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文档介绍
山东省威海市2020届高三三模数学试题 Word版含解析
高三数学试题 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 集合是的取值范围,是函数的值域,分别求出再求交集. 【详解】解:, 故选:A 【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算;基础题. 2.已知复数在复平面内对应的点在直线上,则实数( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 化简复数,求出对应点,代入直线方程求解即可. 【详解】因为, 所以对应的点为, 代入直线可得, 解得, 故选:C 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义,直线的方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.若(且),,则( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】 先由得,,又由,可得,而,可得 【详解】解:因为,所以, 因为,所以, 因为,, 所以, 故选:B 【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式,属于基础题 4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是( ) A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同 C. 立冬的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸,寸,公差为寸,可求出,利用等差数列知识即可判断各选项. 【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸,寸,公差为寸,则, 解得(寸), 同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列,首项,末项,公差(单位都为寸). 故选项A正确; 春分的晷长为, 秋分的晷长为,,所以B正确; 立冬的晷长为,,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确; 立春的晷长,立秋的晷长分别为,, ,, ,故D错误. 故选:D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等差数列在实际问题中的应用,数学文化,属于中档题. 5. 有三个筐,一个装着柑子,一个装着苹果,一个装着柑子和苹果,包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签,分别贴到上述三个筐上,由于马虎,结果全贴错了,则( ) A. 从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签 B. 从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签 C. 从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签 D. 从其中一个筐里拿出一个水果,不可能纠正所有的标签 【答案】C 【解析】 【分析】 若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果,无法判定剩余水果是一种还是两种,不能纠正所有标签,若从“混装”标签中取出一个,就能判断其余两个筐内水果. 【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果,如果拿的是柑子,就无法判断这筐装的全是柑子,还是有苹果和柑子; 同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断,因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果. 分两种情况:(1)如果取出的是柑子,那说明这筐全是柑子,则贴有柑子的那筐就是苹果,贴有苹果的那筐就是苹果和柑子. (2)如果取出的是苹果,那说明这筐全是苹果,那贴有苹果的那筐就是柑子,贴有柑子的那筐就是苹果和柑子. 故选:C 【点睛】解决本题的关键在于,其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起,所以能判断不是苹果就是柑子,考查了逻辑推理能力,属于容易题. 6.已知向量,将绕原点逆时针旋转到的位置,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设向量与轴的夹角为,结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式,求得,得到点的坐标,进而求得. 【详解】由题意,向量,则, 设向量与轴的夹角为,则, 所以 , 可得, 所以. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用,着重考查推理与运算能力. 7.已知函数对任意,都有,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用赋值法再结合条件,即可得答案; 【详解】由所求式子可得, 令可得:, 令可得:, 令可得:, 令可得:, , , 故选:B. 【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式,等比数列求和,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意将抽象函数具体化. 8.已知正四棱柱,设直线与平面所成的角为,直线与直线所成的角为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别在正四棱柱中找到和,将和放在同一个平面图形中找关系即可. 【详解】作正四棱柱如下图: ∵正四棱柱中,平面, ∴ ∵底面是正方形 ∴ 又∵ ∴平面 ∴是直线与平面所成的角,即 ∵ ∴是直线与直线所成的角,即 ∵,, ∴ ∴ ∵平面 ∴ ∴ 故选:D 【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角,属于中档题. 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分. 9.随着我国经济结构调整和方式转变,社会对高质量人才的需求越来越大,因此考研现象在我国不断升温.某大学一学院甲、乙两个本科专业,研究生的报考和录取情况如下表,则 性别 甲专业报考人数 乙专业报考人数 性别 甲专业录取率 乙专业录取率 男 100 400 男 女 300 100 女 A. 甲专业比乙专业的录取率高 B. 乙专业比甲专业的录取率高 C. 男生比女生的录取率高 D. 女生比男生的录取率高 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据数据进行整合,甲专业录取了男生25人,女生90人;乙专业录取了男生180人,女生50人;结合选项可得结果. 【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人,女生90人;乙专业录取了男生180人,女生50人; 甲专业的录取率为,乙专业的录取率为,所以乙专业比甲专业的录取率高. 男生的录取率为,女生的录取率为,所以男生比女生的录取率高. 故选:BC. 