1 22  n y m x ，常数 m 、  Rn ，且 nm  ． (1)当 25 21m n ， 时，过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于点 P ，与 y 轴交于点Q ， 若 2QF FP  ，求直线 PQ 的斜率； (2)过原点且斜率分别为 k 和 k （ 1k ）的两条直线与椭圆 2 2 1x y m n+ = 的交点为 A B C D、 、 、 （按逆时针顺序排列，且点 A 位于第一象限内），试用 k 表示四边形 ABCD 的面积 S ，并求 S 的最大值． 解析(1) 21,25  nm 12125 22  yx 的左焦点为 )0,2(F ，设满足题意的点为 0 0( , ) (0 )P x y Q t、 ， ．又 FPQF 2 ，∴ 0 0( 2 ) 2( 2 )t x y- - = +， ， ，即      o o yt x 2 3 由点 在椭圆上，得 12125 9 2  oy ，得 5 214oy ， 5 214 2  oQFPQ ytKK ． (2)Q 过原点且斜率分别为 k 和 k k- ( 1)³ 的直线 1l y = kx: ， 2l y kx: =- 关于 x 轴和 y 轴 对 称 ， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ． 设 点 A 0 0( )x y， ． 联 立 方 程 组 2 2 1x y m n y kx ìïï + =ïïíïï =ïïî 得 2 2 mnx n mk= + ，于是 0x 是此方程的解，故 )1(444 2 2    k mkn mnkkxyxS ooo ，即 2 4 4mnk mnS nn mk mkk = =+ + ．设 )1()(  kk nmkkg ，则 ( )g k 在[1 ) ， 上是单调函数． 理由：对任意两个实数 ),1[, 21 kk ，且 21 kk  ， 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )n ng k g k mk mkk k- = + - + ＝ 1 2 1 2 1 1( ) ( )m k k n k k- + - 1 2 1 2 1 2 ( ) mk k nk k k k -= - ． 1 2 1 2 1 2 ( ) 0mk k nk k k k - - < ，即 1 2( ) ( ) 0g k g k- < ． ∴ ( )g k 在 [1 ) ， 上 是 单 调 函 数 ， 于 是 min( ) (1)g k g m n= = + ， 4 4mn mnS n m nmkk    ，当且仅当 1k  等号成立． nm mnS  4 max ． 注：也可利用求导法证明 ( )g k 在[1 ) ， 上是单调函数． 必杀技： 利用求函数最值的方法+椭圆性质 解决与椭圆有关的最值问题须注意： 1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值． 2．最值问题的求解策略： (1)总方针：建立目标函数（或目标不等式） (2)具体方法： ①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 ②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 ③结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值 ④利用基本不等式求最值 还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的 求最值问题甚至需要多种方法的综合运用． 以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题． 读者自行完成上述性质的证明．这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭 圆都成立，可用于求解一些选择题和填空题． 实战演练 1． F 是椭圆 2 2 14 3 x y  的右焦点， (1 1)A ， 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点， 则| | | |PA PF 的最小值为 ． 2．设椭圆中心在坐标原点， ( 0) (0 )A a B b，， ， 是它的两个顶点，直线 y kx ( 0)k  与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E 、 F 两点，若 2a  ， 1b  ． （1）已知 6ED DF  ，求 k 的值； （2）求四边形 AEBF 面积的最大值； 3．若椭圆 1E : 12 1 2 2 1 2  b y a x 和椭圆 2E : 12 2 2 2 2 2  b y a x 满足 2 2 1 1 ( 0)a b m ma b    ， 则称这两个椭圆相似， m 称为其相似比． (1)求经过点 )6,2( ，且与椭圆 124 22  yx 相似的椭圆方程; (2)设过原点的一条射线 l 分别与（1）中的两个椭圆交于 A、B 两点（其中点 A 在线段 OB 上），求 OBOA 1 的最大值和最小值; (3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 1C ：   1 22 2 2 2 2  yx 和 2C ： 1 )22(4 2 2 2 2  yx 交于 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB 成等差数列，则点 P 的轨迹方程为 1 )2 23(3 2 2 2 2  yx ”．请用推广或类比的方法提出类似 的一个真命题，并给予证明． 参考答案： 1． 4 5 . 2．（1） 2 3k  或 3 8k  . （2） 2 2 . 提示：设点 E F， 到 AB 的距离分别为 1h ， 2h ，故 AEBF 的面积为 1 2 1 ( )2S AB h h  2 2 1 4 42 1 4 k k k    2 2≤ ，易得当 1 2k  时， S 取最大值 2 2 ． 注：通过对（2）的求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形 AEBF 面积的若干结论． 结论一：已知 ( 0) (0 )A a B b，， ， 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的两个顶点，直线 y kx ( 0)k  与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E 、F 两点，则四边形 AEBF 面积的最 大值为 2ab ． 结论二：以椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的一条定弦 AB 为对角线的椭圆内接四边形 AEBF 面积取最大值时，另一条对角线 EF 必过原点与 AB 的中点 D ． 推论 1：若以 ( 0)k k  为斜率的直线与椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  相切，则两切点的 连线必过原点，且其斜率 0k 满足： 2 0 2 bk k a    ． 推 论 2 ： 以 ( 0)k k  为 斜 率 的 椭 圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  两 切 线 间 的 距 离 为 2 2 2 2 2 | | 1 a k b k   （如图 8-1-8）． 推论 3：若 D 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  不过原点 O 且不垂直于对称轴的弦 AB 上 一点，则点 D 是弦 AB 中点的充要条件是 2 2OD AB bk k a    ． 结论三：椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  内接四边形 AEBF 面积的最大值为 2ab ． 结论四：EF 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的过原点的一条定弦，AB 是椭圆的过弦 EF 上定点 0 0( )D x y， 的动弦，则当弦 AB 被点 D 平分时，椭圆内接四边形 AEBF 面积取 最大值的充要条件是： 2 2 0 0 2 2 1[0 ]2 x y a b   ， ． 3．(1) 1816 22  yx (2)①当射线与 y 轴重合时， OBOA 1 = 4 25 22 12  ． ②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察 A、B 在第一象限的情形． 设其方程为 kxy  （ 0,0  xk ），设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由      124 22 yx kxy 解 得 2 2 21 12 k kOA   ，同理可得 2 2 21 14 k kOB   ，令 2 2 21 12 k kt   则由 2 22 1 2t k    知 22  t ， 于 是  OBOA 1 tt 2 1 在 ]2,2( 上 是 增 函 数 ， ∴ 4 9124 5  OBOA ，由①②知， OBOA 1 的最大值为 4 9 ， OBOA 1 的最小值为 4 25 ． (3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个． 命题：过原点的一条射线分别与双曲线 1C ： 12 2 2 2  b y a x 和 2C ：  1 )( 2 2 2 2  mb y ma x )0( m 交于 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB 成等差数列，则 点 P 的轨迹方程为 1 )2 1()2 1( 2 2 2 2  bm y am x ． 证明：∵射线l 与双曲线有交点，不妨设其斜率为 k ，显然 a bk  ．设射线l 的方程为 kxy  ，设点 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 、 ),( yxp 由      12 2 2 2 b y a x kxy 得 2221 kab abx   ， 由      1 )()( 2 2 2 2 mb y ma x kxy 得 2222 kab mabx   ， 由 P 点 在 射 线 l 上 ， 且 OP2 OA OB 得      kxy xxx 2 21 即         x yk kab mabx 2222 )1( 得 1 )2 1()2 1( 2 2 2 2  bm y am x ． 命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线 1C ： pxy 22  )0( p 和 2C ： mpxy 22  )0( m 相交于异于原点的 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB 成 等差数列，则点 P 的轨迹方程为 pxmy )1(2  ． （证略）． 典型考法 2 与椭圆有关的定点与定值问题 典型例题 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左右焦点分别为 21, FF ，短轴两个端点为 BA, ， 且四边形 BAFF 21 是边长为 2 的正方形． （1）求椭圆方程； （2）若 DC, 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M 满足 CDMD  ，连接 CM ，交 椭圆于点 P ．证明：OM OP  为定值； （3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以 MP 为直径 的圆恒过直线 MQDP, 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析（1） 222,,2 cbacba  ， 22 b ，椭圆方程为 124 22  yx ． （2） )0,2(),0,2( DC  ，设 ),(),,2( 110 yxPyM ，则 ),2(),,( 011 yOMyxOP   ．直 线 CM ： 0 0 4 2 y yyx  ， 即 0 0 2 1 4 yxyy  ， 代 入 椭 圆 42 22  yx 得 042 1 2 1)81( 2 0 2 0 2 2 0  yxyxy ． 