福建省泉州市2020届高三3月适应性线上测试（一）数学（文）试题 Word版含解析

福建省泉州市2020届高三3月适应性线上测试（一）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 泉州市2020届高三毕业班适应性线上测试（一）‎ 文科数学 本试卷共23题，满分150分，共5页.考试时间120分钟.‎ 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.‎ ‎2.选择题请按本校老师规定的方式作答.非选择題及使用钉钉平台阅卷的多项选择题，请自行打印答題卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内（黑色线框）作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡自行画定答题区域，标明题号，并在相应区域内答题，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎3.答题完毕，请按学校布置的要求，用手机拍照答案并上传到指定的地方，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍.‎ 一、选择题 ‎1.若复数满足，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.‎ ‎【详解】因为 故：‎ 故其共轭复数为：‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.‎ ‎2.集合，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用集合的交、补运算即可求解.‎ ‎【详解】，，，‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.‎ ‎3.记为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件建立关于和的方程组，求解.‎ ‎【详解】解析：由，得且，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，属于简单题型.‎ ‎4.下图是某地区年至年污染天数（单位：天）与年份的折线图，根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ - 24 -‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由和的的几何意义直接判断选项.‎ ‎【详解】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，随的增加，平缓的下降，2015年到2019年随着的增加，下降迅速，根据回归直线方程中的几何意义可知，，由点的分布可知，，所以 ，‎ 根据散点图可知.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查回归直线方程和散点图的关系，重点考查对图象的分析能力，属于基础题型.‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，两边平方后可得，再根据诱导公式直接计算结果 ‎【详解】解析：由，得，平方得，所以，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.‎ - 24 -‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线经过点，且其焦距为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件建立关于的方程组，直接求解双曲线的方程；或是利用排除法获得选项.‎ ‎【详解】解析：依题意可得，解得，，故方程为.‎ 故选：D.‎ 另解：由焦距得，又由快速排除AB选项：点代入选项C，不满足，排除C，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程和几何性质，重点考查基础知识，属于基础题型.‎ ‎7.若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后画出初始目标函数，再平移直线，得到函数的最大值.‎ ‎【详解】如图画出可行域，‎ - 24 -‎ 令，作出初始目标函数，当初始目标函数平移至点时，取得最大值，‎ ‎ ，解得： ，，‎ 此时的最大值.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图和识图能力，属于基础题型.‎ ‎8.已知函数，若在实数集上为增函数，则常数满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在上递增，则有，解得不等式，即可求出结果．‎ ‎【详解】因为在实数集上为增函数，所以，故选C.‎ ‎【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．‎ - 24 -‎ ‎9.已知椭圆的焦距为，，是的两个焦点，点是圆与的一个公共点.若为直角三角形，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由条件判断，再结合椭圆定义得到椭圆的离心率.‎ ‎【详解】依题意可得，又因为为直角三角形，所以，故 ‎ ，解得: ‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，重点考查灵活应用几何性质，本题的关键是判断，属于中档题型.‎ ‎10.已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出函数的图象，转化为与函数图象至多有2个零点时，求的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【详解】解析：由，得，‎ ‎ ‎ ‎，当时，，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时， ，函数单调递增，‎ 所以时，函数的最小值，且 ‎ ‎ ，，‎ ‎，当时，，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以时，函数的最小值，‎ 作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型.‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，选出全部正确选项的得5分.‎ - 24 -‎ ‎11.欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据欧拉公式的定义，代入，判断选项A，根据模的计算公式判断B，令，两个式子联立解方程组判断C,令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，判断D.‎ ‎【详解】解析：，A对；，B对：‎ ‎，C错；依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限；D错；‎ 故选：AB.‎ ‎【点睛】本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义.‎ ‎12.在中，角，，所对的边分别为，，.若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 的面积为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积比值，判断C和D.‎ ‎【详解】解析：在中，根据余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.‎ 在中，，故选项A正确 在中，，解得.故选项B错误；‎ ‎，解得，故选项C正确；‎ 在中，由得，，所以 ‎，故选项D正确 故选：ACD ‎【点睛】本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知向量，，若，则______________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 两边平方后，得到，根据向量数量积计算结果.‎ ‎【详解】，两边平方可得，故，得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.‎ ‎14.已知，，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，根据幂函数的单调性和图象比较大小，再根据对数函数可知，最后比较的大小关系，‎ ‎【详解】解析：因为，，‎ 在定义域内单调递增， ‎ 故，又，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点是判断所属函数类型，利用单调性比较大小，或是和特殊值比较，属于基础题型.‎ ‎15.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_____________；当时，的值域为___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算 - 24 -‎ 的范围，计算函数的值域.‎ ‎【详解】因为，可得，‎ 函数向左平移个单位后得到 ，因为函数是偶函数，‎ 所以，，‎ 因为，所以，‎ 所以；‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以的值域为.