【点睛】本题主要考查频数分布表的理解,题目较为简单,明确录取率的计算方式是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养. 10.已知函数将的图象上所有点向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.若为偶函数,且最小正周期为,则( ) A. 图象与对称 B. 在单调递增 C. 在有且仅有3个解 D. 在有仅有3个极大值点 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据三角函数的图象变换和三角函数的性质,求得函数的解析式,再结合三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解. 【详解】将函数将的图象上所有点向左平移个单位, 可得, 再横坐标缩短为原来的,可得, 因为函数的最小正周期为,即,解得, 可得, 又由函数为偶函数,则, 即,当,可得, 所以, 令,即, 当时,,即函数的图象关于对称, 所以A是正确的; 当时,, 所以函数在区间不是单调函数, 所以B不正确; 由, 因为,可得, , , 又, 所以在有且仅有3个解,所以C正确; 由,则,或, 即或时,取得极大值, 所以在有仅有2个极大值点,所以D不正确. 故选:AC. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质的综合应用,着重考查推理与运算能力,属于中档试题. 11.已知抛物线上三点,,,为抛物线的焦点,则( ) A. 抛物线的准线方程为 B. ,则,,成等差数列 C. 若,,三点共线,则 D. 若,则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】 把点代入抛物线即可得到本题答案;根据抛物线的定义,以及,可得,从而可证得;由A,F,C三点共线,得,结合,化简即可得到本题答案;设AC的中点为,由,结合,即可得到本题答案. 【详解】把点代入抛物线,得,所以抛物线的准线方程为 ,故A正确; 因为,所以,,,又由,得, 所以,即,,成等差数列,故B正确; 因为A,F,C三点共线,所以直线斜率,即,所以,化简得,,故C不正确; 设AC的中点为,因为,,所以,得, 即的中点到轴距离的最小值为2,故D正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题,考查学生的分析问题能力和转化能力. 12.已知函数的定义域为,导函数为,,且,则( ) A. B. 在处取得极大值 C. D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意可设,根据求,再求判断单调性求极值即可. 【详解】∵函数的定义域为,导函数为, 即满足 ∵ ∴ ∴可设(为常数) ∴ ∵,解得 ∴ ∴,满足 ∴C正确 ∵,且仅有 ∴B错误,A、D正确 故选:ACD 【点睛】本题主要考查函数的概念和性质,以及利用导数判断函数的单调性和极值点,属于中档题. 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】 把按照二项式定理展开,可得的展开式中的系数. 【详解】, 故它的展开式中的系数为, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题. 14.已知是平面,外的直线,给出下列三个论断,①;②;③.以其中两个论断为条件,余下的论断为结论,写出一个正确命题:________.(用序号表示) 【答案】若①③,则②或若②③,则①(填写一个即可); 【解析】 【分析】 利用空间直线与平面的位置关系进行判断,,时,与可能平行或者相交. 【详解】因为,时,与可能平行或者相交,所以①②作为条件,不能得出③; 因为,所以内存在一条直线与平行,又,所以,所以可得,即①③作为条件,可以得出②; 因为,,所以或者,因为是平面外的直线,所以,即即②③作为条件,可以得出①; 故答案为:若①③,则②或若②③,则①(填写一个即可); 【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断,稍微具有开放性,熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键,侧重考查直观想象的核心素养. 15.已知双曲线过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,以,为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切,若两圆的半径之和为,则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求两点的坐标,代人圆心到直线的距离,由已知条件建立等式求得,最后再求双曲线的离心率. 【详解】设,当,代人双曲线方程, 解得:,设, 根据对称性,可设与两圆相切的渐近线是, 则两点到渐近线的距离, ,上式去掉绝对值为, 即,那么. 双曲线的离心率. 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的离心率,重点考查转化与化归的思想,计算能力,属于基础题型. 16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中,某段管道铺设要经过一处峡谷,峡谷内恰好有一处直角拐角,水平横向移动输气管经过此拐角,从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷.如图所示,位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点(点、、在同一水平面内),设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为,则的长为________(用表示)米.要使输气管顺利通过拐角,其长度不能低于________米. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 分别计算出、,相加可得的长;设,利用导数求得的最小值,即可得解. 【详解】如下图所示,过点分别作,,则, 在中,,则,同理可得, 所以,. 令,则, 令,得,得, 由,解得, 当时,;当时,. 则. 故答案为:;. 【点睛】本题考查导数的实际应用,求得函数的解析式是解题的关键,考查计算能力,属于中等题. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在中,角,,的对边分别为,,,. (Ⅰ)求角; (Ⅱ)若,,求边上的高. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理和和角的正弦公式化简,即得; (Ⅱ)由题得,再利用余弦定理求出,即得边上的高. 【详解】解:(Ⅰ)由及正弦定理可得 , 将代入上式,整理得, 解得,所以. (Ⅱ)由,得, 由余弦定理得,解得. 所以边上的高为. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查和角的正弦公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.从条件①,②,③,中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答. 已知数列的前项和为,,________.若,,成等比数列,求的值. 【答案】若选择①,;若选择②,;若选择③,. 【解析】 【分析】 若选择①,利用可得,可得,再根据等比中项列方程解得即可;若选择②,根据可得,可得,,再根据等比中项列方程解得即可;若选择③,利用可得,,再根据等比中项列方程解得即可. 【详解】若选择①, 因为,,所以,, 两式相减得,整理得. 即,. 