【数学】2019届一轮复习苏教版几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案

【数学】2019届一轮复习苏教版几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案

专题15 几何证明选讲、矩阵与变换、‎ 坐标系与参数方程、不等式选讲 一、平行线分线段成比例定理 ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ 二、相似三角形的判定及性质 ‎1．相似三角形的判定定理 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；‎ 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；‎ 判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎2．相似三角形的性质定理 性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；‎ 性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ 结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．‎ 三、射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．‎ 四、圆周角、圆心角、弦切角、圆内接四边形 ‎1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎2．圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎3．弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎4．圆的切线的性质及判定定理 性质定理　圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎5．圆内接四边形的性质与判定定理 性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．‎ 性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．‎ 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 五、与圆有关的线段 ‎1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎3．切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ ‎4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．‎ 六、矩阵的乘法 设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点先用变换A变到，再用变换B将变到，则从到也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA．‎ 设A＝和B＝，则BA＝＝．‎ 七、逆矩阵 设A＝，记＝，则A可逆的充分必要条件是：0，当0时，A＝．‎ 八、特征值与特征向量 设二阶矩阵A，对于实数，存在一个非零向量，使得A＝，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值l的一个特征向量．‎ 九、坐标系 ‎1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或 ‎3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0．‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎（1）当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎（2）当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acosθ；‎ ‎（3）当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ．‎ ‎4．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎（1）直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；学 ！ ‎ ‎（2）直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；‎ ‎（3）直线过且平行于极轴：ρsinθ＝b．‎ 十、参数方程 ‎1．直线的参数方程 若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义．‎ ‎2．圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．‎ ‎3．椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π．‎ 十一、绝对值三角不等式 ‎（1）定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎（2）定理2:如果a，b，c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立．‎ ‎（3）推论1:||a|-|b||≤|a+b|．‎ ‎（4）推论2:||a|-|b||≤|a-b|．‎ 十二、不等式的证明 ‎1．基本不等式 ‎（1）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立．‎ 用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．‎ ‎（2）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立．‎ ‎2．柯西不等式 ‎（1）二维形式的柯西不等式:若a，b，c，d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时，等号成立．‎ ‎（2）柯西不等式的向量形式:设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数 使α= β时，等号成立．‎ ‎（3）二维形式的三角不等式:设x1，y1，x2，y2∈R，那么．‎ ‎（4）一般形式的柯西不等式:设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当ai=0或bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个数 使得ai= bi(i=1，2，…，n)时，等号成立．‎ ‎3．证明不等式的基本方法 ‎（1）比较法；‎ ‎（2）综合法；‎ ‎（3）分析法；‎ ‎（4）反证法和放缩法；‎ ‎（5）数学归纳法．‎ ‎1．已知不等式|x+2|−|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为________________．‎ ‎3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是________________．‎ ‎4．关于x的不等式|x+1|+|2x−4|>6的解集为________________．‎ ‎5．已知函数，‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于，有，求证:．‎ ‎6．已知为实数，且证明：‎ ‎7．已知曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为直线的直角坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线分别与曲线、曲线交于（异于极点），若的极径分别为求的值．‎ ‎8．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC＝BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，延长CA至F．