2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学（文）试题（解析版）

2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学（文）试题（解析版）

2020 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合交集的定义可得： . 本题选择 B 选项. 2．在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为（3，4），则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先写出复数 z 代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果. 【详解】 ，所以 ，所以 . 故选：C 【点睛】 本题考查复数几何意义、复数的模以及复数除法运算，考查基本分析求解能力，属基础 题. 3．等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【解析】根据题设条件，得到 ，进而得到 ，即可求解 的值，得到答案. 【详解】 1 2M x R x = ∈ <   { }4N x R x= ∈ ≥ − M N = 1 2x x ≤   14 2x x − ≤ <   R ∅ 14 2M N x x ∩ = − ≤ <   z z = 4 2 5 5 i− 4 3 5 5 i+ 3 4 5 5 − i 3 4 5 5 i+ 3 4z i= + 2 23 4 5z = + = ( ) ( )( ) 5 3 45 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 i iz i i i z −= = = −+ + − { }na nS 1 2 3 4 5 63, 6a a a a a a+ + = + + = 12S = 4 5 6 1 2 3 2a a a a a a + + =+ + 7 8 9 10 11 1212, 24a a a a a a+ + = + + = 12S 由题意，等比数列 的前 n 项和为 ，满足 ， 则 ，所以 ， 则 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前 n 项和的计算，其中解答中熟记等比数列 的通项公式和前 n 项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题. 4．有一批种子，对于一颗种子来说，它可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽，如表是不同 发芽天数的种子数的记录： 发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数 8 26 22 24 12 4 2 0 统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【解析】根据数据以及中位数定义求结果. 【详解】 因为这批种子共有 个， ， 所以这组数据的中位数是 3， 故选：B 【点睛】 本题考查中位数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书 九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的 ，则输出的 S= （ ） { }na nS 1 2 3 4 5 63, 6a a a a a a+ + = + + = 4 5 6 1 2 3 6 23 a a a a a a + + = =+ + 7 8 9 10 11 1212, 24a a a a a a+ + = + + = 12 1 2 3 10 11 12 45S a a a a a a= + + + + + + = 8 26 22 24 12 4 2 98+ + + + + + = 8 26 49,8 26 22 49+ < + + > 2, 2x n= = A．8 B．10 C．12 D．22 【答案】D 【解析】根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择. 【详解】 模拟程序的运行，可得 ， ，不满足条件 ， 执行循环体， ，不满足条件 ，执行循环体， ， 此时，满足条件 ，退出循环，输出 S 的值为 22. 故选：D 【点睛】 本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知条件 ，条件 ，且 是 的必要不充分条件，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别求出两个命题 、 是的范围， 是 的必要不充分条件等价于 是 的必要不充分条件，由此求得 的取值范围． 【详解】 或 ，当 时， 或 ， 当 时， ，因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的必要 不充分条件，因此． 