【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的概念及其线性运算 学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量的概念及其线性运算 学案

第1讲 平面向量的概念及其线性运算 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 向量的有关概念 ‎(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.‎ ‎(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.‎ ‎(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.‎ ‎(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.‎ 规定:0与任一向量共线.‎ ‎(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.‎ ‎(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.‎ 考点2 向量的线性运算 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.‎ ‎[必会结论]‎ ‎ [考点自测]                      ‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.(  )‎ ‎(2)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.(  )‎ ‎(3)=-.(  )‎ ‎(4)向量a-b与b-a是相反向量.(  )‎ ‎(5)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(  )‎ ‎(6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(  )‎ 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√‎ ‎2.[课本改编]如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(  )‎ A.= B.+= C.-= D.+=0‎ 答案 C 解析 由-==-,故C错误.‎ ‎3.[课本改编]设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则(  )‎ A.+=0 B.+=0‎ C.+=0 D.++=0‎ 答案 B 解析 ∵+=2,∴P为AC的中点,∴+=0.选B.‎ ‎4.[2018·温州模拟]已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-‎3a)共线,则λ=________.‎ 答案 - 解析 设a+λb=k[-(b-‎3a)]=3ka-kb,∴1=3k,且λ=-k,∴λ=-.‎ ‎5.[2015·北京高考]在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.‎ 答案  - 解析 由题中条件得=+=+=+(-)= ‎-=x+y,所以x=,y=-.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 平面向量的概念                      ‎ 例1 给出下列命题:‎ ‎①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;‎ ‎②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;‎ ‎ ③若A,B,C,D是不共线的四点,则=,则ABCD为平行四边形;‎ ‎④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;‎ ‎⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 答案 ③‎ 解析 ①错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点.‎ ‎②错误,若b=0,则a与c不一定共线.‎ ‎③正确,因为=,所以||=||且∥;又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形.‎ ‎④错误,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.‎ ‎⑤错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.‎ 故填③.‎ 触类旁通 对于向量的概念应注意的问题 ‎(1)向量的两个特征:有大小,有方向,向量既可以用有向线段 表示,字母表示,也可以用坐标表示.‎ ‎(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量.‎ ‎(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.‎ ‎(4)向量是自由向量,所以平行向量就是共线向量,二者是等价的.‎ ‎【变式训练1】 设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.故选D.‎ 考向 平面向量的线性运算                      ‎ 命题角度1 向量加减法的几何意义 例2 [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(  )‎ A.a⊥b B.|a|=|b|‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ 答案 A 解析 解法一:∵|a+b|=|a-b|,‎ ‎∴|a+b|2=|a-b|2.‎ ‎∴a2+b2+‎2a·b=a2+b2-‎2a·b.‎ ‎∴a·b=0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 解法二:利用向量加法的平行四边形法则.‎ 在▱ABCD中,设=a,=b,‎ 由|a+b|=|a-b|知||=||,‎ 从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.‎ 故选A.‎ 命题角度2 向量的线性运算 例3 [2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=‎ ‎3,则(  )‎ A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 答案 A 解析 =+=+=+(-‎ )=-=-+.故选A.‎ 命题角度3 利用向量的线性运算求参数 例4 [2018·唐山模拟]在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=‎ ‎30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.‎ 答案 0≤μ≤ 解析 由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.‎ ‎∵点E在线段CD上,‎ ‎∴=λ(0≤λ≤1).‎ ‎∵=+,‎ 又=+μ=+2μ=+,‎ ‎∴=1,即μ=.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤.‎ 触类旁通 平面向量线性运算的一般规律 ‎(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理.‎ ‎(2)在求向量时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.‎ 考向 共线向量定理的应用                      ‎ 例5 设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1‎ ‎+3e2,=2e1-e2.‎ ‎(1)求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.‎ 解 (1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,‎ ‎∵=2e1-8e2,‎ ‎∴=2.‎ 又∵与有公共点B,‎ ‎∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)由(1)可知=e1-4e2,‎ ‎∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,‎ ‎∴=λ(λ∈R),‎ 即3e1-ke2=λe1-4λe2,‎ 得 解得k=12.‎ 触类旁通 怎样用向量证明三点共线问题 两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同,或一个向量的起点是另一个向量的终点),则可以得到三点共线;反之由三点共线也可得到向量共线.