上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题

建平中学高三期中数学卷 一. 填空题 ‎1.设函数的定义域是，为全体实数集，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 被开方数需大于等于0求得集合，再求.‎ ‎【详解】由题意得：或，‎ 因为为全体实数集，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求法、集合间的补集运算，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力.‎ ‎2.若复数，满足，（虚数单位），则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先要据复数相乘得到，再利用复数求模的公式，即得答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数相乘、复数模的计算，考查基本运算求解能力.‎ ‎3.在二项式的展开式中，展开式的系数和为________‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法令即可得到展开式各项的系数和.‎ ‎【详解】由二项式的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，‎ 所以得：展开式的系数和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.‎ ‎4.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是， 那么双曲线的方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的焦点坐标得，再由渐近线方程得，结合，从而求得，进而求得双曲线的方程.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦点是，所以，‎ 因为渐近线是，所以，又，‎ 所以，‎ 所以双曲线的方程是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，考查焦点坐标、渐近线方程的概念，考查基本运算求解能力，注意而不能记成.‎ ‎5.若是等差数列的前项和，，，则________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用等差数列的前项和公式求得，再代入极限式子中，分子分母同时除以，进而计算求得答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列求和、数列极限，考查数列中的基本量法求和，考查基本的运算求解能力.‎ ‎6.已知函数，则方程的解________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足的值，即求的值．‎ ‎【详解】由题意得值即为的值，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点，则反函数过点，考查对概念的理解和基本运算求解能力.‎ ‎7.行列式的最大值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由行列式计算结合辅助角公式得，再由三角函数的值域，求得行列式的最大值.‎ ‎【详解】因为，其中，‎ 所以的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查行列式的计算、辅助角公式的运用及三角函数的最值，考查逻辑推理和运算求解能力.‎ ‎8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.‎ 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．‎ ‎9.某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考得70分，考得67分，考得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，其总分至少为207分包含的基本事件个数 ‎，由此能求出其总分至少为207分的概率．‎ ‎【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，‎ 每门学科考得70分，考得67分，考得64分，该生每门学科均不低于64分，‎ 基本事件总数，‎ 其总分至少为207分包含的基本事件个数：‎ ‎，‎ 则其总分至少为207分的概率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.已知数列中，其中，，那么________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎，‎ 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．‎ ‎11.已知、、是平面内三个单位向量，若，则的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，将问题转化为求的最小值，再证明，从而将原问题转化为求的最小值.‎ ‎【详解】令，设，，对应的点在单位圆上，‎ 所以问题转化为求的最小值.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 表示点到点和的距离之和，‎ 过点和的直线为，‎ 原点到直线的距离为，所以与单位圆相交，‎ 所以的最小值为：点和之间的距离，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．‎ ‎12.已知二次函数（），若存在，满足，则称为函数的一个“近似整零点”，若有四个不同的“近似整零点”，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数的四个“近似整零点”为，再利用绝对值不等式和，求得的取值范围.‎ ‎【详解】设函数的四个“近似整零点”为，‎ 所以 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为，此时可取到最大值.‎ 二. 选择题 ‎13.若函数是偶函数，则的一个值可能是（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性的定义可得需满足的条件为，，结合选项可得答案．‎ ‎【详解】函数是偶函数，‎ ‎，即，‎ 或，，‎ 当时，可得，不满足偶函数定义中的任意性；‎ 当时，，，‎ 当时，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，即直接把四个选项代入一一进行验证求得的值．‎ ‎14.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。‎ ‎15.已知椭圆的参数方程为，，则该椭圆的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析、的值，计算可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，椭圆的参数方程为，，‎ 则其普通方程为，‎ 其中，，则，‎ 所以该椭圆的焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，准确化出椭圆的方程是求解的关键．‎ ‎16.数列为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是，，，，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，，如此继续，则（ ）‎ A. 16 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，推出，及时，有，再求解的值即可．‎ ‎【详解】由数列的构造方法可知，，，，可得，‎ 所以数首次出现于第项，‎ 所以当时，有，‎ 故．