8 )8(2, 8 )8(4)2( 2 0 2 0 12 0 2 0 1     y yx y yx ， 8 8 2 0 0 1   y yy ． ) 8 8, 8 )8(2( 2 0 0 2 0 2 0    y y y yOP ， 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 4( 8) 8 4 32 48 8 8 y y yOM OP y y y             （定值）． （ 3 ） 设 存 在 )0,(mQ 满 足 条 件 ， 则 DPMQ  ． ),2( 0ymMQ   ， ) 8 8, 8 4( 2 0 0 2 0 2 0    y y y yDP ， 则由 0  DPMQ 得 0 8 8)2( 8 4 2 0 2 0 2 0 2 0      y ym y y ，从而 得 0m ．存在 )0,0(Q 满足条件． 必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则 一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选、二 求、三定点．具体操作程序为： “一选”：选择参变量．需要证明过定点的动曲线往往随某一个量的变化而变化，可选 择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时，也可选取多个参变量）． “二求”：求出动曲线的方程．求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其它辅助条件 减少参变量的个数，最终使动曲线方程的系数中只含有一个参变量． “三定点”：求出定点的坐标．不妨设动曲线方程中所含的参变量为  ，把曲线方程 写成形如 ( ) ( ) 0f x y g x y ， ， 的形式，然后解关于 x ， y 的方程组 ( ) 0 ( ) 0 f x y g x y    ， ， 得到 定点的坐标． 实战演练 1．已知椭圆 C 经过点 3(1 )2A ， ，两个焦点为 ( 1 0) ， ， (1 0)， ． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明 直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 2．设椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）过点 ( 2 1)M ， ，且左焦点为 1( 2 0)F  ， (1)求椭圆C 的方程； (2)当过点 (4 1)P ， 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点 A ， B 时，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB      ，证明：点Q 总在某定直线上． 3．若椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆C上的点（2，0）到左焦点距 离为3 ． (1)求椭圆C 的标准方程． (2)若直线l ： y kx m  与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A B， 不是左、右顶点），且 以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． (3)将(2)推广到一般情形，使得(2)为其特例，并给出解答过程． 参考答案： 1．(1) 2 2 14 3 x y  . (2) 设 直 线 AE ： 3( 1) 2y k x   ， 代 入 2 2 14 3 x y  得 2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k       ， 设 ( )E EE x y， ， ( )F FF x y， ， 易 得 1 2 F E EF F E y yk x x   (定值)． 注：本题可推广为（证明略）： 2．(1) 2 2 14 2 x y  . (2)提示：利用线段的定比分点，关注  ． 注：（一）本题的证明还有其它方法，这里从略． （二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为： 命题一：设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b    ： ，过椭圆外一点 ( )P m n， 的动直线l 与椭圆 C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB      ，则点Q 在定 直线 2 2 2 2 0mb x na y a b   上． 我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为： 命题二：设圆 2 2 2 ( 0)C x y r r  ： ，过圆外一点 ( )P m n， 的动直线 l 与圆 C 相交 于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB      ，则点 Q 在定直线 2 0mx ny r   上． 命题三：设双曲线 2 2 2 2: 1( 0 0)x yC a ba b    ， ，过双曲线外一点 ( )P m n， 的动直 线l 与双曲线 C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB      ， 则点Q 在定直线 2 2 2 2 0mb x na y a b   上． 命题四：设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  ，过抛物线外一点 ( )P m n， 的动直线l 与抛物 线C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB      ，则点Q 在 定直线 0px ny pm   上． 以上命题的证明从略． 3．（1） 2 2 14 3 x y  .（2）直线l 过定点，定点坐标为 2 07      ， . （3） （2）的推广（一）： 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  上的右顶点 ( 0)M a ， 作两直线 AM 与 BM 交椭圆于 A 、 B 两点，当 AM BM 时，直线 AB 恒过定点 2 2 2 2( 0)a b aa b   ， ． 提示：可设直线 AB ： x ty p  且 1 1( )A x y， 、 2 2( )B x y， ，由 2 2 2 2 1 x ty p x y a b     得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b t y pta y b p a     ，则 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ptby y a b t b p ay y a b t          ，由已知得 0AM BM   ，即 1 2 1 2( )( ) 0x a x a y y     2 2 1 2 1 2(1 ) ( )( ) ( ) 0t y y t p a y y p a        2 2 2 2 a bp aa b    直线 AB ： 2 2 2 2 a bx ty aa b    恒过定点 2 2 2 2( 0)a b aa b   ， ． （2）的推广（二）： 过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  上的任意定点 0 0( )M x y， 作两直线 AM 与 BM 交椭 圆于 A 、 B 两点，当 AM BM 时，直线 AB 恒过定点 2 2 2 2 0 02 2 2 2( )a b a bx ya b a b    ， ． 典型考法 3 椭圆与直线 典型例题 已知椭圆 E 经过点  2 3A ， ，对称轴为坐标轴，焦点 1F ， 2F 在 x 轴上，长轴的长与焦距之比为 2：1．(如图 8-1-1) (1)求椭圆 E 的方程； (2)求 1 2F AF 的角平分线所在直线l 的方程； (3)在椭圆 E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在， 请找出；若不存在，说明理由． 解 析 (1) 设 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 2 2 1x y a b   ， 由 已 知 得 2a c  ， 2a c ， 故 图 8-1-1 2 2 2 23b a c c   ，从而椭圆方程为 2 2 2 2 14 3 x y c c   ，将 A（2，3）代入上式，得 2 2 1 3 1c c   ， 解得 2c  ，∴椭圆 E 的方程为 2 2 116 12 x y  ． (2)方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 方法五： 方法六： 方法七： 方法八： (3)方法一： 方法二： 方法三： 同上，一方面，因为 BC 的中点坐标为 3( )2 4 m m， ，且该中点在椭圆的内 部，所以，有 2 23( ) ( )2 4 116 12 m m   ，解得 2 16m  （※） ．另一方面，BC 的中点在直线 2 1y x  上，所以 3 2 14 2 m m   ，解得 4m  ，这与（※）矛盾．所以不存在满足题设 条件的相异两点． 注：存在性问题的一般经解决思路是先假设满足条件的数学对象存在，然后通过数学 “操作”肯定或否定假设． 必杀技： 综合运用基础知识与基本方法 本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的方程以及点关于 直线的对称等基础知识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了考生对解析几何的基 本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与创新意识．本题的探索思路宽，且 解法多种多样， 本题可推广为： 对于本题的(3)还可推广为： 注：以上的证明均可仿照本题的求解方法，读者可自行完成，这里不再赘述． 实战演练 1．已知椭圆 11624 22  yx ，直线l ： 112 8 x y  ．P 是 l 上点，射线 OP 交椭圆于点 R， 又点 Q 在 OP 上且满足 2·OQ OP OR ，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并 说明轨迹是什么曲线． 2．已知 (1,0), (0, 2),i c   若过定点 (0, 2)A 、以 i c  ( R  )为法向量的直线 1l 与过点  0, 2B  以 c i  为法向量的直线 2l 相交于动点 P ． (1)求直线 1l 和 2l 的方程； (2)求直线 1l 和 2l 的斜率之积 1 2k k 的值，并证明必存在两个定点 , ,E F 使得 PE PF  恒为定值； (3)在（2）的条件下，若 ,M N 是 : 2 2l x  上的两个动点，且 0EM FN   ，试问当 MN 取最小值时，向量 EM FN  与 EF  是否平行，并说明理由． 3．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为 2 3 2 3 和 ． (1)求椭圆的方程； (2)设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且∠AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围． (3)如图 8-1-2，过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )相交于 P，S，R，Q 四点，设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d， 试求 d=1 时 a，b 满足的条件． 参考答案： 1．     1 3 5 1 2 5 1 22  yx （ 2 2 0x y  ），其轨迹是以(1，1)为中心， 长、短半轴分别为 2 10 和 3 15 且长轴与 x 轴平行的椭圆，且去掉坐标原 点． 提示： （如图 8-1-3）由已知得 2 2 24 16 12 8 R R P Px y x y   （※） 设 图 8-1-2 图 8-1-3 ( )Q x y， ， | | | | | | OP OR OQ OP OR OQ         ，利用已知条件可得 2 2 | | | | OROP OQ OQ      ，便有 2 2 | | | |P ORx x OQ     ， 2 2 | | | |P ORy y OQ     ，同理， | | | |R ORx x OQ     ， | | | |R ORy y OQ     ，将它们代入 （※），得 2 2 24 16 12 8 x y x y   ，显然 x 与 y 均不为零． 