‎ ‎【变式训练2】 已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).‎ ‎(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.‎ 证明 (1)若m+n=1,‎ 则=m+(1-m)=+m(-),‎ ‎∴-=m(-),‎ 即=m,∴与共线.‎ 又∵与有公共点B,∴A,P,B三点共线.‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,存在实数λ,使=λ,‎ ‎∴-=λ(-).‎ 又=m+n.‎ 故有m+(n-1)=λ-λ,‎ 即(m-λ)+(n+λ-1)=0.‎ ‎∵O,A,B不共线,∴,不共线,‎ ‎∴∴m+n=1.‎ 核心规律 ‎1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论.‎ ‎2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合.‎ ‎3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.‎ 满分策略 ‎1.‎ 两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点.‎ ‎2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.‎ ‎3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系.向量与是共线向量,但A,B,C,D四点不一定在一条直线上.‎ ‎4.向量共线的充要条件中要注意“a≠‎0”‎,否则λ可能不存在,也可能有无数个.‎ 板块三 启智培优·破译高考 易错警示系列 7——向量线性运算中的易错点 ‎[2018·铁岭模拟]已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=(  )‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ 错因分析 本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义.求解该题时容易出现两个问题:一是不能根据++=0分析出点M与△ABC之间的关系;二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出,与之间的关系.‎ 解析 解法一:由++=0,知点M为△ABC的重心,设点D为边BC的中点,则由向量加法,可知+=2.‎ 由重心的性质,可知||=||,‎ 而且与同向,故=,‎ 所以=×(+)=(+),‎ 所以+=3,m=3.故选B.‎ 解法二:由已知得+++=m,‎ 又∵+=-=,∴3=m,‎ ‎∴m=3.‎ 答案 B 答题启示 进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.                      ‎ 跟踪训练 在△ABC中,点D在边CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r等于(  )‎ A.0 B. C. D.3‎ 答案 C 解析 因为=4,所以=.又因为=-,所以=(-)=-,所以r=s=,s+r=.‎ 板块四 模拟演练·提能增分 ‎ [A级 基础达标]‎ ‎1.[2018·南京模拟]对于非零向量a,b,“a+b=‎0”‎是“a∥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a+b=0,则a=-b,所以a∥b;若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.故选A.‎ ‎2.已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量等于(  )‎ A.- B.-+ C.2- D.-+2 答案 C 解析 因为=-,=-,所以2+=2(-)+(-)=-2+=0,所以=2-.故选C.‎ ‎3.[2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线,且=λa+b,=a+μb,则点A,B,C三点共线应满足 (  )‎ A.λ+μ=2 B.λ-μ=‎1 C.λμ=-1 D.λμ=1‎ 答案 D 解析 若A,B,C三点共线,则=k,即λa+b=k(a+μb),所以λa+b=ka+μkb,所以λ=k,1=μk,故λμ=1.故选D.‎ ‎4.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 +=(+)+(+)=(+)=.故选A.‎ ‎5.在四边形ABCD中,=a+2b,=-‎4a-b,=-‎5a-3b,则四边形ABCD的形状是(  )‎ A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案 C 解析 由已知得,=++=a+2b-‎4a-b-‎5a-3b=-‎8a-2b=2(-‎4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.故选C.‎ ‎6.[2018·北京海淀期末]如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为(  )‎ A. B.- C.1 D.-1‎ 答案 A 解析 因为E为DC的中点,所以=+=++=+,即=-+,所以λ=-,μ=1,所以λ+μ=.故选A.‎ ‎7.[2018·绵阳模拟]在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=(  )‎ A.+ B.+ C.+ D.+ 答案 B 解析 因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以=(+)=(++)==+.故选B.‎ ‎8.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.‎ 答案 直角三角形 解析 因为+-2=-+-=+,-=‎ eq o(CB,sup16(→))=-,所以|+|=|-|,即·=0,故⊥,△ABC为直角三角形.‎ ‎9.[2018·江苏模拟]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.‎ 答案  解析 =+=+=+(-)=-+,∵=λ1+λ2,‎ ‎∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.‎ ‎10.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是________.‎ 答案  解析 因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,==.‎ ‎[B级 知能提升]‎ ‎1.[2018·福建模拟]设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于(  )‎ A. B.‎2 C.3 D.4 答案 D 解析 +++=(+)+(+)=2+2=4.故选D.‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为(  )‎ A.-2 B.- C.2 D. 答案 A 解析 设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数λ,使得=λ,即ma+nb=λb-λa,又a与b不共线,则所以=-2.故选A.‎ ‎3.[2018·泉州四校联考]设e1,e2是不共线的向量,若=e1-λe2,=2e1+e2,=3e1-e2,且A,B,D三点共线,则λ的值为________.‎ 答案 2‎ 解析 ∵=2e1+e2,=3e1-e2,‎ ‎∴=-=(3e1-e2)-(2e1+e2)=e1-2e2,若 A,B,D三点共线,则与共线,存在μ∈R使得=μ,即e1-λe2=μ(e1-2e2),由e1,e2是不共线的向量,得解得λ=2.‎ ‎4.已知||=1,||=,∠AOB=90°,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R),求的值.‎ 解 如图所示,因为OB⊥OA,设||=2,过点C作CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,所以四边形ODCE是矩形,‎ =+=+.‎ 因为||=2,∠COD=30°,所以||=1,||=.‎ 又因为||=,||=1,所以=,=,‎ =+,此时m=,n=,所以==3.‎ ‎5.[2018·大同模拟]若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,求△ABM与△ABC的面积之比.‎ 解 设AB的中点为D,如图,连接MD,MC,由5=+3,得5=2+3 ①,‎ 即=+,‎ 即+=1,‎ 故C,M,D三点共线,又=+ ②,‎ ‎①②联立,得5=3,即在△ABM与△ABC中,边AB上的高的比值为,所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档