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求数列项的值，求解时需要敏锐发现两个规律，一是；二是当时，有，再利用递推关系得到的值.‎ 三. 解答题 ‎17.如图，在Rt△中，，斜边，是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且.‎ ‎（1）求该圆锥的全面积（即表面积）；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积，然后求解圆锥的全面积．‎ ‎（2）过作交于，连，说明为异面直线与所成角，在中，求解异面直线与所成角的大小．‎ ‎【详解】（1）中，，即圆锥底面半径为2，‎ 圆锥的侧面积，‎ 故圆锥的全面积.‎ ‎（2）过作交于，连，‎ 则为异面直线与所成角，‎ 平面平面 在中，，，‎ 是的中点，是的中点，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ 即异面直线与所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题圆锥的全面积、异面直线所成角，求解过程中需注意空间角求法的步骤：一作、二证、三求，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎18.在△中，内角、、所对的边分别为、、，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，解不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得，再结合，代入余弦定理中求得；‎ ‎（1）由（1）得，再利用三角函数线求得三角不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 又，所以.‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，所以.‎ 所以，‎ 解得：，.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理、三角不等式的求解，考查逻辑推理和运算求解能力，涉及三角不等式中的正余弦问题，用三角函数线进行求解分析，思路会更简洁、更清晰.‎ ‎19.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工人（，且为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员人，留岗员工可多创利润千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员人，留岗员工可多创利润千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.‎ ‎（1）设公司裁员人数为，写出公司获得的经济效益（千元）关于的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；‎ ‎（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，欲求获得最大的经济效益时，该公司的裁员人数．分情况求出和两种情况下函数的解析式，列出分段函数；‎ ‎（2）分别求出两段段函数的最大值，然后进行比较，最后得出裁员的最佳人数．‎ ‎【详解】（1）设公司裁员人数为，获得的经济效益为千元，‎ 则由题意得当时，，‎ 当时，，‎ 所以 ‎（2）当时，对称轴，‎ ‎①当，即，‎ 所以时，取得最大值为，‎ ‎②当时，对称轴，‎ 当，即，‎ 的取值小于，‎ 当，即时，取得最大值为，‎ 显然，都有，‎ 当时，，‎ 综上所述：当时，取得最大值，‎ 所以该公司应裁员人.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，考查利用分类讨论思想求分段函数的最值问题，考查分类讨论思想的综合运用，求解时同时要注意为10的整数倍．‎ ‎20.如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据待定系数法求得椭圆的方程；‎ ‎（2）利用点差法求出直线的斜率，再利用直线的斜率相乘为，证得两直线垂直；‎ ‎（3）将式子表示成关于表达式，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，所以椭圆，‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为直线的斜率为，所以，‎ 设直线的方程为，‎ 当时，，故，‎ 所以，所以，‎ 所以对于任意的都有恒成立.‎ ‎（3）因为，所以设的方程为，代入得：，‎ 所以，.‎ 由，得，‎ 所以弦长，‎ 所以，‎ 所以，‎ 等号成立当且仅当.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法、利用斜率关系证明直线垂直、及利用代数中的基本不等式求几何中的最值，求解过程中注意弦长公式的灵活运用，不一定非得用韦达定理按部就班，而是可以直接利用公式，这能使运算量更小，速度更快.‎ ‎21.设数列和的项数均为，则将两个数列的偏差距离定义为，其中.‎ ‎（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；‎ ‎（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的偏差距离小于2020，求最大值；‎ ‎（3）记是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.‎ ‎【答案】（1）6；（2）3461；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列距离的定义即可求得数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；‎ ‎（2）由数列的递推公式，即可求得中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列，的规律，可知随着项数越大，数列，的距离越大，由，再根据周期的定义得到的取大值；‎ ‎（3）利用反证法，假设中的元素个数大于等于17个，设出，最后求得 和中必有一个成立，与数列偏差距离大于或等于3相矛盾，故可证明中的元素个数于于或等于16.‎ ‎【详解】（1）由题意得，数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离为：.‎ ‎（2）设，其中，且，‎ 由得，所以.‎ 因此中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，‎ 所以数列中，，‎ 所以数列中，，‎ 项数越大，数列，的距离越大，‎ 由，‎ 得，‎ 故的最大值为.‎ ‎（3）假设中元素素个数大于等于17个，‎ 因为数列中，或，‎ 所以仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个，‎ 那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的，‎ 设这个数列分别为 ‎，其中，‎ 因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，‎ 所以，和中，中至少有三个成立，‎ 不妨设，‎ 由题意，和中一个等于0，而另一个等于1，‎ 又因为或，‎ 所以和中必有一个成立，‎ 同理，得和中必有一个成立，和中必有一个成立，‎ 所以“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，‎ 所以和中必有一个成立，与题意矛盾，‎ 所以中的元素个数小于或等于16.‎ ‎【点睛】本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查反证法的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是成功解题的关键，属于难题.‎ ‎ ‎