2013年高考湖南卷（文）数学试题

2013年高考湖南卷（文）数学试题

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学（文史类）‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.“1＜x＜‎2”‎是“x＜‎2”‎成立的______‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___ D ____‎ A.9 B‎.10 C.12 D.13‎ ‎4.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于____ ‎ A.4 B‎.3 C.2 D.1‎ ‎5.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2sinB=b，则角A等于______‎ A. B. C. D.‎ ‎ 6.函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为______‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______‎ A． B‎.1 C. D.‎ ‎8.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=____‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎10.已知集合,则_____‎ ‎ 11.在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为_____‎ ‎12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___‎ ‎13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为______‎ ‎14.设F1，F2是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使 PF1⊥PF2，且∠PF‎1F2=30°，则C的离心率为___________.‎ ‎15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0 ‎ (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;‎ (2) 若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列” q1，q2，q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=‎ （1） 求的值；‎ （2） 求使 成立的x的取值集合 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图2.在直棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。‎ （I） 证明：AD⊥C1E；‎ （II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A2B1E的体积。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某人在如图3所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米。‎ ‎（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;‎ ‎(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为‎48kg的概率.‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 设为数列{}的前项和，已知，2，N ‎（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛｝的前项和。‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。‎ ‎21.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D ‎ 二填空题 ‎10． 11．4 12．4 13．6 14． 15．（1） 2 （2）17 ‎ 三、解答题 ‎16．解： (1) ‎ ‎。‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎17．解： (Ⅰ) .‎ ‎.‎ ‎(证毕)‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎.‎ ‎18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形中共有15个格点,‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 平均年收获量.‎ ‎（Ⅱ）在15株中，年收获量至少为‎48kg的作物共有2+4=6个.‎ 所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=.‎ ‎19．解： (Ⅰ) ‎ ‎-‎ ‎（Ⅱ） ‎ 上式左右错位相减：‎ ‎。‎ ‎20．解： (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D，由题知圆D的直径为直线对称.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.‎ 圆C:到直线的距离。‎ ‎.‎ 由椭圆的焦半径公式得：‎ ‎.‎ 所以当 ‎21．解： (Ⅰ) ‎ ‎.‎ 所以，。‎ ‎ （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。‎ ‎。‎ ‎。‎