从而 或 ，即 ． 2, 2, 0, 0, 2x n k S a= = = = = 2, 1S k= = 2k > 4, 8, 2a S k= = = 2k > 6, 22, 3a S k= = = 2k > : 1 2p x + > :q x a> q p a 0 1a≤ ≤ 1 3a≤ ≤ 1a ≤ 3a ≥ p q p¬ q¬ q p a : 1 2 1p x x+ > ⇒ > 3x < − 0a ≥ :q x a x a> ⇒ > x a< − 0a < :q x a x R> ⇒ ∈ p¬ q¬ q p 0a < 0, 1, 0 1 3, a a a a ≥  ≤ ⇒ ≤ ≤ − ≥ − 1a ≤ 故选：C 【点睛】 本题考查由必要不充分条件求参数，属于基础题． 7．将函数 的图象向右平移 单位后，所得图象对应的函数解析式 为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将函数 中 x 换为 x- 后化简即可. 【详解】 化解为 故选 D 【点睛】 本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将 x 按要求变 换. 8．某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三视图还原为直观图，可知该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成， 再求圆锥的底面半径，三棱柱的各边，根据体积公式求解即可． 【详解】 2 sin 2 4y x π = +   12 π 52 sin 2 12y x π = −   52 sin 2 12y x π = +   2 sin 2 12y x π = −   2 sin 2 12y x π = +   2sin 2 4y x π = +   12 π 2sin 2( )12 4y x π π = − +   2sin 2 12y x π = +   3 2 36 π + 43 π + 3 2 312 π + 2 43 π + 由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成， 如图，其中半圆锥的底面半径为 1，高为 ， 三棱柱的底面是一个边长为 2 的正三角形，高为 ， 则该几何体的体积： ． 故选：A 【点睛】 本题主要考查三视图、几何体的体积，以空间几何为载体，考查考生的空间想象能力与 基本运算能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、数学运算. 9．已知实数 ， 满足不等式 ，则点 与点 在直 线 的两侧的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题目可知当 与 在直线两侧时 ，又因为 ，则图象是单位元内的点，其所在的位置占整个圆的 ，由此可得结 果． 【详解】 解：若点 与点 在直线 的两侧， 则 ， 即 ， 又实数 ， 满足不等式 ， 作出图象如图：由图可知， 3 2 21 1 3 33 2 2 2 33 2 4 6V ππ= × × × + × × = + a b ( )22 1 1a b+ − ≤ ( )1, 1A − ( )1, 1B − − 1 0ax by+ + = 3 4 2 3 1 2 1 3 A B ( )( )1 1 0a b a b− + − − + < ( )22 1 1a b+ − ≤ 1 2 ( )1, 1A − ( )1, 1B − − 1 0ax by+ + = ( )( )1 1 0a b a b− + − − + < ( )( )1 1 0a b a b− + + − > a b ( )22 1 1a b+ − ≤ 点 与点 在直线 的两侧的概率为 ． 故选：C 【点睛】 本题考查线性规划以及几何概型，属于基础题． 10．正项数列 的前 n 项和为 ，且 ，设 ，则数列 的前 2020 项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据和项与通项关系得 ，再根据等差数列定义与通项公式、求 和公式得 ，代入化简 ，最后利用分组求和法求结果. 【详解】 因为 ，所以当 时， ，解得 ， 当 时， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以数列 是等差数列，公差为 1，首项为 1， 所以 ， 所以 ， 则数列 的前 2020 项的和 . ( )1, 1A − ( )1, 1B − − 1 0ax by+ + = 1 2 { }na nS ( )2 *2 n n nS a a n N= + ∈ ( ) 2 11 2 n n n n ac s += − { }nc 2019 2020 − 2020 2019 − 2020 2021 − 2021 2020 − 1 1n na a −− = ,n na S nc ( )2 *2 , 0n n n nS a