2．(1) 1l ： 0)2(2  yx  ； 2l ： 0)2(2  yx ． (2) 1 2 1 2k k   ；| | | | 4PE PF   ．提示：设 P ),( yx ，由 2 122 21  x y x ykk ， 得 124 22  yx ，定点 FE 、 为该椭圆的两个焦点． (3) FNEM  与 EF 平行. 3．(1) 2 2 14 x y  . (2) 3 3( 2, ) ( ,2)2 2    . (3) 2 2 1 1 1a b   . 提示：由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形，原点 O 到各边的距离 相等． 当 P 在 y 轴上时，显然；当 P 不在 y 轴上时，设直线 PS 的斜率为 k， 1 1( , )P x kx ， 则 直 线 RQ 的 斜 率 为 1 k  ， 2 2 1( , )Q x xk  由 2 2 2 2 1 y kx x y a b    得 2 2 2 2 1 1 1 k x a b   ， 同 理 2 2 2 2 2 1 1 1 x a k b   ， 在 Rt△OPQ 中 ， 有 2 2 2| | | | | |PQ OP OQ  ， 所 以 ， 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 1 2( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]x xx x kx x kx xk k        ，化简可得 2 2 1 1 1a b   ．综上，当 d=1 时 a，b 满足条件 2 2 1 1 1a b   ． 典型考法 4 椭圆与圆 典型例题 以 1(0 1)F ， ， 2 (0 1)F ， 为焦点的椭圆 C 过点 2( 1)2P ， ． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点 1( 0)3S  ， 的动直线l 交椭圆C 于 A 、 B 两点，试问：在坐标平面上是否存在 一个定点T ，使得无论l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的 坐标；若不存在，，请说明理由． 解析 (1)方法一： 方法二： (2)方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 注：以上方法很好地体现定点问题的基本思维．方法一先通过特殊情形确定定点，然 后证明其它情形也过这一定点，是比较可取的方法；方法二假设定点 ( )T u v， ，通过条件 确定定点，是通性通法，但需要较高的运算能力；方法三利用几何特征发现定点的纵坐标 为 ( 0)T t ， ，能有效地减少运算量．同时，三种解法充分利用转化思想，合理使用韦达定 理，避免求圆的方程带来繁琐的计算．方法四利用消元技巧以及圆的方程的特征，直接求 出以 AB 为直径的圆的方程，不必利用韦达定理，计算过程简单，思路清晰、明了，从而 使问题顺利解决． 必杀技： 平面几何知识与所给图形特征相结合 以“直线、圆及圆锥曲线”为主体的平面解析几何作为中学数学中几何代数化的典型 代表，历来是高考的重头戏，是体现能力立意，强调思维空间，用“活题”考“死知识” 的典范．由于其综合性强，算功要求高，常令众多考生望而生畏．尤其近年悄然兴起的圆 锥曲线与圆的交汇性问题更让考生们感到恐慌！其实这类问题只要善于抓住问题主干，理 清解题思路，及时灵活转化问题和条件，巧妙把向量方法和平面几何知识与图形特征结合 起来，就会柳暗花明，轻松应对． 进一步探究，可以得到以圆锥曲线的弦 AB 为直径的圆的方程的统一解法，具体为： 下面利用这一结论解决下面的试题 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值 为 3，最小值为 1． (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 :l y kx m  与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点．求证:直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． 解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， 3a c  ， 1a c  ， 2a  ， 1c  ， 2 3b  ， 2 2 14 3 x y  ． (II) 方法一： 方法二：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 2 14 3 y kx m x y     得 2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m     ， 2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m      ， 2 23 4 0k m   ． 2 1 2 1 22 2 8 4( 3), .3 4 3 4 mk mx x x xk k       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( 4 )( ) ( ) ( ) .3 4 m ky y kx m kx m k x x mk x x m k            以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 1AD BDk k   ， 1 2 1 2 12 2 y y x x      ， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x     ， 2 2 2 2 2 2 3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4 m k m mk k k k        ， 2 27 16 4 0m mk k   ，解得 1 2 22 , 7 km k m    ，且满足 2 23 4 0k m   ． 当 2m k  时， : ( 2)l y k x  ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾； 当 2 7 km   时， 2: ( )7l y k x  ，直线过定点 2( ,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为 2( ,0).7 实战演练 1．已知 A，B 分别为曲线 C ： 2 2 x a + 2y =1（ 0 0y a ， ）与 x 轴的 左、右两个交点，直线l 过点 B，且与 x 轴垂直，S 为l 上异于点 B 的一点， 连结 AS 交曲线 C 于点 T． (Ⅰ)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标； (Ⅱ)如图 8-1-4，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ，使 得 O，M，S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由． 2．设椭圆 E： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b ， ），O 为坐标原点，过 M（2， 2 ），N( 6 ， 图 8-1-4 1)两点． （1）求椭圆 E 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A， B，且OA OB  ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由． 参考答案： 1． (Ⅰ) 2 3(1 )3S ， 或 (1 2 3)S ， . 提示： 1a  ，如图 8-1-5，由点 T 为 圆弧 AB 的三等分点得∠BOT=60°或 120°． (1)当∠BOT=60°时，∠SAB=30°．又 AB=2， (1 )s    ， ． (2)当∠BOT=120°时，同理可求得点 S 的坐标为 (1,2 3) ． (Ⅱ)提示：切入点 1 -------------------------从点T 入手 切入点 2 -------------------------从点 S 入手 注：本题的求解还可从直线 AS 的斜率入手，这里不再赘述． 2．(1) 2 2 18 4 x y  . 图 8-1-5 (2)存在，此圆为 2 2 8 3x y  ，| |AB 的取值范围是 4[ 6 2 3]3 ， ． 提示：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A， B ， 且 OA OB  ． 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y kx m  ， 由 2 2 18 4 x y y kx m      得 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m     ， 则 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k         ， 2 2 1 2 2 8 1 2 m ky y k   ， 要 使 OA OB  ，必须 1 2 1 2 0x x y y  ，即 2 2 2 2 2 2 8 8 01 2 1 2 m m k k k     ，所以 2 2 3 8 08 mk   ， 又 2 28 4 0k m     ，所以 2 8 3m  ，即 2 6 3m  或 2 6 3m   ，由假设，知圆的半 径为 21 mr k   ， 2 2 2 22 8 3 81 31 8 m mr mk     ， 2 6 3r  ，所求的圆为 2 2 8 3x y  ， 此时圆的切线 y kx m  都满足 2 6 3m  或 2 6 3m   ，而当切线的斜率不存在时切线 为 2 6 3x   与椭圆 2 2 18 4 x y  的两个交点为 2 6 2 6( , )3 3  或 2 6 2 6( , )3 3   满足 OA OB  ，因此， 存在圆心在原点的圆 2 2 8 3x y  ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 OA OB  ．进一步地，可得 | |AB  2 4 2 32 13 4 4 1 k k k      ， 分 0k  及 0k  讨论便易知， 4 6 | | 2 33 AB  ． 注：我们可把这个椭圆推广到任意椭圆，即得到如下性质： 考点 2 双曲线 典型考法 1 双曲线的最值问题 典型例题 已知点 ，，，， )02()02( NM  动点 P 满足条件 ，22||||  PNPM 记动点 P 的轨迹 为W ． (1)求W 的方程； (2)若 BA、 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OBOA 的最小值． 解析 (1)由 2 2PM PN － 知动点 P 的轨迹是以 M ， N 为焦点的双曲线的右 支，实半轴长 2a  ，半焦距 c=2，故虚半轴长 2 2 2b c a   ，从而 W 的方程为 2 2 12 2 x y  ( 2x  )． (2)方法一：分两种情况进行讨论，设 BA， 的坐标分别为 )( 11 yx ， 和 )( 22 yx ， ．当 xAB  轴时， 2121 yyxx  ， ，从而 22 1 2 12121  yxyyxxOBOA ；当 AB 不 与 x 垂 直 时 ， 设 直 线 AB 的 方 程 为 mkxy  ， 与 W 的 方 程 联 立 ， 消 去 y 得 022)1( 222  mkmxxk ， 故 2 2 21221 1 2 1 2 k mxxk kmxx   ， ， 所 以 2 42 1OA OB k       ，又 2010 2 21  OBOAkxx ，， ，综上所述， OBOA 取得最小值 2． 方 法 二 ： 设 BA、 的 坐 标 分 别 为 )()( 2211 yxyx ，、， ， 则 2 2 ( )( ) 2i i i i i ix y x y x y     ( 1 2)i  ， ．令 iiiiii yxtyxs  ， ( 1 2)i  ， ，于是 2iits ， 且 0 0i is t ， ( 1 2)i  ， ， 所 以 ， 1 2 1 2OA OB x x y y     1 2 1 2 2 s s t t  1 2 1 2 2s s t t  ，当且仅当 2121 ttss  ，即      21 21 yy xx 时不等式取等号，所以 OBOA 的最小 值是 2． 