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.‎ ‎16.已知三棱锥中，平面平面，.设直线与平面所成的角为，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出是直角三角形，过点作，垂足为，易得，连接，可得平面，进而可得，设，，即，由，利用余弦定理可得：‎ - 24 -‎ ‎，化简配方即可求解.‎ ‎【详解】由已知易得是直角三角形，‎ 过点作，垂足为，易得，‎ 连接，‎ 因为平面平面，‎ 由面面垂直的性质定理，可得平面，‎ 所以，，可知当取最小值时，最大.‎ 设，，则.‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 所以，可得当时，取得最小值，最小值为，‎ 即的最小值.‎ 所以的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.‎ 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.数列中，，，为的前项和.‎ ‎（1）若，求；‎ - 24 -‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前项和公式求；‎ ‎（2）由（1）可知，代入后，利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）由得数列是首项，公比的等比数列；‎ 由得.‎ 得，解得.‎ 所以的值为.‎ ‎（2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列.‎ 可得 ‎.‎ 所以，数列的前项和.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.‎ ‎18.新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在地区随机抽取了位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）从“线上买菜”消费总金额不低于元的被调研居民中，随机抽取位给予奖品，求这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；‎ ‎（3）若地区有万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率和为1计算的值；‎ ‎（2）由频率分布图计算可知消费总金额在元的有4人，消费总金额在的有1人，采用编号列举的方法，计算这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；‎ ‎（3）首先计算估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.‎ ‎【详解】（1）由，‎ - 24 -‎ 得.‎ ‎（2）设事件为“这位‘线上买菜’消费总金额均低于元”‎ 被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在元的有人，‎ 分别记为，，，‎ 被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在的有人，记为，‎ 从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于元的居民中随机抽取人进一步调研，‎ 共包含个基本事件，‎ 分别为，，，，，，，，，，‎ 事件包含个基本事件，分别为，，，，，，‎ 则这位线上买菜消费总金额均低于元的概率.‎ ‎（3）由题意，可得估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为 估计低于平均水平一半的频率为，‎ 所以估计投放电子补贴总金额为 元.‎ ‎【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.‎ ‎19.如图，正三棱柱的所有棱长都为，是的中点，在边上，.‎ - 24 -‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若是侧面内的动点，且平面.‎ ‎①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；‎ ‎②求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以平面；‎ ‎（2）①要总有平面，即作出过点的平面，使其与平面平行；‎ ‎②根据①面面平行可转化为，再利用等体积转化求解.‎ ‎【详解】解：（1）在正三棱柱中，因平面，平面，‎ 所以 在等边中，是的中点，所以.‎ 又，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）①取的中点，的中点，连接，则点的轨迹就是线段.‎ - 24 -‎ ‎②因为平面，所以.……‎ 由（1）得平面，‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、三棱锥的体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考査化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知，点满足以为直径的圆与轴相切.‎ ‎（1）求的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与相切于点，过作的垂线交于，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，利用，化简求轨迹方程；‎ ‎（2）设，分别求直线和直线的方程，求交点的坐标，再利用坐标表示 - 24 -‎ ‎.‎ ‎【详解】（1）设，则的中点为，‎ 由题意，得，‎ 从而得 整理，得，‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）设，则的斜率，故直线的方程为，‎ 又，故可得的方程为，‎ 由解得，‎ 又，‎ 所以，故为定值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考査化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若是唯一极值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间是，减区间是（2）‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数，求函数的单调区间；‎ ‎（2）首先求函数的导数，令，转化为函数没有变号零点，求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得 当时，，‎ 因为，所以 所以时，，时，‎ 所以的增区间是，减区间是.‎ ‎（2），令 则，当，，当，，‎ 所以在递减，在递增，‎ 所以 ‎①当，即时，恒成立，‎ 故时，；时，‎ 故在递增，在递减，所以是的唯一极值点，满足题意.‎ ‎②当.即时，在递减，在递增，.‎ - 24 -‎ 故时，，得；时，，得 故在递增，在递减 所以是的唯一极值点，满足题意.‎ ‎③当，时，，‎ ‎，令，则，，‎ 令，，‎ 令，，，故在递增，故 故在递增，，故 所以在存在唯一零点，设为，‎ 当时，，得；当时，，得，‎ 所以在递减，递增，所以也是的极值点，‎ 所以不符合题意 综上所述，的取值范围是 ‎（注：①②可合并）‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和极值点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ - 24 -‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点在上，，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（且）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线化为普通方程，与直线联立消去，得的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.‎ ‎（2）设，，根据三角形的面积公式可得，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】（1）由，消去参数得的普通方程，‎ 设，由题意得 消去得的普通方程.‎ 把，代入上式，，‎ 可得的坐标方程为（且）.‎ ‎（2）由题意可设，，‎ ‎，‎ - 24 -‎ 所以当，即时，‎ 的面积取得最大值，其最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.‎ ‎23.已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，解得；当时，分离参数可得，令，只需，根据绝对值的几何意义求出即可； ‎ ‎（2）由（1）可得，即，从而，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）当时，恒成立，此时.‎ 当时，原不等式可等价转化为.‎ 令，则原不等式恒成立，只需.‎ 因为，‎ 当且仅当或时，“=”号成立，‎ 所以，即.‎ 综上知，的最大值.‎ - 24 -‎ ‎（2）由（1）可得，即.‎ 因为，所以，‎ ‎.‎ 当且仅当，即时“=”成立，‎ 所以的最小值为7.‎ ‎【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