a n N a= + ∈ > 1n = 2 1 1 12a a a= + 1 1a = 2n ≥ ( ) ( )2 2 1 1 12 2n n n n n n na S S a a a a− − −= − = + − + ( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − = 0na > 1 1n na a −− = { }na ( ) ( )11 1 , 2n n n na n n S += + − = = ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 11 1 12 ( 1) 1 n n nn n n a nc s n n n n + +  = − = − = − + + +  { }nc 1 1 1 1 1 1 1 1 20201 12 2 3 3 4 2020 2021 2021 2021        = − + + + − + + + + = − + = −               故选：C 【点睛】 本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和 法，考查基本分析求解能力，属中档题. 11．设函数 满足 ， ，则 时， （ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】B 【解析】先利用导数的运算法则，确定 的解析式，构造新函数，确定函数的单调 性即可求出结论． 【详解】 解：由 ，即 ， 结合 ，可知 ， ， 可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值． 故选：B 【点睛】 本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 12．已知定义在 上的函数 对任意的 都满足 ，当 ≤ 时， ，若函数 ，且 至少有 6 个零点，则 取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：函数g（x）=f（x）-loga|x|的零点个数，即函数 y=f（x）与 y=loga|x| 的交点的个数； 由 f（x+1）=-f（x），可得 f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），故函数 f（x）是周 ( )f x ( ) ( )2 xexf x f x x ′ + = ( ) 2 2 4 ef = 0x > ( )f x ( )f x ( ) ( )2 ' 2 xx f x xf x e+ = ( )( ) ( )'2 xx f x e= ( ) 2 2 4 ef = ( ) 2 xef x x = ( ) ( )' 3 2xe xf x x −= 期为 2 的周期函数，又由当-1≤x＜1 时，f（x）=x3，据此可以做出 f（x）的图象，y=loga|x| 是偶函数，当 x＞0 时，y=logax，则当 x＜0 时，y=loga（-x），做出 y=loga|x|的图象: 结合图象分析可得：要使函数 y=f（x）与 y=loga|x|至少有 6 个交点，则 loga5＜1 或 loga5≥-1，解得 a＞5，或 .故选 C. 【考点】1.考查函数图象的变化与运用 二、填空题 13．已知 ，则 ______. 【答案】 【解析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出 的值，再利用二倍角的正弦公式 得到 ，分母除以 ，利用同角三角函数关系式得到 ，最后转化为 即可求出 的值. 【详解】 解：因为 ， 所以 故答案为： 【点睛】 本题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用， 熟练掌握公式是解本题的关键. 14．向量 ， 满足 ， ，且 ，则 ， 的夹角 的取 值范围是______. ( )tan 2aπ + = sin 2a = 4 5 tan a sin 2 2sin cosa a α= 1 2 2 2sin cossin 2 sin cos a aa a a = + tan a sin 2α ( )tan tan 2a aπ + = = 2 2 2sin cossin 2 sin cos a aa a a = + 2 2 2tan 2 2 4 tan 1 2 1 5 a a ×= = =+ + 4 5 a b 2a = 1b = (2 2,2 3a b − ∈    a b θ 【答案】 【解析】首先根据 两边平方，然后根据平面向量的数量积公式进行 求解即可． 【详解】 因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，故 ． 故答案为： 【点睛】 本题重点考查了数量积的概念、运算法则及夹角等知识，属于基础题． 15．在平面直角坐标系 中，过点（0，1）的直线 l 与双曲线 交于两点 A，B，若 是直角三角形，则直线 l 的斜率为____. 