方 法 三 ： 设 BA、 的 坐 标 分 别 为 )()( 2211 yxyx ，、， ， 则 1 2 1 2OA OB x x y y    ，因为 1 2 0x x  ，要求 OBOA 的最小值，必须 1 2 0y y  ， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 2( ) 4 ( ) 4 4 OA OB x x x x x x x x x x x x x x x x                  1 2 1 2( 2) 2x x x x    ， 当且仅当 1 2x x 时， OBOA 取得最小值 2． 方法四：注意到 1 2 0y y  ， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1[ ( ) ] [( ) ]2 2OA OB x x y y x x x x y y y y             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1( ) ( ) [( ) ( ) ] 2 [( 2 2) ( ) ]2 2 2 2x y x y y y x x x x x x               2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 ( )2 ( ) [ 1] 2 ( 2 2) x xx x x x        ，当且仅当 1 2x x 时， OBOA 取最小值 2． 必杀技： 利用求函数最值的方法+双曲线性质 解决与双曲线有关的最值问题须注意： 1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值． 2．最值问题的求解策略： (1)总方针：建立目标函数（或目标不等式） (2)具体方法： ①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 ②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 ③结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值 ④利用基本不等式求最值 还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求 最值问题甚至需要多种方法的综合运用． 结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线 2 2 2x y a  ，是否有类似的结论，回 答是肯定的，即 结论一：若 A ， B 是等轴双曲线 2 2 2x y a  的右支上的不同两点， O 是坐标原点， 则OA OB  的最小值为 2a ． 对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论： 结论二： 实战演练 1． P 是双曲线 2 2 19 16 x y ＝ 的右支上一点， M N、 分别是圆 2 2( 5) 4x y   和 2 2( 5) 1x y   上的点，则 PM PN 的最大值为 ． 2．已知双曲线 C 的方程为 2 2 2 2 1( 0 0)y x a ba b    ， ，离心率 5 2e  ，顶点到渐近 线的距离为 2 5 5 ． (1)求双曲线 C 的方程； (2)如图 8-2-1，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP PB  ， 1[ 2]3   ， ，求 AOB 面积的取值范围．.w.k.s.5. 3．已知双曲线 1C ： 2 2 2 2 1( 0)2 x y aa a    ，抛物线 2C 的顶点 在原点O ，又 2C 的焦点是 1C 的左焦点 1F ． (1)求证： 1C 与 2C 总有两个不同的交点； (2)是否存在过 1C 的焦点 1F 的 2C 的弦 AB ，使 AOB 的面积有最大值或最小值？若 有，求出 AB 所在直线方程与最值；若没有，请说明理由． 参考答案： 1．9 . 提示：方法一： P 是双曲线 2 2 19 16 x y ＝ 的右支上一点， 1F (－5，0)、 2F (5，0) 是两个焦点，则 1 2| | | |PF PF =6，又 M N、 分别是圆 2 2( 5) 4x y   和 2 2( 5) 1x y   上的点，∴ PM PN ≥ 1 2| | 2 (| | 1)PF PF   =9． 方法二：设双曲线的两个焦点分别是 F1（－5，0）与 F2（5，0），则这两点正好是两 圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大，此 时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9． 2．(1) 2 2 14 y x  . (2) 8[2 ]3 ， . 提示：方法一： 图 8-2-1 方法二： 3．(1)证略． (2) AOB 的面积有最小值 26a ， AB 所在直线的方程为 3x a  ；最大值不存在． 提示： 典型考法 2 与双曲线有关的定点与定值问题 典型例题 已知双曲线 2 2 2x y  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 2F 的动直线与双曲线相交 于 A B， 两点． (1)若动点 M 满足 1 1 1 1F M F A F B FO      （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方 程； (2)在 x 轴上是否存在定点C ，使CA  ·CB  为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不 存在，请说明理由． 解析 (1)方法一：由条件知 1( 2 0)F  ， ， 2 (2 0)F ， ，设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ．设 ( )M x y， ，则 1 ( 2 )F M x y  ， ， 1 1 1( 2 )F A x y  ， ， 1 2 2( 2 )F B x y  ， ， 1 (2 0)FO  ， ， 由 1 1 1 1F M F A F B FO      得 1 2 1 2 2 6x x x y y y        ，即 1 2 1 2 4x x x y y y       ， ，于是 AB 的中点 坐 标 为 4 2 2 x y     ， ． 当 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 ， 1 2 1 2 2 4 822 y y y y xx x x     ， 即 1 2 1 2( )8 yy y x xx    ．又因为 A B， 两点在双曲线上，所以 2 2 1 1 2x y  ， 2 2 2 2 2x y  ， 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( )x x x x y y y y     ，即 1 2 1 2( )( 4) ( )x x x y y y    ． 将 1 2 1 2( )8 yy y x xx    代入上式，化简得 2 2( 6) 4x y   ．当 AB 与 x 轴垂直时， 1 2 2x x  ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程．所以点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y   ． 方法二：同方法一得 1 2 1 2 4x x x y y y       ， ．当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k    ．代入 2 2 2x y  有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k     ．则 1 2x x， 是 上述方程的两个实根，所以 2 1 2 2 4 1 kx x k    ． 2 1 2 1 2 2 4 4( 4) 41 1 k ky y k x x k k k            ． 由①②③得 2 2 44 1 kx k    ………④ ， 2 4 1 ky k   ………⑤ 当 0k  时 ， 0y  ， 由 ④ ⑤ 得 ， 4x ky   ， 将 其 代 入 ⑤ 有 2 2 2 2 44 4 ( 4) ( 4) ( 4)1 x y xyy x x y y      ．整理得 2 2( 6) 4x y   ． 当 0k  时，点 M 的坐标为 (4 0)， ，满足上述方程． 当 AB 与 x 轴垂直时， 1 2 2x x  ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程． 故点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y   ． (2)方法一：假设在 x 轴上存在定点 ( 0)C m， ，使CA CB    为常数． 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k    ．代入 2 2 2x y  有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k     ． 则 1 2x x， 是 上 述 方 程 的 两 个 实 根 ， 所 以 2 1 2 2 4 1 kx x k    ， 2 1 2 2 4 2 1 kx x k   ，于是 2 1 2 1 2( )( ) ( 2)( 2)CA CB x m x m k x x        2 2 2 2 1 2 1 2( 1) (2 )( ) 4k x x k m x x k m       2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(4 2) 4 (2 ) 41 1 k k k k m k mk k        2 2 2 2 2 2(1 2 ) 2 4 42(1 2 )1 1 m k mm m mk k          ． 因为CA CB    是与 k 无关的常数，所以 4 4 0m  ，即 1m  ，此时CA CB    = 1 ．当 AB 与 x 轴 垂 直 时 ， 点 A B， 的 坐 标 可 分 别 设 为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此 时 (1 2) (1 2) 1CA CB       ， ， ．故在 x 轴上存在定点 (1 0)C ， ，使CA CB    为常数． 方法二：假设在 x 轴上存在定点点 ( 0)C m， ，使CA CB    为常数，当 AB 不与 x 轴垂直 时，由(1)的方法二知 2 1 2 2 4 1kx x k    ， 2 1 2 2 4 2 1 kx x k   ．以下同方法一． 必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则 本节的注意事项参见典型考法 2，这里不再赘述．本例实质上反映了圆锥曲线焦点弦 的一个性质，将双曲线 2 2 2x y  推广到一般双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ，便有下面的结论： 结论 1： 若将双曲线换为椭圆或抛物线，则有类似结论： 结论 2： 结论 3： 读者自行完成可以上结论，在此不再赘述．在平时的解题中，我们在掌握问题的基本 求解方法后，还有必要对问题进行联想、类比和推广，搞清问题的内涵和外延，挖掘出问 题的本质特征，触类旁通，这样才能充分发挥问题的知识功能，不断提高自己分析问题和 解答问题的能力． 实战演练 1．已知    1 22,0 , 2 0F F ， ，点 1 2 2,P PF PF P E 满足 记点 的轨迹为 ，． (1)求轨迹 E 的方程； (2)若直线l 过点 2F 且法向量为 ( 1)n a   ， ，直线与轨迹 E 交于 P Q、 两点． ①过 P Q、 作 y 轴的垂线 ,, BAQBPA 、垂足分别为、 记 |||| ABPQ  ，试确定  的取值范围； ②在 x 轴上是否存在定点 M，无论直线l 绕点 2F 怎样转动，使 0MP MQ   恒成立？ 如果存在，求出定点 M；如果不存在，请说明理由． 2．已知点 1 0 0( , )P x y 为双曲线 2 2 2 2 18 x y b b   （b 为正常数）上任一点， 2F 为双曲线的 右焦点，过 1P 作右准线的垂线，垂足为 A ，连接 2F A 并延长交 y 轴于 2P ． w．w．w．k．s (1)求线段 1P 2P 的中点 P 的轨迹 E 的方程； (2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B D、 两点，在 E 上任取一点 1 1 1, ( 0)Q x y y （ ） ，直线 QB QD， 分别交 y 轴于 M N， 两点．