海南省海南枫叶国际学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

海南省海南枫叶国际学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

海南枫叶国际学校2018-2019学年度第二学期 高二年级数学学科期末考试试卷 ‎(范围：选修2-2，选修2-3，一轮复习第一章)‎ 一、选择题（(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法写出集合U，根据补集的定义计算即可．‎ 详解】解：集合 ‎ 所以 故答案为B ‎【点睛】本题考查了补集的定义与一元二次不等式的解法问题，是基础题．‎ ‎2.设命题，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题主要考查命题及其关系，全称量词与存在量词.因为全称量词的否定是存在量词，的否定是.所以 ： ，故本题正确答案为B.‎ ‎3.设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.‎ 详解：绝对值不等式，‎ 由.‎ 据此可知是的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　）‎ A. 0.48 B. 0.6 C. 0.75 D. 0.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用条件概率公式能求出结果。‎ ‎【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，‎ ‎，故选：C ‎【点睛】本题考查条件概率，属于基础题。‎ ‎5.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在复平面内对应点为，可得，然后根据|z－i|＝1即可得解。‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎，‎ ‎。故选：D。‎ ‎【点睛】本题设出点的坐标，通过模的运算列等式求解，属于基础题。‎ ‎6.已知随机变量X服从正态分布且P（X4）=0.88，则P（0X4）=（　　）‎ A. 0.88 B. 0.76 C. 0.24 D. 0.12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可。‎ ‎【详解】因为随机变量服从正态分布，，得对称轴是，，‎ ‎，‎ ‎，故选：B。‎ ‎【点睛】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题。‎ ‎7.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35‎ ‎，那么表中m的值为（ ）‎ A. 4 B. 3.15 C. 4.5 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为线性回归方程=0.7x+0.35，过样本点的中心 ‎，，故选D.‎ ‎8.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．‎ ‎【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．‎ ‎【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．‎ ‎9.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ）‎ A. 144 B. 192 C. 216 D. 240‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.‎ ‎【详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；‎ 当个位数字是0时，共有种可能；‎ 当个位数字是5时，共有种情况；‎ 因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.‎ ‎10.展开式的常数项为（）‎ A. 112 B. 48 C. -112 D. -48‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项。‎ ‎【详解】由于 故展开式的常数项为，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.‎ ‎11.关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. （4,5）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。‎ ‎【详解】关于的不等式，‎ 不等式可变形为，‎ 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；‎ 当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则 故a的取值范围是，选：A。‎ ‎【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。‎ ‎12.设，则随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ 则当在（0，1）内增大时（ ）‎ A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据期望公式求得随机变量X的期望，之后应用方差公式求得随机变量X的方差，根据二次函数的性质求得结果.‎ ‎【详解】根据题意可得，‎ ‎，‎ 所以在上单调减，在上单调增，‎ 所以是先减小后增大，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量方差的变化趋势，涉及到的知识点有离散型随机变量的期望和方差公式，属于简单题目.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20.0分)‎ ‎13.i是虚数单位，则复数的虚部为______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分子分母同时乘以，进行分母实数化。‎ ‎【详解】，其虚部为-1‎ ‎【点睛】分母实数化是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是一道基础题。‎ ‎14.不等式的解集为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式等价于，解之即可.‎ ‎【详解】原不等式等价于，解得或.‎ 所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，属基础题.‎ ‎15. 设，，，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。‎ ‎【详解】由，得，得 ‎，‎ 等号当且仅当，即时成立。‎ 故所求的最小值为。‎ ‎【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。‎ ‎16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.‎ ‎【考点】导数的几何意义 ‎【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．‎ 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ ‎（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；‎ ‎（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，‎ 所以男顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎50名女顾客对商场满意的有30人，‎ 所以女顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎（2）由列联表可知，‎ 所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算的值，独立性检验，属于简单题目.‎ ‎18.已知函数在点M(1,1)处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值.‎ ‎【答案】（1）f(x)=x2-4lnx（2）函数的单调递增区间是，单调递减区间是.极小值为，无极大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，根据切线方程得到关于的方程组，解出即可。（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可。‎ ‎【详解】（1），‎ ‎​因为点M(1,1)处的切线方程为2x+y-3=0，‎ 所以,所以，‎ 则f(x)=x2-4lnx;‎ ‎（2）定义域为(0,+∞),,‎ 令，得（舍负）.‎ 列表如下：‎ x f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 递减 极小值 递增 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 极小值为，无极大值.‎ ‎【点睛】本题（1）是根据切点在曲线上以及函数在切点处的导数就是切线的斜率这两点来列方程求参数的值，（2）是考查函数的单调性和极值,本题是一道简单的综合题。‎ ‎19.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．‎ ‎（1）求乙以4比1获胜的概率；‎ ‎（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记“乙以4比1获胜”为事件A ，，则A表示乙赢了3局甲赢了1局，且第五局乙赢，再根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得的值。（2）利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得甲以4比2获胜的概率，以及甲以4比3获胜的概率，再把这2个概率值相加，即得所求。‎ ‎【详解】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，‎ 记“乙以4比1获胜”为事件A，则A表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢，‎ ‎∴．‎ ‎（2）记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B，则B表示甲以4比2获胜，或甲以4比3获胜．‎ 因为甲以4比2获胜，表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了，‎ 这时，无需进行第7局比赛，故甲以4比2获胜的概率为．‎ 甲以4比3获胜，表示前6局比赛中甲赢了3局且第7局比赛中甲赢了，‎ 故甲以4比3获胜的概率为，‎ 故甲获胜且比赛局数多于5局的概率为．‎ ‎【点睛】问题（1）中要注意乙以4比1获胜不是指5局中乙胜4局，而是要求乙在前4局中赢3局输一局，然后第5局一定要赢，要注意审题。问题（2）有“多于”这种字眼的，可以进行分类讨论。‎ ‎20.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．‎ ‎【答案】（1）P（X≥1）=0.0408，E（X）=0.0416（2）上述监控生产过程的方法是合理的，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过可求出，利用二项分布的期望公式计算可得结果。（2）由（1）知落在（μ-3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理。‎ ‎【详解】解：（1）由题可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，‎ 则落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率为1-0.9974=0.0026，‎ 因，‎ 所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，‎ 又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；‎ ‎（2）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．‎ ‎【点睛】本题考查对正态分布的理解以及二项分布的期望公式，是一道一般难度的概率综合体。‎ ‎21.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，‎ 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎22.已知函数f(x)=-ln(x+m).‎ ‎(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）当m≤2时，证明f(x)>0.‎ ‎【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)．‎ 由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．‎ 于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．‎ 函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．‎ 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．‎ ‎(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．‎ 当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．‎ 又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．‎ 当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)‎ 取得最小值．‎ 由f '(x0)=0得=，，‎ 故．‎ 综上，当m≤2时， f(x)>0．‎ ‎ ‎