【答案】 【解析】先设直线方程与双曲线方程联立方程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线 l 的斜率. 【详解】 直线 l 的斜率显然存在，设直线为 ，联立双曲线： ，消去 y 得： . ①若 ，则 ， 解得 . ②若 （A 在左支）设 A 点坐标（m，n）（ ），则 ，联立双曲线无解，故不可能出现 。 ③若 （B 在右支），同理不可能 故答案为： 2,3 3 π π     (2 2,2 3a b − ∈    (2 2,2 3a b − ∈    ( ) ( ]2 2 4,12a b− ∈  ( ]2 24 4 4 4 8cos 4,12a b a b θ+ − ⋅ = + − ∈    1 1cos ,2 2 θ  ∈ −   2,3 3 π πθ  ∈   2,3 3 π π     xOy 2 23 1x y− = OAB∆ 1k = ± 1y kx= + 2 23 1x y− = ( )2 23 2 2 0k x kx− − − = 90AOB∠ = ° ( )( )0 1 1 0A B A BOA OB x x kx kx⋅ = ∴ + + + =  ( )2 2 2 2 2 2(1 ) 1 0 (1 ) 1 03 3A B A B kk x x k x x k kk k −∴ + + + + = ∴ + ⋅ + ⋅ + =− − 1k = ± 90OAB∠ = ° 0m < 2 290 0OAB m n n°∠ = ⇔ + − = 90OAB∠ = ° 90OAB∠ = ° 1k = ± 【点睛】 本题考查直线与双曲线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 三、解答题 16．设实数 ， 满足 则 的最大值为______. 【答案】 【解析】先根据题意画出可行域，目标函数 表示的是可行域内的点到定点 的斜率，当直线过点 时斜率为最大值，只需解方程组求解点 代入目标函数即 可． 【详解】 由实数 ， 满足 作出可行域如图， 联立 得 ， 由 ，而 ， 所以目标函数 的最大值为 2． 故答案为： 【点睛】 本题考查求分式型的非线性规划的目标函数题，准确作图，利用目标函数的集合意义是 解题的关键． x y 2 3, 1 2, 4, x y x y ≤ ≤  ≤ ≤  + ≤ 1 y x − 2 1 y x − ( )10P ， A ( )2,2A x y 2 3, 1 2, 4, x y x y ≤ ≤  ≤ ≤  + ≤ 2, 4 x x y =  + = ( )2,2A 1 yz x = − 2 22 1PAk = =− 1 y x − 2 17．在 中，角 所对的边分别为 ， . （1）求证： 是等腰三角形； （2）若 ，且 的周长为 5，求 的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】试题分析： （1）根据正弦定理边化角有 ，据此可得 ，则 ，所以 是等腰三角形； （2）由（1）结合余弦定理可得： . 的周长为 ，得 .由面积公式可得 的面积 . 试题解析： （1）根据正弦定理，由 可得 ， 即 ，故 ，由 得 ， 故 ，所以 是等腰三角形； （2）由（1）知 ， . 又因为 的周长为 ，得 . 故 的面积 . 18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 人参加， 现将所有参加者按年龄情况分为 ， ， ， ， ， ， 等七组，其频率分布直方图如图所示，已知 这 组的参加者是 6 人. ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2cos cos cosbcosC a B b A B= + ABC∆ 7cos 8A = ABC∆ ABC∆ 15 4 ( )2sinBcosC sinAcos B sinBcosAcosB cosBsin A B= + = + ( ) 0sin B C− = B C= ABC∆ 2b a= ABC∆ 5 5a b c a+ + = = 1, 2a b= = ABC∆ 1 15 2 4S bcsinA= = 2bcosC acos B bcosAcosB= + ( )2sinBcosC sinAcos B sinBcosAcosB cosB sinAcosB sinBcosA= + = ⋅ + ( )cosBsin A B= + sinBcosC cosBsinC= ( ) 0sin B C− = ( ), 0,B C π∈ ( ),B C π π− ∈ − B C= ABC∆ b c= 2 2 2 2 2 2 2 7 22 2 8 b c a b acosA b abc b + − −= = = ⇒ = ABC∆ 5 5a b c a+ + = = 1, 2a b= = ABC∆ 21 1 7 152 2 12 2 8 4S bcsinA  = = × × × − =   N [ )20,25 [ )25,30 [ )30,35 [ )35,40 [ )40,45 [ )45,50 [ )50,55 [ )25,30 （1）根据此频率分布直方图求 ; （2）已知 ， 这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人 担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概 率． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）先求出年龄在 内的频率，由 这组的参加者人数和其频率 求出总人数 . （2）分别求出“从年龄在 之间选出的人中至少有 1 名数学教师"的人数和 “从年 龄在 之间选出的人中至少有 1 名数学教师"的人数，即可求出两组选出的人中 都至少有 1 名数学老师的概率． 【详解】 解：（1）根据题意， 这组频率为 ， 所以 ； （2） 这组的参加者人数为 ， 这组的参加者人数为 ， 恰有 1 名数学老师的概率为 . 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题． 19．在如图所示的几何体中， 是边长为 2 的正三角形， , 平面 ，平面 平面 ， ，且 . N [ )35,40 [ )40,45 40N = 16 35 [ )25,30 [ )25,30 N [ )35,40 [ )40,45 [ )25,30 0.03 5 0.15× = 6 400.15N = = [ )35,40 0.04 5 40 8× × = [ )40,45 0.03 5 40 6× × = 1 1 2 2 1 1 2 6 4 6 2 4 2 2 8 6 16 35 c c c c c c c c ⋅ + ⋅ = ABC∆ 1AE > AE ⊥ ABC BCD ⊥ ABC BD CD= BD CD⊥ （1）若 ，求证： 平面 ； （2）若 到 的距离是 ，求该几何体的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）取 、 、 的中点为 ， ， ，证明 是平行四边 形． 则有 ，又因为 ，即 ，即可证得 平面 ． （2）首先证明 面 ，几何体的体积 ，求出 ，即可求得体积。 【详解】 （1）如图，取 、 、 的中点，分别为 ， ， ． 连接 ， ， ， ， ， 为 的终点， ， 所以 是平行四边形． 所以 ， 又因为 （三角形中位线定理）， 2AE = AC  BDE B DE 7 2 3 BC BE BA M N K DNKM KM DN KM AC AC DN AC  BDE AB ⊥ AMED B AEDM C AEDMV V− −+锥 锥 ( )1 3 EAMDS MB MA= + EAMDS BC BE BA M N K DM DN NK MK 1 1 2 12 2NK AE= = × = M BC DM BC∴ ⊥ 1DM = NK DM DNKM KM DN KM AC 所以 所以 平面 得证． （2）如图， 首先证明 面 ，所以该几何体的体积 ， 所以核心是求 如图 在 平面内， 过 点做 直线垂线，垂足是 ，连接 ． 则 ，于是 因为 ， 所以 ， 从而 ，所以 ， 从而 进而几何体的体积 AC DN AC DN AC BDE AC BDE DN BDE  ⊄ ⇒ ⊂   平面 平面 平面 AC  BDE AB ⊥ AMED ( )1 3 EAMDB AEDM C AEDMV V S MB MA− −+ = +锥 锥 EAMDS EAMD M ED T MT BT ED⊥ 7 2BT = 1MB = 1MD = 3 2BT = 60TDM∠ = ° 2AE = 3 3 2EAMDS = 3 【点睛】 本题着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理，空间几何体的体 积，属于中档题。 20．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ， 离心率为 ， 的面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若 ， 为 轴上的两个动点，且 ，直线 和 分别与椭圆 交于 ， 两点，若 是坐标原点，求证： 、 、 三点共线。 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）根据离心率公式和面积公式可求得 ，即可求得椭圆的方程； （2）分别设直线 求出其与曲线的交点 ， ，同理设 求出其与 曲线的交点 ， ，根据斜率 得到三点共线． 