所以为常数列.,所以. (或由,利用相乘相消法,求得) 所以,, 又,,成等比数列,所以, 所以,解得或(舍), 所以. 若选择②, 由变形得,, 所以, 易知,所以, 所以为等差数列,又,所以,, ∴, 又时,也满足上式, 所以. 因为,,成等比数列,∴, ∴或,又,∴. 若选择③, 因为,所以, 两式相减得, 整理得, 因为,∴,所以是等差数列, 所以, , 又,,成等比数列,∴, ∴或,又,∴. 【点睛】本题考查了根据与的关系式求,考查了等比中项的应用,考查了等差数列的前项和公式,属于中档题. 19.携号转网,也称作号码携带、移机不改号,即无需改变自己的手机号码,就能转换运营商,并享受其提供的各种服务.2019年11月27日,工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户,从运营系统中选出300名客户,对业务水平和服务水平的评价进行统计,其中业务水平的满意率为,服务水平的满意率为,对业务水平和服务水平都满意的客户有180人. (Ⅰ)完成下面列联表,并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关; 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 (Ⅱ)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意见,用表示对业务水平不满意的人数,求的分布列与期望; (Ⅲ)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为,只对其中一项不满意的客户流失率为,对两项都不满意的客户流失率为,从该运营系统中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少? 附:,. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(Ⅰ)列联表详见解析,有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关;(Ⅱ)分布列详见解析,期望为;(Ⅲ). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据所给数据列表,计算后比较临界值即可得出结论; (Ⅱ)根据超几何分布得出随机变量概率,列出分布列求期望即可; (Ⅲ)由互斥事件和的概率公式计算运营系统中任选一名客户流失的概率,从运营系统中任选4名客户流失人数服从二项分布 ,根据二项分布求解即可. 【详解】(Ⅰ)由题意知对业务满意的有260人,对服务不满意的有100人,得列联表 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 180 80 260 对业务水平不满意人数 20 20 40 合计 200 100 300 经计算得, 所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. (Ⅱ)的可能值为0,1,2. 则,,, 0 1 2 . (Ⅲ)在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为,只有一项满意的客户流失的概率为,对二者都不满意的客户流失的概率为. 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为, 故在业务服务协议终止时,从运营系统中任选4名客户,至少有2名客户流失概率为 . 【点睛】本题主要考查了独立性检验,离散型随机变量的分布列与期望,互斥事件的和,二项分布,考查了推理能力与运算能力,属于较难题目. 20.已知直三棱柱,,,,分别为,,的中点,且. (1)求证:平面; (2)求; (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)详见解析;(2);(3) 【解析】 【分析】 (1)取的中点,连接,,,先证明,,从而可得为平行四边形,进而可得,再结合线面平行的判定定理可证明平面; (2)设,,,,易知,且,进而用表示出,,并结合,可求出及; (3)在平面内过点做射线垂直于,易知,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,进而分别求得平面及平面的法向量,,再由,可求出二面角的余弦值. 【详解】(1)证明:取的中点,连接,,, 则有,且,,且, 又,,所以,且, 所以为平行四边形,所以, 又平面,平面, 所以平面. (2)设,,,, 由已知可得,,且, 则,, 因为,所以 , 所以,即. (3)在平面内过点做射线垂直于,易知,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,, 为平面的一个法向量, ,. 设为平面的一个法向量, 则,令,则, 则, 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线线垂直的性质,考查二面角的求法,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题. 21.已知函数. (Ⅰ)求证:当时,的图象位于直线上方; (Ⅱ)设函数,若曲线在点处切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行(为坐标原点),求证:. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)转化为当时,恒成立,令,求得和,结合函数的单调性,求得,进入得到,即可得到结论. (Ⅱ)设,由,解得,得到,所以,进而得到要证,转化为,构造新函数,求得函数的单调性与最值,即可求解. 【详解】(Ⅰ)由题意,当时,的图象位于直线上方, 即证当时,恒成立, 令,可得,则, 所以在上单调递增, 所以,所以在上单调递增,所以, 所以当时,的图象始终在直线上方. (Ⅱ)因为,则, 设,则,所以, 所以,所以,所以. 要证, 即证,即证,即证, 下面证明.令,∴, 所以当,,,, 所以在单调递减,在单调递增, 所以,即, 所以,. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 22.已知是椭圆:上一点,以点及椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形面积为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过作斜率存在且互相垂直的直线,,是与两交点的中点,是与两交点的中点,求△面积的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)通过已知建立方程组,解方程组即得椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线:,联立直线和椭圆方程得到韦达定理,求出,令,,则再利用导数求函数的最大值得解. 【详解】解:(Ⅰ)由点在椭圆上可得, 整理得①. ,解得, 所以,代入①式整理得, 解得,. 所以椭圆标准方程为. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以设直线:, 联立直线与椭圆的方程,整理得. 所以直线与椭圆两交点的中点的纵坐标, 同理直线与椭圆两交点的中点的纵坐标, 所以 , 将上式分子分母同除可得, , 不妨设,令,,则, 令,,因为,所以, 所以在单调递增, 所以当时,三角形△面积取得最大值. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系和面积最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.查看更多