求证：AE是∠DAF的角平分线．‎ ‎9．在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值．‎ ‎10．已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．‎ ‎11．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点．点为上一点，与切于点．若，求的长．‎ ‎12．已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．‎ ‎13．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）若，求直线交曲线所得的弦长；‎ ‎（2）若上的点到的距离的最小值为1，求．‎ ‎（1）射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．‎ ‎（2）在解决相似三角形的判定或应用时注意对应边和对应角的对应关系．‎ ‎（3）圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．学！ ‎ ‎（4）利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用．‎ ‎（5）利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．注意圆周角、相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．‎ ‎（6）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．‎ ‎1．直线被圆ρ=1所截得的弦长为________________．‎ ‎2．已知直线(t为参数)与曲线交于两点，则________________．‎ ‎3．关于的不等式的解集为，则________________．‎ ‎4．若函数的最小值3，则实数的值为________________．‎ ‎5．已知矩阵A＝，B＝，则矩阵A－1B________________．．‎ ‎6．如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点．求证：．‎ ‎7．如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点．若，求切点到直径的距离．‎ ‎8．如图，，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，于点D，于点E，于点F．求证：．‎ ‎9．已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且，求证:‎ ‎10．在平面直角坐标系中，曲线，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．‎ ‎（1）求和交点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与交于两点，求的值．‎ ‎11．已知函数．‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，使，求的取值范围．‎ ‎1．【答案】[−2，+∞)‎ ‎【解析】构造函数y=|x+2|−|x|，可求得其最小值为−2，因为不等式|x+2|−|x|≤a的解集不是空集，所以a≥−2．故实数a的取值范围是[−2，+∞) ．‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】圆C的参数方程为为参数)，化为普通方程为得圆心坐标化为极坐标方程为．‎ ‎3．【答案】‎ ‎【解析】即，化为直角坐标方程为，圆心坐标为，极坐标是 ‎ ‎4．【答案】(−∞，−1)∪(3，+∞)‎ ‎【解析】由题意知，原不等式可化为或或，解得x<−1或x>3，所以不等式|x+1|+|2x−4|>6的解集为(−∞，−1)∪(3，+∞)．‎ ‎5．【答案】（1）(0，2)；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）不等式f(x)＜x+1，等价于|2x﹣1|＜x+1，即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1，‎ 解得0＜x＜2，故不等式f(x)＜x+1的解集为(0，2)．‎ ‎（2），‎ 所以f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2+＜1．‎ ‎6．【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】由柯西不等式可得，‎ 因为，所以，因此．‎ ‎【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数 ，使ai＝ bi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为 直线的极坐标方程为 将代入的极坐标方程得 将代入的极坐标方程得 ‎∴．‎ ‎8．【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】因为ABCD是圆的内接四边形，‎ 所以∠DAE=∠BCD，∠FAE=∠BAC=∠BDC．‎ 因为BC=BD．所以∠BCD=∠BDC，‎ 所以∠DAE=∠FAE，‎ 所以AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．‎ ‎9．【答案】．‎ ‎【解析】记外接圆为圆O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以，‎ 又，所以与相似，所以，‎ 所以，．‎ ‎11．【答案】．‎ ‎【解析】延长交与点，连结，，，则过点，‎ 由切割线定理得：．‎ 因为，与均为等腰三角形，‎ 所以，所以，所以，即．‎ 因为，所以．‎ ‎12．【答案】．‎ ‎【解析】由已知，得Aα＝＝，Bα＝＝．‎ 因为Aα＝Bα，所以＝，故解得所以x＋y＝．‎ ‎13．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为．‎ 当时，直线的普通方程为．‎ 设圆心到直线的距离为，则．‎ 从而直线交曲线所得的弦长为．‎ ‎（2）直线的普通方程为，‎ 则圆心到直线的距离．‎ 所以由题意知，所以．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】直线的直角坐标方程为x=；圆ρ=1的直角坐标方程为，令x=，可得；所以直线被圆ρ=1所截得的弦长．‎ ‎2．【答案】2‎ ‎【解析】由条件可知：直线为x-y-1=0．由曲线，‎ 可化为即圆心为，半径，由圆心在直线上，则．‎ ‎3．【答案】‎ ‎【解析】∵∴∴．‎ 若则．∴，无解；‎ 若则．∴．∴‎ ‎4．【答案】或 ‎【解析】由，当时，，不合题意，当时，，得；当时，‎ ‎，得．‎ ‎6．【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】如图，连接，因为为圆的直径，所以，‎ 又，则四点共圆，所以．‎ 又△∽△，所以，即，‎ ‎∴．‎ ‎7．【答案】4．‎ ‎【解析】如图，连接，，‎ 因为直线与⊙相切于点，所以，‎ 又因为垂直于，所以，所以，①‎ 在⊙中，所以，②‎ 由①②得，即，‎ 又，，所以，‎ 所以，又，所以，即到直径的距离为4．‎ ‎8．【答案】证明见解析．‎ ‎9．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以等价于，‎ 由有解，得，且其解集为．‎ 又的解集为，故．‎ ‎（2）由（1）知，又，‎ 所以=≥=9，‎ 所以．‎ ‎10．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的极坐标方程为，‎ 化为直角坐标系的方程为，联立，‎ 解得交点的坐标为．‎ ‎（2）把直线l的参数方程为参数)代入，‎ 得，即 所以根据根与系数的关系，得．‎ 易知点在圆外，所以．‎ ‎11．【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2），使等价于，‎ 因为，‎ 所以，所以的最小值为，‎ 所以，得或 所以的取值范围是．‎ 个人总结 ‎____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