宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

银川唐徕回民中学 ‎2020届高三年级第一次模拟考试 文科数学 考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.‎ ‎5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分式不等式的解法可求得集合，根据交集定义可求得结果.‎ ‎【详解】由得：，解得：，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.‎ ‎2.已知复数z满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的除法运算计算可得结果.‎ ‎【详解】由得：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3.等差数列的前n项和为，且满足，则　　‎ A 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.‎ 考点：等差数列的通项公式和前和公式.‎ ‎4.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入千元与平均每天的工作时间小时进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为，若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为（ ）‎ A. 50千元 B. 60千元 C. 120千元 D. 72千元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入回归直线即可求得结果.‎ ‎【详解】令得：，即估计该自由职业者年收入为千元.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题.‎ ‎5.已知角顶点为原点，始边与轴非负半轴重合，点在终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据任意角三角函数定义可求得，代入两角和差余弦公式可求得结果.‎ ‎【详解】在终边上，，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值的问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎6.已知抛物线x2＝－4y的准线与双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 抛物线x2＝－4y的准线为l：y＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e＝.‎ ‎7.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数解析式可得函数为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.‎ ‎【详解】解：由已知可得函数的定义域为，且，则函数为奇函数，则函数的图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，排除B，故A正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.‎ ‎8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( ) ‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 开始，输入，‎ 则，判断，否，循环，，‎ 则，判断，否，循环， ‎ 则，判断，否，循环， ‎ 则，判断，是，输出，结束.故选择C.‎ ‎9.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先通过作平行的辅助线确定异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求出进而求出CE，再在中利用余弦定理即可得解.‎ ‎【详解】如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，‎ 则，，从而四边形是平行四边形，则，‎ 且.‎ 因为是的中点，是的中点，‎ 所以为的中位线，所以，则是异面直线与所成的角.由题意可得，.‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 则，即.‎ 在中，由余弦定理可得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.‎ ‎10.已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最大值是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用直线过定点，再利用k的几何意义，只需求出直线过点时，k值即可．‎ ‎【详解】直线过定点，‎ 作可行域如图所示，‎ ‎，‎ 由，得．‎ 当定点和B点连接时，斜率最大，此时，‎ 则k的最大值为： ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎11.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象.若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用辅助角公式，将化为正弦型三角函数，利用图像变换关系求出，再结合函数图像和性质，即可求解.‎ ‎【详解】，所以，‎ 故的周期为，且.‎ 因为，所以，‎ 或，所以，‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查函数恒等变换以及图像变换求函数式，考查三角函数的图像及性质，属于中档题.‎ ‎12.奇函数f（x）在R上存在导数，当x＜0时，f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（ ）‎ A. （﹣1，0）∪（0，1） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据当x＜0时，f（x）的结构特征，构造函数，求导得，由当x＜0时，f（x），得在上是减函数，再根据f（x）奇函数，则也是奇函数，在上也是减函数，又因为函数f（x）在R上存在导数，‎ 所以函数f（x）是连续的，所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，将（x2﹣1）f（x）＜0转化为求解.‎ ‎【详解】设，‎ 所以，‎ 因为当x＜0时，f（x），‎ 即，‎ 所以，‎ 所以在上是减函数.‎ 又因为f（x）奇函数，‎ 所以也是奇函数，‎ 所以在上也是减函数，‎ 又因为函数f（x）在R上存在导数，‎ 所以函数f（x）是连续的，‎ 所以函数h（x）在R上是减函数，并且与同号，‎ 所以（x2﹣1）f（x）＜0或 解得或 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，可得结果.‎ ‎【详解】根据抛物线定义，，解得，‎ 故抛物线的方程是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.‎ ‎14.记为数列的前项和，若，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.‎ ‎【详解】根据，可得，‎ 两式相减得，即，‎ 当时，，解得，‎ 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，‎ 所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.‎ ‎15.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的表面积_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的条件，取中点，可以得到，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果.‎ ‎【详解】取中点，‎ 由，知，‎ ‎∴球半径为1，表面积为，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键.‎ ‎16.已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论构造不等式组即可求得的解集；分别令两段解析式等于零可求出所有可能的零点，以可能的零点来进行分段可确定符合题意的情况.