求证：以 MN 为直径的圆过两定点． 3．A、B 为双曲线 194 22  yx 上的两个动点，满足 0OBOA ． (1)求 22 11 OBOA  的值； (2)动点 P 在线段 AB 上，满足 0OP AB   ，试问点 P 能否在定圆上． 参考答案： 1．(1) )1(13 2 2  xyx . (2) ① 2(1 3)3 ， . 提示：由直线 l 的方程与双曲线方程联立并利用韦达定理可得 2 | | 11| | PQ AB a     （ 32 a ），故 )33 2,1( ． ②存在定点 ( 1 0)M  ， 满足条件． 提示：设存在点 )0,(mM 满足条件，同①可得 MP MQ  0 3 )54(3 2 2 2    m a am ， 得 0)54()1(3 222  mmam 对 任 意 32 a 恒成立，所以      054 01 2 2 mm m ，解得 1m ． 2．(1) 2 2 2 2 12 25 x y b b   . (2) 提 示 ： 不 妨 设 ( 2 0)B b ， ， ( 2 0)D b， ， 则 易 得 1 1 2(0 ) 2 byM x b ， ， 1 1 2(0 ) 2 byN x b   ， ， 于 是 ， 以 MN 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ： 2 1 1 1 1 2 2( )( ) 0 2 2 by byx y y x b x b       ，令 0y  得： 2 2 2 1 2 2 1 2 2 b yx x b   ，而 1 1,Q x y（ ）在 2 2 2 2 12 25 x y b b   上，则 2 2 2 1 1 22 25x b y  ，所以 5x b  ，即以 MN 为直径的圆过两定点 ( 5 ,0),(5 ,0)b b ． 3．(1) 5 36 . (2) P 在以 O 为圆心、 5 56 为半径的定圆上．提示：由三角形面积公 式 ， 得 2 2 2 2 OP AB OA OB      ， 即  2 2 2 2 2 OP OA OB OA OB        ． 即 2 2 2 1 1 1OP OA OB             ，利用(1)即得 5 362 OP ． 典型考法 3 双曲线与直线 典型例题 已知以原点O 为中心， )0,5(F 为右焦点的双曲线 C 的实轴与焦 距之比为 2 5： ． (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； (2)如图 8-2-2，已知过点 1 1( , )M x y 的直线 1l ： 1 14 4x x y y  与过 点 2 2( , )N x y （其中 2 1x x ）的直线 2l ： 2 24 4x x y y  的交点 E 在双 曲线C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、 H 两点，求 OG OH    的值． 解析 (1)设 C 的标准方程是 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b    ， ，则由题意得 5c  ， 2 5 a c  ， 因此 2a  ， 2 2 1b c a   ，所以 C 的标准方程为 2 2 14 x y  ，C 的渐近线方程为 .0202,2 1  yxyxxy 和即 (2)方法一：如图 8-2-5，由题意，点 ),( EE yxE 在直线 1l ： 1 14 4x x y y  和 2l ： 图 8-2-2 2 24 4x x y y  上，因此有 EEE xxyyxx 211 ,44  44 2  Eyy ，故点 M、N 均在直线 44  yyxx EE 上，因此直线 MN 的方程为 4 4E Ex x y y  ，设 G、H 分别是直线 MN 与 渐 近 线 02  yx 及 02  yx 的 交 点 ， 由 方 程 组 4 4 2 0 E Ex x y y x y      及 4 4 2 0 E Ex x y y x y      ，解得 4 2 2 2 G E E G E E x x y y x y       ， 4 2 2 2 H E E H E E x x y y x y       ，故 4 4 2 2 2 2 2 2E E E E E E E E OG OH x y x y x y x y           2 2 12 4E Ex y   ， 因 为 点 E 在 双 曲 线 2 2 14 x y  上 ， 所 以 ， 有 2 24 4E Ex y  ， 从 而 2 2 12 34E E OG OH x y      ． 方法二：设 ),( EE yxE ，由方程组得 1 1 2 2 4 4 4 4 x x y y x x y y      ，解得 2 1 1 2 2 1 4( ) E y yx x y x y   ， 1 2 1 2 2 1 E x xy x y x y   ， 故 直 线 MN 的 方 程 为 1 1( )4 E E xy y x xy     ， 注 意 到 1 14 4E Ex x y y  ，因此，直线 MN 的方程为 44  yyxx EE ．下同方法一． 必杀技： 综合运用基础知识与基本方法 本题主要考查双曲线的标准方程、渐近线方程等基础知识；并以对这些基础知识的考 查为依托，考查了对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与 创新意识． 如果进一步探究，易得，本题中的直线 1l 、 2l 与椭圆 2 2 14 x y  相切，而直 线 MN 是双曲线 14 2 2  yx 的切线，于是，我们提出如下问题： 答案： 2 2OG OH a b    ，直线 MN 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的切线，且还可求得 GOH 的面积为 ab ．证明过程留给读者自行完成，这里不再赘述． 实战演练 1．设直线l ： y kx m  （其中 ,k m 为整数）与椭圆 2 2 116 12 x y  交于不同的两点 A 、 B ，与双曲线 2 2 14 12 x y  交于不同的两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得 0AC BD    成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 2．已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   右支上任意一点 E 作抛物线 2 2 ( 0)y px p   的两切线， 两切点 M ， N 所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G ， H 两点，试问： (1)是否存在正实数 p ，使得OG OH  为定值？ (2)是否存在正实数 p ，使得 2 2 1 1 | | | |OG OH   为定值？ 3．已知双曲线C ： 2 2 12 x y  ． (1)已知点 M 的坐标为 (01)， ．设 P 是双曲线C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点， 记 MP MQ    ．求  的取值范围； (2)已知点 D 、 E 、 M 的坐标分别为 ( 2 1) ， 、 (2 1)， 、 (0 1)， ， P 为双曲线C 上 在第一象限内的点．记l 为经过原点与点 P 的直线，s 为 DEM△ 截直线l 所得线段的长．试 将 s 表示为直线l 的斜率 k 的函数． 参考答案： 1 ． 存 在 直 线 y kx m  ， 其 中 1 0 1 0 0 0 k k k m m m              ， ， ， 0 0 0 3 2 1 k k k m m m                ， ， ， 0 0 0 0 0 1 2 3 k k k k m m m m                  ， ， ， 共 9 条． 提示：方法一：将直线 l 的方程分别与椭圆、双曲线的方程联立方程组，并利用韦达 定理及 0AC BD    可得 分别讨论 0k  及 0m  的对应情形，即可得所求结果． 方法二：设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ， 3 3( )C x y， ， 4 4( )D x y， ，利用点差法可得 1 2 1 2 4 ( )3x x k y y    ， 3 4 3 4( )x x k y y   ，再由 0AC BD    可得 1 2 3 4x x x x   ， 1 2 3 4y y y y   ， 因 此 ， 便 有 1 2 1 2 4 ( )3 k y y y y    ， 所 以 0k  或 1 2 1 2 0x x y y    ．若 1 2 0x x  ，则点 A 与 B 关于原点对称，此时直线 AB 过原点， 有 0m  ．因此，有 0k  及 0m  ．以下同方法一． 注：我们可将本题推广为： 结论 1： 结论 2： 以上结论的证明，读者可自行完成． 2．(1)不存在。提示： (2)不存在，同(1)的方法． 3．(1) ( 1] ， 。 (2)   2 2 2 2 2 11 (0 ]1 2 2 1 1 21 ( )2 2 k kks k k k kk k          ， ， 提示：若 P 为双曲线 C 上第一象限内的 点，则直线 l 的斜率 2(0 )2k  ， ，由计算可得，当 1(0, ]2k  时，   2 2 2 11s k kk   ；当 1 2( )2 2k  ， 时 ，   2 2 2 1 1ks k kk k   ， ∴ s 表 示 为 直 线 l 的 斜 率 k 的 函 数 是   2 2 2 2 2 11 (0 ]1 2 2 1 1 21 ( )2 2 k kks k k k kk k          ， ， ． 典型考法 4 双曲线与圆 典型例题 已知双曲线C ： 2 2 2 1( 0 )2 x y aa    的实轴长与焦距的比为1 3： ． (1)求双曲线C 的方程； (2)设直线l 是圆O ： 2 2 2x y  上动点 0 0 0 0( )( 0)P x y x y ， 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点 A ， B ，证明 AOB 的大小为定值． 解析 (1)由题意，得 2 2 2 3 c a c a     ，解得 1a  ， 3c  ，∴所求双曲线 C 的方程为 2 2 12 yx   ． (2)方法一：点   0 0 0 0, 0P x y x y  在圆 2 2 2x y  上，则圆在点  0 0,P x y 处的切线 方 程 为 0 0 2x x y y  ， 由 2 2 0 0 12 2 yx x x y y       及 2 2 0 0 2x y  得  2 2 2 0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x     ，∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 2 00 2x  ，∴ 2 03 4 0x   ，且   2 2 2 0 0 016 4 3 4 8 2 0x x x      ，设 A、B 两点的坐 标 分 别 为  1 1,x y ，  2 2,x y ， 则 0 1 2 2 0 4 3 4 xx x x    ， 2 0 1 2 2 0 8 2 3 4 xx x x   ， ∵ cos OA OBAOB OA OB        ，且 1 2 1 2OA OB x x y y       1 2 0 1 0 22 0 1 2 2x x x x x xy      2 1 2 0 1 2 0 1 22 0 1 4 22x x x x x x x xx        2 2 0 0 2 2 0 0 8 2 2 8 03 4 3 4 x x x x      ．∴ AOB 的 大小为90 ．．w．k．s．5．u．c．o．m 方法二：点   0 0 0 0, 0P x y x y  在圆 2 2 2x y  上，圆在点  0 0,P x y 处的切线方程 为 0 0 2x x y y  ．由 2 2 0 0 12 2 yx x x y y       及 2 2 0 0 2x y  得  2 2 2 0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x     ①  2 2 2 0 0 03 4 8 8 2 0x y y x x     ② ∵切线l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，∴ 2 03 4 0x   ，设 A、B 两点的坐标分别 为    1 1 2 2, , ,x y x y ，则 2 2 0 0 1 2 1 22 2 0 0 8 2 2 8,3 4 3 4 x xx x y yx x     ，∴ 1 2 1 2 0OA OB x x y y     ， ∴ AOB 的大小为90 ．