【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的概念及其线性运算 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的概念及其线性运算 学案

第1讲　平面向量的概念及其线性运算 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．‎ 规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ 考点2　向量的线性运算 考点3　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎[必会结论]‎ ‎ [考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)‎ ‎(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)‎ ‎(3)＝－.(　　)‎ ‎(4)向量a－b与b－a是相反向量．(　　)‎ ‎(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√‎ ‎2．[课本改编]如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)‎ A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0‎ 答案　C 解析　由－＝＝－，故C错误．‎ ‎3．[课本改编]设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)‎ A.＋＝0 B.＋＝0‎ C.＋＝0 D.＋＋＝0‎ 答案　B 解析　∵＋＝2，∴P为AC的中点，∴＋＝0.选B.‎ ‎4．[2018·温州模拟]已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ＝________.‎ 答案　－ 解析　设a＋λb＝k[－(b－‎3a)]＝3ka－kb，∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－.‎ ‎5．[2015·北京高考]在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 答案　　－ 解析　由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝ ‎－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　平面向量的概念　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；‎ ‎ ③若A，B，C，D是不共线的四点，则＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　③‎ 解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．‎ ‎③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ 故填③.‎ 触类旁通 对于向量的概念应注意的问题 ‎(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段 表示，字母表示，也可以用坐标表示．‎ ‎(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．‎ ‎(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．‎ ‎(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的．‎ ‎【变式训练1】　设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.‎ 考向　平面向量的线性运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 命题角度1　向量加减法的几何意义 例2　[2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|＞|b|‎ 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋‎2a·b＝a2＋b2－‎2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 解法二：利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.‎ 故选A.‎ 命题角度2　向量的线性运算 例3　[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，＝‎ ‎3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　＝＋＝＋＝＋(－‎ )＝－＝－＋.故选A.‎ 命题角度3　利用向量的线性运算求参数 例4　[2018·唐山模拟]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝‎ ‎30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 答案　0≤μ≤ 解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.‎ ‎∵点E在线段CD上，‎ ‎∴＝λ(0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ ‎∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.‎ 触类旁通 平面向量线性运算的一般规律 ‎(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．‎ ‎(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ 考向　共线向量定理的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例5　设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1‎ ‎＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解　(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，‎ ‎∴＝2.‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ ‎∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ ‎∴＝λ(λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ 得 解得k＝12.‎ 触类旁通 怎样用向量证明三点共线问题 两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点)，则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线．‎ ‎【变式训练2】　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明　(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ 核心规律 ‎1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．‎ ‎2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合．‎ ‎3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．‎ 满分策略 ‎1.‎ 两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎2.零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．‎ ‎3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系．向量与是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上．‎ ‎4.向量共线的充要条件中要注意“a≠‎0”‎，否则λ可能不存在，也可能有无数个.‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列 7——向量线性运算中的易错点 ‎[2018·铁岭模拟]已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 错因分析　本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义．求解该题时容易出现两个问题：一是不能根据＋＋＝0分析出点M与△ABC之间的关系；二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出，与之间的关系．‎ 解析　解法一：由＋＋＝0，知点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则由向量加法，可知＋＝2.‎ 由重心的性质，可知||＝||，‎ 而且与同向，故＝，‎ 所以＝×(＋)＝(＋)，‎ 所以＋＝3，m＝3.故选B.‎ 解法二：由已知得＋＋＋＝m，‎ 又∵＋＝－＝，∴3＝m，‎ ‎∴m＝3.‎ 答案　B 答题启示　进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，则s＋r等于(　　)‎ A．0 B. C. D．3‎ 答案　C 解析　因为＝4，所以＝.又因为＝－，所以＝(－)＝－，所以r＝s＝，s＋r＝.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·南京模拟]对于非零向量a，b，“a＋b＝‎0”‎是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.‎ ‎2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.故选C.‎ ‎3．[2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且＝λa＋b，＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足 (　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝‎1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 答案　D 解析　若A，B，C三点共线，则＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1.故选D.‎ ‎4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A.‎ ‎5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 答案　C 解析　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－‎4a－b－‎5a－3b＝－‎8a－2b＝2(－‎4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.‎ ‎6．[2018·北京海淀期末]如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 答案　A 解析　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故选A.‎ ‎7．[2018·绵阳模拟]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故选B.‎ ‎8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 答案　直角三角形 解析　因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝‎ eq o(CB,sup16(→))＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形．‎ ‎9．[2018·江苏模拟]设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 答案　 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.‎ ‎10．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．‎ 答案　 解析　因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·福建模拟]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B．‎2 C．3 D．4 答案　D 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D. 答案　A 解析　设＝a，＝b，则＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则所以＝－2.故选A.‎ ‎3．[2018·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2，‎ ‎∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若 A，B，D三点共线，则与共线，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2.‎ ‎4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，求的值．‎ 解　如图所示，因为OB⊥OA，设||＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，‎ ＝＋＝＋.‎ 因为||＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝.‎ 又因为||＝，||＝1，所以＝，＝，‎ ＝＋，此时m＝，n＝，所以＝＝3.‎ ‎5．[2018·大同模拟]若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，求△ABM与△ABC的面积之比．‎ 解　设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3　①，‎ 即＝＋，‎ 即＋＝1，‎ 故C，M，D三点共线，又＝＋　②，‎ ‎①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