【详解】 （1）依题意： ， ， ， ， 所以 ， ， 所以椭圆方程： ． （2）设 与 交于 、 ，且 ， ， ， 设 与 交于 、 ，且 ， ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > A B F 2 2 ABF∆ 2 1+ C M N y MF NF⊥ AM AN C E D O E O D 2 2 14 2 x y+ = ,a b AMl ( )2,0A − ( )1 1,E x y ANl ( )2,0A − ( )2 2,D x y OD OEk k= 2 2 ce a = = 2a c= b c= ( ) ( ) 21 1 2 1 2 12 2ABFS a c b c∆ = + ⋅ = + = + 2 22c b= = 2 4a = 2 2 14 2 x y+ = : 2AM ml y x m= + 2 22 4x y+ = ( )2,0A − ( )1 1,E x y ( )0,M m ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 02 22 4 my x m x m x m x y  = +   ⇒ + + + − =    + = 2 1 2 4 2 2 mx m −= + 1 2 4 2 my m = + : 2AN nl y x n= + 2 22 4x y+ = ( )2,0A − ( )2 2,D x y ( )0,N n 同理可得 ，所以 ， 由 ，可得 ， ∴ ， 所以 所以 ， ， 三点共线．从而 恒过定点 ． 【点睛】 本意考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆相交，一元二次方程的根与系数的 关系、三点共线关系，考查推理能力与计算能力． 21．如果函数 满足 且 是它的零点，则函数 是“有趣 的”，例如 就是“有趣的”，已知 是“有趣 的”. （1）求出 b、c 并求出函数 的单调区间； （2）若对于任意正数 x，都有 恒成立，求参数 k 的取值范围. 【答案】（1） ， ，单减区间为 0，1），单增区间为 ；（2） 【解析】（1）根据定义得方程恒成立，解得 b、c，再根据复合函数单调性确定函数 的单调区间； （2）先化简不等式，再求导数，根据导函数符号分类讨论,利用导数证明 恒成立, 再说明 不恒成立. 【详解】 （1）因为 是“有趣的”，所以 ( )2,0F 2 2 2 4 2 4,2 2 n nD n n  −  + +  2 2 2 2 4 42 4 2 4 2 2 OE m mmk m m m += =− − + MF NF⊥ mn 2= − 2 2 2 2 2 2 844 8 4 4 84 2 4 8 4 24 2 4 OD OE n m mm mk kn m m m m  − −  − = = = = = =− − −− × − OD OEk k= E O D ED O ( )f x ( ) 1f x f x  =    1x = ( )f x ( ) 1ln lng x x x = ⋅ ( ) ( ) ( )2ln lnh x x c bx= + − ( )h x ( ) ( ) 0h x kg x+ ≤ 2b = 1c = ( )1 + ∞， 1 ,2  +∞  ( )h x 1 2k ≥ 1 2k < ( ) ( ) ( )2ln lnh x x c bx= + − ( ) 1( ), (1) 0h x h hx = = 即 的定义域为 ，单减区间为（0，1），单增区间为 . （2）参数 的取值范围为 . 引理：不等式 对任意正数 y 都成立。证明如下： 由 恒成立，得 恒成立。. 我们构造函数 。注意到 。 构造 ，注意到 ，且 我们以下分两部分进行说明： 第一部分： 时， 恒成立。 时，由引理得： ，知道 ， 从而当 时有 ， 时有 ，所以 在（0，1）上为负，在 上为正。 从而 在 上单减，在 上单增，最小值为 。 从而 ( ) ( ) ( )2 2 1ln ln ln ln , 1 ln(1 ) ln 0bx c bx c h c bx x    + − = + − = + − =       2 21 1 1 2,x c cx c b c∴ + = + ∴ = ∴ = + = ( ) ( ) ( )2 1 1ln 1 ln 2 ln ( )2h x x x x x = + − = + ( )h x (0, )+∞ ( )1 + ∞， k 1 ,2  +∞  1 lny y− ≥ 11 ln 1 0 1 (0,1), 0; (1, ), 0 (1) 0u y y u y y y y y y yy ′ ′ ′= − − ∴ = − = ⇒ = ∴ ∈ < ∈ +∞ > ∴ ≥ = ( ) ( ) 0h x kg x+ ≤ 2 2 1(ln ) ln 02 xk x x +− ≥ 2 2 1( ) (ln ) ln 2 xF x k x x += − 1 0F =（） ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 ln 1 1( ) 2 1 ln 1 1 1 x xF x k k x x xx x x x x −′ = + = + + − + + ( ) ( 1)ln 1G t k t t t= + − + (1) 0G = ( ) ( )2 2 1( ) 1 F x G x x x ′ = + 1 1( ) ln 1 1 ln 2 1kG t k t k k kt t t  ′ = + + − = − − + −   1 2k ≥ ( ) 0F x ≥ 1 2k ≥ 1 11 ln 0t t − − ≥ 1 1( ) 1 ln 2 1 0G t k kt t  ′ = − − + − ≥   1t ≥ ( ) (1) 0G t G≥ = 1t ≤ ( ) (1) 0G t G≤ = ( ) ( )2 2 1( ) 1 F x G x x x ′ = + 1（， ）+ ∞ ( )F x ( )0,1 ( )1 + ∞， ( )1F ( ) (1) 0F x F≥ ≥ 第二部分： 时，不满足条件。 