（∵ 2 2 0 0 2x y  且 0 0 0x y  ，∴ 2 2 0 00 2,0 2x y    ，从而当 2 03 4 0x   时，方程①和方程②的判别式均大于零）． 必杀技： 综合运用基础知识与基本方法 本例主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程、向量等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．将本题作进一步的探究， 可得如下结论： 实战演练 1．从双曲线 2 2 19 16 x y  的左焦点 F 引圆 2 2 9x y  的切线，切点为T ，延长 FT 交双曲线右支于点 P ．若 M 为线段 FP 的中点．O 为坐标原点，则| | | |MO MT  ． 2．已知双曲线 12 2 2 2  b y a x 的渐近线方程为 3 3  y x ，左焦点为 F，过 ( 0)A a， ， (0 )B b， 的直线为l ，原点到直线l 的距离是 3 2 ． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y x m  交双曲线于不同的两点 C，D，问是否存在实数 m ，使得以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F．若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 3．若动圆 P 恒过定点 (2 0)B ， ，且和定圆C ： 2 2( 2) 4x y   外切． (1)求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程； (2)若过点 B 的直线l 与曲线 E 交于 M 、N 两点，试判断以 MN 为直径的圆与直线 m ： 1 2x  是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由． 参考答案： 1． 1. 提示：如图 8-2-3， 注：本题可进一步推广，具体为： 结论一： 结论二： 2．(1) 2 2 13 x y  . (2) 3 2m   . 提示：把 y x m  代入 2 23 3x y  中消去 y，整理得 2 22x 6mx 3m 3 0    ． 设 1 1C x y( , ) ， 2 2D x y( , ) 则 1 2 3x x m   ， 2 1 2 3 3 2 mx x  ， ( 2 0)F  ， ，因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 0FC FD   ，可得 1 2 1 2x 2 x 2 y y 0( )( )    ，把 1 1y x m  ， 2 2y x m  代入，解 得： m 3 2  ，由 0  ，得 2m 2 ， m 3 2   满足 0  ． 3． (1) 2 2 1( 0)3 yx x   . (2) 相交，且截得劣弧所对圆心角的弧度数为 2 3  ． 提示： 注：本题也可利用方程从代数角度换算来判断，即设 l 的方程，利用弦长公式和点到直线 距离公式得圆心距和半径，直接比较可得，读者可自行完成，不再赘述． 考点 3 抛物线 典型考法 1 抛物线的最值问题 典型例题 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 (3 0)F ， 的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求点 P 的轨迹 C； (2)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值. 解析(1)设点 P 的坐标为（x，y），则 2 24 ( 3)d x y    3| 2 |x  . 由题设 当 x>2 时，由①得 2 2 1( 3) 6 2x y x    ，化简得 2 2 136 27 x y  ； 当 2x  时，由①得 2 2(3 ) 3x y x    ，化简得 2 12y x ， 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 1C ： 2 2 136 27 x y  在直线 x=2 的右侧部分与 图 8-3-1 抛物线 2C ： 2 12y x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线． （Ⅱ）如图 8-3-1 所示，易知直线 x=2 与 1C ， 2C 的交点都是 A（2，2 6 ），B（2， 2 6 ）， 直线 AF，BF 的斜率分别为 AFk = 2 6 ， BFk = 2 6 ． 当点 P 在 1C 上时，由②知 16 2PF x  ④ 当点 P 在 2C 上时，由③知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3PF x  ⑤ 若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 ( 3)y k x  （i）当 k≤ AFk ，或 k≥ BFk ，即 k≤-2 6 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ 1x ， 1y ），N（ 2 x ， 2 y ）都在 C 1 上，此时由④知∣MF∣=6 - 1 2 1x ，∣NF∣=6 - 1 2 2 x ， 从而 ∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - 1 2 1x ）+ （6 - 1 2 2 x ）=12 - 1 2 ( 1x + 2 x )， 由 2 2 ( 3) 136 27 y k x x y     得 2 2 2 2(3 4 ) 24 36 108 0k x k x k     则 1x ， 1y 是这个方程的两 根，所以 1x + 2 x = 2 2 24 3 4 k k ×∣MN∣=12 - 1 2 （ 1x + 2 x ）=12 - 2 2 12 3 4 k k ，因为当 2 6k  或 2 6k  时， 2 24k  ， 2 2 2 12 12 10012 12 13 4 114 kMN k k       ，当且仅当 2 6k   时，等号成立． (ii)当 AE ANk k k  ， 2 6 2 6k   时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y 分 别 在 1C ， 2C 上 ， 不 妨 设 点 M 在 1C 上 ， 点 2C 上 ， 则 ④ ⑤ 知 ， 1 2 16 , 32MF x NF x    ，设直线 AF 与椭圆 1C 的另一交点为 E 0 0( )x y， ，则 0 1x x ， 2 2x  ， 1 0 2 1 16 6 , 3 3 22 2MF x x EF NF x AF          ，所以 MN MF NF EF AF AE     ． 而点 A，E 都在 1C 上，且 2 6AEk   ，有（1）知 100 11AE  ，所以 100 11MN  ， 若直线 的斜率不存在，则 1x = 2x =3，此时， 1 2 1 10012 ( ) 92 11MN x x     ，综上所 述，线段 MN 长度的最大值为100 11 ． 必杀技： 利用求函数最值的方法+抛物线的性质 本节可参看第八章考点 1 的相关内容，不再赘述．值得注意的是本例中的点 (3 0)F ， 是 题中的椭圆与抛物线的公共焦点，可将本例推广： 实战演练 1．已知圆C 的圆心在抛物线 2 2x py （ 0p  ）上运动，且圆C 过点 (0 )A p， ，若 MN 为圆C 在 x 轴上截得的弦，设 1| |AM l ， 2| |AN l ，则 1 2 2 1 l l l l  的取值范 围是 ． 2．如图 8-3-2， P 是抛物线 2 2y x 上的动点，点 B C, 在 y 轴上，圆 2 2( 1) 1x y   内切于 PBC ，则 PBC 面积的最小值为 ． 3．如图 8-3-3，已知点 ( 3, 0)H  ，动点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴上， 图 8-3-3 图 8-3-2 其横坐标不小于零，点 M 在直线 PQ 上，且满足 0HP PM   ， 3 2PM MQ   . (1)当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹C ； (2)过定点 (1, 0)F 作互相垂直的直线l 与l ，l 与(1)中的轨迹C 交于 A 、B 两点，l 与 （1）中的轨迹C 交于 D 、 E 两点，求四边形 ADBE 面积 S 的最小值； (3)将(1)中的曲线 C 推广为椭圆： 2 2 2 2 1x y a b   ，并将(2)中的定点取为原点，求与(2) 相类似的问题的解． 参考答案： 1． (1)[2 2 2]， . 提示：如图 8-3-4， 在 AMN 中利用面积公式及余弦定理可得 2．8 . 提示： 方法一： 如图 8-3-5， 方法二：同方法一， 图 8-3-5 图 8-3-4 注：利用本例的方法一，可得出一个一般性的结论： 3．(1) 点 M 的轨迹C 的方程为 2 4y x ，它表示以原点为顶点，以 1,0 为焦点的抛 物线； (2)32 . 提示：将直线l 的方程与C 的方程联立并利用韦达定理可得  2 2 4 1 k AB k   ， 同理  24 1DE k  ，则 2 2 1 18 2 322S AB DE k k         ≥ ，当且仅当 1k   时 等号成立，因此四边形 ADBE 面积 S 的最小值为32 ． (3) 2 2 2 2 4a b a b . 提 示 ： 同 (2) 可 得 2 2 2 2 2 1ab kAB b a k   ， 2 2 2 2 2 1ab kDE b k a   ， 则      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 a b k S AB DE b a k b k a       ，其中 2 0k  ，若令 21u k  ，则由      2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 221 b a k b k a c cv a b u uk          22 22 4 1 1 2 4 a b c u       ， 其中 1u  ，即 10 1u   ，故当且仅当 2u  ，即 2 1k  时， v 有最大值  22 2 4 a b ， 由 2 22a bS v  ，得 S 有最小值 2 2 2 2 4a b a b ；又当 0k  时， 2 2 2 2 42 a bS ab a b    ，故当且仅当 1k   时，四边形 ADBE 面积 S 有最小值为 2 2 2 2 4a b a b ． 考点 3 抛物线 典型考法 2 与抛物线有关的定点、定值问题 典型例题 已知动圆过定点 ( 0)2 p ， ，且与直线 2 px   相切，其中 0p  . (1)求动圆圆心C 的轨迹的方程； (2)设 A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为 和  ，当 、 变化且  为定值 (0 )    时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该 定点的坐标. 解析(1)如图 8-3-6，设 M 为动圆圆心，记 ,02 p     为 F ，过点 M 作 直线 2 px   的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF MN 即动点 M 到 定点 F 与定直线 2 px   的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹 为抛物线，其中 ,02 pF      为焦点， 2 px   为准线，∴轨迹方程为 2 2 ( 0)y px p  ． (2)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意得 1 2x x （否则    ）且 1 2, 0x x  ，∴直 线 AB 的斜率存在，设其方程为 y kx b  ，显然 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx xp p   ，将 y kx b  与 2 2 ( 0)y px P  联立消去 x ，得 2 2 2 0ky py pb   ，由韦达定理知 1 2 2py y k   ， 1 2 2pby y k   ① (ⅰ)当 2   时，即 2    时， tan tan 1   ，∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 1, 0y y x x y yx x     ， 图 8-3-6 2 2 1 2 1 22 04 y y y yp   ，∴ 2 1 2 4y y p ，由①知： 22 4pb pk  ，∴ 2b pk ，因此直线 AB 的 方程可表示为 2y kx pk  ，即 ( 2 ) 0k x p y   ，∴直线 AB 恒过定点 2 ,0p ． (ⅱ)当 2   时，由    ，得 tan tan( )    = tan tan 1 tan tan       = 1 2 2 1 2 2 ( ) 4 p y y y y p   ， 将①式代入上式整理化简可得： 2tan 2 p b pk    ，则 2 2tan pb pk  ，此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx  2 2tan p pk  即 2( 2 ) 0tan pk x p y         ，∴直线 AB 恒过定 点 22 , tan pp      . 