‎ ‎【详解】由得：；由得：，‎ 时，不等式的解集为；‎ 令得：；令得：或，‎ 恰有两个零点，‎ 当时，、是的两个零点，满足题意；‎ 当时，、、是的三个零点，不合题意；‎ 当时，、是的两个零点，满足题意；‎ 当时，是的唯一零点，不合题意；‎ 综上所述：的取值范围为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解不等式的问题、根据分段函数零点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过所有可能的零点进行分段讨论，找到符合题意的情况.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17.在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎（Ⅰ）求A大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；‎ ‎(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得的最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，‎ ‎,即.‎ ‎，.‎ ‎(Ⅱ)，‎ ‎，∴当即时，取得最大值1.‎ ‎【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎18.2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于‎2019年3月5日和‎3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的200人进行调查．并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为，其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是．‎ ‎（1）求图中a，b的值；‎ ‎（2）现采用分层抽样在和中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？‎ ‎（3）根据已知条件，完成下面的列联表，并根据此统计结果判断：能否有的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？‎ 关注 不关注 合计 青少年人 中老年人 合计 P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）列联表见解析；有的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据“青少年人”和“中老年人”的人数之比，结合频率分布直方图可构造方程求得结果；‎ ‎（2）由分层抽样原则可确定从中抽取人，从中抽取人，采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式求得结果；‎ ‎（3）利用频率和总数计算得到频数，由此完成列联表，计算可得，由独立性检验的思想可得到结果.‎ ‎【详解】（1）“青少年人”和“中老年人”的人数之比为，‎ ‎，解得：.‎ ‎（2）由分层抽样原则知：从中应抽取人，从中应抽取人；‎ 记从中抽取的人为：；从中抽取的人为.‎ 则从人中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；‎ 其中至少有人是“中老年人”的情况有：，，，，，，，，，，，，，共种情况，‎ 所求概率.‎ ‎（3）“青少年人”共有人，“中老年人”共有人，‎ 则可得列联表如下：‎ 关注 不关注 合计 青少年人 中老年人 合计 ‎，‎ 有的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．‎ ‎【点睛】本题考查补全频率分布直方图、分层抽样的应用、古典概型概率问题的求解、独立性检验的应用等知识，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型.‎ ‎19.如图，在正三棱柱中，E是的中点．‎ ‎（1）求证：截面侧面；‎ ‎（2）若，求到平面的距离 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设O，分别为AC，的中点，与相交于F，，侧面,可得侧面，截面侧面；‎ ‎（2）求出、的面积及A到平面 ，由可得到平面的距离.‎ ‎【详解】解：（1）设O，分别为AC，的中点，与相交于F．‎ ‎∵是正三棱柱，∴侧面底面ABC．‎ ‎∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴．‎ ‎∴侧面．‎ ‎∵，，E，F是中点，‎ ‎∴EBOF是平行四边形． ‎ ‎∴，∴侧面．‎ 又平面，∴截面侧面．‎ ‎（2）∵，则，‎ ‎，所以的面积为．‎ 又因为A到平面的距离为，‎ 的面积为．‎ 设到平面的距离为d，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴．‎ 即，B1到平面的距离为．‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直及线面垂直的判定定理及三棱锥体积的计算，属于中档题，注意灵活运用三棱锥的性质及面面垂直的判定定理解题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.‎ ‎（1）求的离心率及方程；‎ ‎（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）,； （2）存在点，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件得，，即可计算出离心率和椭圆方程 ‎（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果 ‎【详解】（1）由题意可知，，则，‎ 又的周长为8，所以，即，‎ 则，.‎ 故的方程为.‎ ‎（2）假设存在点，使得为定值.‎ 若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，‎ 则.‎ 若直线的斜率存在，设的方程为，‎ 设点，，联立，得，‎ 根据韦达定理可得：，，‎ 由于，，‎ 则 ‎ 因为为定值，所以，‎ 解得，故存在点，且.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握 ‎21.设函数（其中，m，n为常数）‎ ‎（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；‎ ‎（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；‎ ‎（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 当时，，，对任意的都成立，‎ 在单调递增，，‎ 要使得对有恒成立，则，解得：，‎ 即的取值范围为.‎ ‎（2），，解得：，‎ 又，，，，‎ 显然不是的零点，可化为，‎ 令，则，在，上单调递增.‎ 又，，，，‎ 在，上各有个零点，在，上各有个零点，‎ 整数的取值为或，整数的所有取值的和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点存在定理确定零点所在区间.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线交曲线于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程，的直角坐标方程（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;‎ ‎(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.‎ ‎【详解】(1)已知曲线:(为参数),‎ 则曲线的普通方程,‎ 直线的极坐标方程为,‎ 则的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线的参数方程为(为参数)‎ 代入曲线:,‎ 化简得 设,对应的参数分别为,,‎ 则,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）记的最小值为，若实数，满足，试证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将化为分段函数形式,然后根据,分别解不等式即可;‎ ‎(2)由(1)可得,从而得到,再利用基本不等式求出的最小值.‎ ‎【详解】(1).‎ ‎,或或,‎ 或或,‎ ‎,‎ 不等式的解集为;‎ ‎(2)因为(当且仅当等号成立),‎ 所以的最小值,即,‎ 所以 ‎(当且仅当,等号成立).‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.‎