构造函数 。 （ⅰ）若 ，则对于任意 ，都有 。 （ⅱ）若 ，则对于任意 ， ， 而 ，所以在（0，1）上 有唯一零点 ，同时在 ，时都有 。 于是只要 ，无论是（ⅰ）还是（ⅱ），我们总能找到一个实数 ，在 时都有 。 这样在 时，都有 ，结合 ，所以 时 ，从而在 时有 。 ，所以 时 ，不满足要求。 【点睛】 本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析求解能 力，属难题. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下，直线 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴为非负半 轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值． 【答案】（Ⅰ）直线 : ，曲线 : ；（Ⅱ） . 【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数 ，得直线 的普通方程为 ，由 ，两边同乘以 ，得曲线 的直角坐标方程为 ；（Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得 1 2k < ( ) ( 1 ln ) 2 1H s k s s k= − − + − 0k ≤ (0,1)s∈ ( ) 0H s < 0k > (0,1)s∈ ( ) ( 1) 0kH s ss ′ = − < 1 1 e e 1 0k kh k − −   = + >        H s（ ） 0S S= ( )0 ,1s s∈ 0H s <（ ） 1 2k < 00 1s< < (0,1)s∈ 0H s <（ ） 0 11,t s  ∈    1( ) 0G t H t  ′ = <   (1) 0G = 0 11,t s  ∈    ( ) 0G t < 0 11,x s   ∈    ( ) ( )2 2 1( ) 0 1 F x G x x x ′ = < + (1) 0F = 0 11,x s   ∈    0F x <（ ） ，即 ，由直线参数的几何意义知， . 试题解析：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ， 由 ， 即曲线 的直角坐标方程为 （Ⅱ）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得 ，即 ， 设方程 的两根分别为 ，则 ． 【考点】极坐标与参数方程（互化）、直线参数几何意义． 23．已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）若 证明： 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】（1）由零点分段法讨论 的范围，解各个范围内的不等式，最后求并集即可求 出解集.（2）由题意可知，即证 ，对两边平方，作差，根据（1）的 结论即可证明结果. 【详解】 （1） ， 故 或 或 ，故不等式的解为 . （2）证明：要证 ，只需证 ， 即证 （）. 只需证： 因为 ， ( ) | | ( )f x x x R= ∈ ( 1) ( 1) 4f x f x− + + ≤ M ,a b M∈ 2 ( ) ( ) 4f a b f ab+ ≤ + [ 2,2]M = − x 2 | | | | 4a b ab+ ≤ + 2 , 1 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x x x x x x − < − − + + = − ≤ ≤  > 1 2 4 x x < − − ≤ 1 1 2 4 x− ≤ ≤  ≤ 1 2 4 x x ≥  ≤ [ 2,2]− 2 | | | | 4a b ab+ ≤ + 2 24( ) (| | 4)a b ab+ ≤ + 2 2 24 8 4 ( ) 8| | 16a ab b ab ab+ + ≤ + + 2 2 24 8 4 ( ) 8| | 16 0a ab b ab ab− −−+ + ≤ 8 8| |ab ab≤ 所以只需证： ， 又由（1）知， ，则 ，即 ， 所以（）式显然成立，故原命题得证. 【点睛】 本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查分析法证明不等式，属于基础题. 2 2 24 4 ( ) 16 0a b ab −−+ ≤ | | 2,| | 2a b≤ ≤ ( )( )2 24 4 0a b− − ≥ 2 2 24 4 ( ) 16 0a b ab −−+ ≤