综上，由(ⅰ) 、(ⅱ)知，当 2   时，直线 AB 恒过定点 2 ,0p ，当 2   时直线 AB 恒过定点 22 , tan pp      . 必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则 具体可参见本章考点 1 的典型考法 2．本例的(2)可推广为： 结论一： 结论二： 由此，可得下面的推论： 实战演练 1．过抛物线  022  ppxy 的焦点 F 作一条倾斜角为 4  的直线与抛物线相交于 A ， B 两点． (1)用 p 表示 A ， B 之间的距离； (2)证明： AOB 的大小是与 p 无关的定值，并求出这个值． 2．如图 8-3-7，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 2 8y x 的焦点 F， 且与抛物线交于 A、B 两点． (1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； (2)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明： |FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值． 3．已知曲线 C 是到点 1 3 2 8P    ， 和到直线 5 8y   距离相等的点 的轨迹．l 是过点 ( 1 0)Q  ， 的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点； A ， B 在l 上， MA l ， MB x 轴（如图 8-3-8）． (1)求曲线C 的方程； (2)求出直线l 的方程，使得 2QB QA 为常数． 参考答案： 1．(1) 4AB p . (2) 3 41arccos 41   . 提示： 2 2 2 cos 2 AO BO ABAOB AO BO    图 8-3-8 图8-3-7 =        2 22 2 2 2 2 2 2 22 A A B B A B A B A A B B x y x y x x y y x y x y                  41 413 42 422 2 2 2222       pxxpxxxx pxxpxx yxyx yyxx BABABA BABA BBAA BABA ． 注：过抛物线  022  ppxy 的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，则 2 2 sin pAB  ． 2．(1) （2，0）， 2x   . (2) | | | | cos2 8FP FP a  （定值）. 提示：方法一：如图 8-3-9， 作 AC⊥l，BD⊥l，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|，|FB|=|BD|， 记 A、B 的横坐标分别为 xA 、xB，则 2A pFA AC x  ＝ ＝ | | cos 4FA a  ，解得 4| | 1 cosFA a   ，类似 地有| | 4 | | cosFB FB a  ，解得 4| | 1 cosFB a   ．记直线 m 与 AB 的交点 为 E ， 则 | | | | | |FE FA AE   | | | || | 2 FA FBFA   2 4cos sin a a ， 所 以 2 | | 4| | cos sin FEFP a a   ．故 2 4| | | | cos2 (1 cos2 ) 8sinFP FP a aa     ． 方法二：设 ( , )A AA x y ， ( , )B BB x y ，直线 AB 的斜率为 tank a ，则直线方程为 ( 2)y k x  ． 将 此 式 代 入 2 8y x ， 得 2 2 2 24( 2) 4 0k x k x k    ， 故 2 2 ( 2) A B k kx x k   ．记直线 m 与 AB 的交点为 ( , )E EE x y ，则 2 2 2( 2) 2 A B E x x kx k    ， 4( 2)E Ey k x k    ，故直线 m 的方程为 2 2 4 1 2 4ky xk k k        ，令 y=0，得 P 的横 坐 标 2 2 2 4 4P kx k   ， 故 | |FP  2 2 2 4( 1) 42 sinP kx k a    ， 从 而 2 4| | | | cos2 (1 cos2 ) 8sinFP FP a aa     为定值． 图 8-3-9 3．(1) 21 ( )2y x x  . (2) 直线l ： 2 2 0x y   ， 2| | 5 5| | QB QA  ． 提示： 方 法 一 ： 设 2 2 x xM x     ， ， 直 线 :l y kx k  ， 则 ( )B x kx k， ， 从 而 2| | 1 | 1|QB k x   ． 在 Rt QMA△ 中 ， 因 为 2 2 2| | ( 1) 1 4 xQM x       ， 2 2 2 2 ( 1) 2| | 1 xx k MA k       ． 所 以 2 2 2 2 2 2 ( 1)| | | | | | ( 2)4(1 ) xQA QM MA kxk     ， 2 | 1| | 2 || | 2 1 x kxQA k     ， 2 2 2| | 2(1 ) 1 1 2| | | | QB k k x QA k x k      ．当 2k  时， 2| | 5 5| | QB QA  ， 从而所求直线l 方程为 2 2 0x y   ． 方 法 二 ： 设 2 2 x xM x     ， ， 直 线 :l y kx k  ， 则 ( )B x kx k， ， 从 而 2| | 1 | 1|QB k x   ．过Q ( 1 0) ， 垂直于l 的直线 1 1: ( 1)l y xk    ．因为| | | |QA MH ， 所以 2 | 1| | 2 || | 2 1 x kxQA k     ， 2 2 2| | 2(1 ) 1 1 2| | | | QB k k x QA k x k      ． 典型考法 3 抛物线与直线 典型例题 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的对称轴上一点   0 0A a a ， 的直线与抛物线相交于 M 、 N 两点，自 M ， N 向直线l ： x a  作垂线，垂足分别为 1M 、 1N ．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m （Ⅰ）当 2 pa  时，求证： 1AM ⊥ 1AN ； （Ⅱ）记 1AMM 、 1 1AM N 、 1ANN 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，是否存在  使得对任意的 0a  ，都有 2 2 1 3S S S 成立？若存在，求出  的值；若不存在，说明理由． 解析（Ⅰ）证法一：如图 8-3-10， 证法二： 证法三： 证法四：如图 8-3-11 图 8-3-10 图 8-3-11 （Ⅱ）存在 4  ，使得对任意的 0a  ，都有 2 2 1 3S S S 成立，证明如下： 证法一： 证法二：如图 8-3-12， 图 8-3-12 图 8-3-13 必杀技： 综合运用基础知识与基本方法 本例主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识．通过分级设 问，问题难度依次增加，能有效区分考生的数学层次． 纵观近几年的高考数学试题，“依纲扣本”是命题的主方向，数学课本成了高考命 题取之不尽、用之不竭的源泉．本例题起点低，入手易，根植课本，拓展创新，完美地诠 释了高考试题“源于教材，高于教材”的命题理念． 对于本例的（Ⅰ）是抛物线的几何性质为背景，探究动弦下的确定的位 置关系，而抛物线的焦点弦中，还蕴含着三个垂直关系和三个相切关系． 我们可将其作纵向延伸，具体为： 延伸一： （如图 8-3-13） （如图 8-3-14） （如图 8-3-15） 延伸二： 图 8-3-14 图 8-3-15 对于上述延伸二，我们还可作横向拓展，具体为： 拓展一： 拓展二： 进一步反思本例的（Ⅱ），我们便会发现，抛物线具有如下性质： 定理一： 对于椭圆及双曲线是否也有类似的性质？回答是肯定的，即有如下的两个定理，具体 为： 定理二： 定理三： 对于以上定理的证明，这里不再赘述． 实战演练 1．已知点 F（1，0），直线 l： 1x   ，P 为平面上的动点，过 P 作 l 的垂线，垂足为 点 Q，且 · ·QP QF FP FQ    ＝ . （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M．设 1MA AF  ， 2MB BF  ，求 1 2  的值． 2． 如图 8-3-16，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 (0, )C c 任作一直线，与抛物线 2y x 相交于 A ， B 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分 别与线段 AB 和直线l ： y c  交于 P ，Q ． (1)若 2OA OB   ，求 c 的值； (2)若 P 为线段 AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； (3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． 3．已知 BA、 是抛物线 xy 42  上的相异两点． (1)设过点 A 且斜率为1 的直线 1l ，与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于点 P(4，4)， 求直线 AB 的斜率； (2)问题(1)的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线，过该圆锥曲线上的相异 两点 A、B 所作的两条直线 21 ll 、 相交于圆锥曲线上一点；结论是关于直线 AB 的斜率的 值．请你对问题(1)作适当推广，并给予解答； (3)若线段 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 )0( 0，xQ ．设 50 x ， 试用线段 AB 中点的纵坐标表示线段 AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围． 参考答案： 1．（1） 2 4y x . (2)0 . 提示： 方法一：基本方法---------解析法 图 8-3-16 注：在此方法中，须关注以下几点： 第一：抛物线上的的点到焦点的距离与到准线的距离相等，由此，可以把斜线段化为 水平线段，水平线段又可用点的坐标表示；第二：韦达定理的运用；第三：选取表达式的 整体考虑：(1)在 1 ， 2 表达式的选取时，有一个计算简捷与否的考虑；(2)方程 的设法有讲究．第四：这是一个代数解法，通过数的运算解决几何问题． 方法二：将向量关系转化为比例关系 由已知 1MA AF  ， 2MB BF  ，结合图 8-3-17 便知 1 2 0   ， 注：第一：这个解法是一个几何解法；第二：再次体会斜的线段化为水平线段这一基 本特性；第三：重要数学思想方法------------数形结合思想方法的应用． 本题的(2)可以纵向延伸： 命题一： 命题一的逆向变式： 命题二： 本题的(2)也可以横向拓展： 命题三： 图 8-3-17 命题四： 2． (1) 2c  提示： 方法一： 注：关键在于揭示隐含条件：“ 1 2k x x  ” 方法二： 注：关键在于揭示隐含条件：“ 1 2c x x  ” 方法三： 方法四： 注：本小题也可从特殊情形或极端情形入手获解． (2) 方法一： 方法二： 方法三： 注：以上三种常规解法（通法）的关键是证明“过 A 点(Q 点)且以切线斜率 12x 为斜 率的直线必通过Q 点( A 点)”． 方法四： 方法五： 注：注：以上两种常规解法（通法）的关键是证明 AQ Ak k ． 方法六： 方法七： 注：方法六与七的关键是证明“ 0  ”． 方法八： 注：方法八的关键是证明“过Q 点与抛物线相切的左切线的切点是 A 点”． 方法九： 注：方法九的关键在于揭示了隐含条件“ A ， B 两点是对称的”，从而减少了计算量． (3) 逆命题成立． 方法一： 方法二： 注：审题时要深挖题中“隐含条件”，否则，解题不畅、不全、不准，像本题中的 1 0x  就较易忽视（因 1 0x  时，直线与轴将会重合，与题设不符）． 方法三： 对(1)作进一步的探究，便可得以下关于抛物线弦的性质： 性质 1： 对(2)作进一步的探究，便可得以下关于抛物线切线的性质： 性质 2： 性质 3： 性质 4： 对于抛物线相关性质，同样可以类比拓展到椭圆及双曲线，读者可仿上作探究， 限于篇幅，不再赘述． 3．(1) 2 1 . (2)推广可分三层. 一层：点 P 到一般或斜率到一般，或抛物线到一般 例：1．已知 BA、 是抛物线 xy 42  上的相异两点．设过点 A 且斜率为1 的直线 1l ， 与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42  上的一定点 P ),4( 2 tt ，求直线 AB 的 斜率； 2．已知 BA、 是抛物线 xy 42  上的相异两点．设过点 A 且斜率为k 的直线 1l ，与 过点 B 且斜率为 k 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42  上的一点 P（4，4），求直线 AB 的斜率； 3．已知 BA、 是抛物线 )0(22  ppxy 上的相异两点．设过点 A 且斜率为1 的直 线 1l ，与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 )0(22  ppxy 上的一定点 P ),2( 2 tp t ，求直线 AB 的斜率； AB 的斜率的值． 二层：两个一般或推广到其它曲线 例：4．已知点是抛物线 xy 42  上的定点．过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直 线 21 ll 、 ，分别交抛物线于 A、B 两点，试计算直线 AB 的斜率． 三层： （对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．） 例：5．已知抛物线 pxy 22  上有一定点 P，过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直 线 21 ll 、 ，分别交抛物线于 A、B 两点，试计算直线 AB 的斜率． 略解：过点 P（ 00 , yx ），斜率互为相反数的直线可设为 00 )( yxxky  ， 00 )( yxxky  ，其中 0 2 0 2pxy  ．由      pxy yxxky 2 )( 2 00 得 022 2 00 2  kypypyky ，所以 )2,2 )2( ( 0 2 0 yk p p yk p A   ，同理，把上式中 k 换 成 k 得 )2,2 )2( ( 0 2 0 yk p p yk p B   ，所以当 P 为原点时直线 AB 的斜率不存在，当 P 不 为原点时直线 AB 的斜率为 0y p ． (3) 488 24  mm yyl （ 3232  my ） 典型考法 4 抛物线与圆 典型例题 若 m 是非零实数，抛物线C ： 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 在直线l ： 2 02 mx my   上． （Ⅰ）若 m＝2，求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线C 的准线的垂直， 垂足为 A1，B1，△AA1F，△BB1F 的重心分别为 G，H.求证：对任意非零实数 m，抛物线C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外． 解析（Ⅰ）因为焦点 ( 0)2 pF ， 在直线 l 上，得 p=m2，又 m=2，故 p=4．所以抛物线 C 的方程为 y2＝8x． （Ⅱ）方法一：（如图 8-3-18） 方法二： 图 8-3-18 方法三：（同方法二） 必杀技： 平面几何知识与所给图形特征相结合 本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时 考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力． 本题的（Ⅱ）可推广为一般情形： 定理： 证明：如图 8-3-19， 实战演练 1．设 0p  是一常数，过点 (2 ,0)Q p 的直线与抛物线 2 2y px 交于相异两点 A、B， 以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面 积最小时直线 AB 的方程． 2．已知抛物线C ： 2 4y x 的焦点为 F，过点 ( 1 0)K  ， 的直线l 与C 相交于 A 、B 两 点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D． （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； 图 8-3-19 （Ⅱ）设 8 9FA FB   ，求 BDK 的内切圆 M 的方程． 3． 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0 )C p， 作直线与抛物线 2 2x py （ 0p  ） 相交于 A ， B 两点． （I）若点 N 是点C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB△ 面积的最小值； （II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定 值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 1．圆面积最小时的直线 AB 的方程为： 2x p . 提示：方法一：只须证明OA OB ， 即证 0A B A BOA OB x x y y     ． 方法二：求出 A 、B 两点所在圆的方程 2 2 22 ( 2) 2 0x y p k x pky     ，原点O 的 坐标满足此方程，以下同方法一． 方法三：同方法一， 注：该题解法较多，关键在于半径的获取方式，把圆的背景融入其中，使其蒙上一层 神秘面纱，通过逆向分析可揭开面纱．由“以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）”证“抛 物线顶点在圆 H 的圆周上”，要么证 OA OB ，要么求出圆 H 方程后验证抛物线顶点满 足圆 H 的方程；“圆 H 的面积最小”即半径最小，可直接构造函数（一元或二元）研究， 也可由直径间接讨论．无论采用哪种方式，利用方程组，构造函数这一常规思路蕴含其中， 这是解决直线与圆锥曲线综合类最值问题的通法． 2．(Ⅰ)证略．提示：方法一：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1 1( , )D x y ， l 的方程为 1( 0)x my m   ． 将 1x my  代 入 2 4y x 并 整 理 得 2 4 4 0y my   ， 从 而 1 2 1 24 , 4y y m y y   ，直线 BD 的方程为 2 2 2 2 1 4 ( )4 yy y xy y    ，令 0y  ，得 1 2 14 y yx   ，所以，点 F(1，0)在直线 BD 上． 方法二： 注： 方法三： 注： （ Ⅱ ） 2 21 4( )9 9x y   . 提 示 ： 方 法 一 ： 由 （ Ⅰ ） 知 ， 2 1 2 1 2( 1) ( 1) 4 2x x my my m       ， 1 2 1 2( 1)( 1) 1x x my my    ． 因 为 1 1( 1 )FA x y  ，uur ， 2 2( 1, )FB x y  uur ， 1 2 1 2( 1)( 1)FA FB x x y y      uur uur 1 2 1 2( ) 1 4x x x x    28 4m  ， 故 2 88 4 9m  ，解得 4 3m   ，所以l 的方程为3 4 3 0,3 4 3 0x y x y      ， 又由（Ⅰ）知 2 2 1 4(4 ) 4 4 73y y m       ，故直线 BD 的斜率 2 1 4 3 7y y   ， 因而直线 BD 的方程为 3 7 3 0x y   ， 3 7 3 0x y   ，因为 KF 为 BKD 的平分 线，故可设圆心 ( ,0)( 1 1)M t t   ， ( ,0)M t 到l 及 BD 的距离分别为 3 1 3 1,5 4 t t  ．由 3 1 3 1 5 4 t t  得 1 9t  ，或 9t  （舍去），故 圆 M 的半径 3 1 2 5 3 tr   ．所以圆 M 的方程为 2 21 4( )9 9x y   ． 方法二： 3．（Ⅰ） 22 2 p . 提示：方法一： 依题意，点 N 的坐标为 (0 )N p， ，可设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，直线 AB 的方程为 y kx p  ，与 2 2x py 联立得 2 2x py y kx p      ， ． 消去 y 得 2 22 2 0x pkx p   ．由韦达定 理得 1 2 2x x pk  ， 2 1 2 2x x p  ．于是 1 2 1 22ABN BCN ACNS S S p x x   △ △ △ · ． 2 1 2 1 2 1 2( ) 4p x x p x x x x     2 2 2 2 24 8 2 2p p k p p k    ， ∴当 0k  时， 2 min( ) 2 2ABNS p△ ． 方法二：前同方法一，再由弦长公式得 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8AB k x x k x x x x k p k p         · · 2 22 1 2p k k  · ， 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 pd k   ．从而 2 2 2 2 2 1 1 22 1 2 2 22 2 1ABN pS d AB p k k p k k       △ ·· · · · ， ∴当 0k  时， 2 min( ) 2 2ABNS p△ ． （Ⅱ）存在，且该直线可为抛物线的通径所在的直线.提示： 方法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y a ，AC 的中点为O ，l 与 AC 为 直径的圆相交于点 P ，Q PQ， 的中点为 H ，则O H PQ  ，Q 点的坐标为 1 1 2 2 x y p     ， ． 2 2 1 1 1 2 2O P AC y p   ∵ ， 1 1 1 22 2 y pO H a a y p      ， 2 2 2PH O P O H  ∴ 1 ( )2 pa y a p a       ， 2 2(2 )PQ PH∴ 14 ( )2 pa y a p a          ． 令 02 pa   ，得 2 pa  ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为 2 py  ，即抛物线的通径所在的直线． 方法二：假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y a ，则以 AC 为直径的圆的方程为 1 1( 0)( ) ( )( ) 0x x x y p y y      ，将 y a 代入得 2 1 1( )( ) 0x x x a p a y     ，则 2 1 1 14( )( ) 4 ( )2 px a p a y a y a p a              △ ．设直线 l 与以 AC 为直径的圆的 交点为 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则有 3 4 12 ( )2 pPQ x x a y a p a         ． 令 02 pa   ，得 2 pa  ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为 2 py  ，即抛物线的通径所在的直线．