高一数学同步辅导教材(第6讲)

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A B C D O M 高一数学同步辅导教材（第 6 讲） 一、本讲教学进度 1.7-1.8(P32-36) 二、本讲内容 1．反证法 2．充分条件和必要条件 三、重点、难点选讲 1．反证法 ⑴数学证明的方法可以分为直接证法和间接证法两种.由已知条件和有关公理、定理、公式出发，通 过逻辑推理证得结论的方法叫直接证法，用除此以外的办法证明结论的方法叫间接证法. ⑵反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“ qp  ”，反证法是假设 q 为真，即 q 不成立， 并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确， 产生矛盾的原因只能是“假设 q 为真”，由此假设不成立，即“ q 为真”．这里的“矛盾”可以是与条 件 p 矛盾，即推得“ p ”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设 为真”矛盾． 例 1 用反证法证明：若 A 、 B 、C 是△ ABC 的三个内角，则其中至少有一个角不大于 60 ． 证 假设 、 、 都大于 ，即 60A ， 60B ， 60C ，则有 180 CBA 与三角形三个内和等于 180 矛盾． 因此假设不成立，即 、 、 中至少有一个角不大于 ． 评析 ⑴本题中的 :q 、 、 中至少有一个小于或等于 ，因此 为 、 、 中没有一 个小于或等于 ，即 ，且 ，且 ． ⑵一般来说，涉及“至少”、“最多”的问题，常用反证法进行证明. 例 2 用反证法证明：若 Rcba 、、 ，且 12,12,12 2222  aczcbybax ，则 zyx 、、 中至少有一个不于0 ． 证 假设 都小于 ，即 0,0,0  zyx ，则有 0 zyx ． 另一方面，由已知有 121212 222  accbbazyx 121212 222  ccbbaa       0111 222  cba . 与由假设推得的结论 0 zyx 矛盾， ∴ zyx 、、 中至少有一个不小于0 . 例 3 求证：同圆中，两条非直径且相交的弦，不可能在交点互相平分. 证 设 CDAB、 是圆O 中两条相交于 M 点的弦，且 CDAB、 均不是圆O 的直径. 假设 点同时是弦 AB 和CD 的中点，如图所示. 因 AB 不是直径，由圆的性质知， ABOM . 同理可证， CDOM . ∵过点 M 且与OM 垂直的直线只有一条， ∴ AB 必与CD 重合，这与已知 CDAB、 是圆O 的两条 相交弦矛盾. ∴ CDAB、 不可能在交点 M 处互相平分. 评析 一般来说，凡是涉及不可能问题的证明，通常都用 反证法进行证明. 2．充分条件和必要条件 ⑴充分条件和必要条件是十分重要的数学概念，必须准确理解“充分”、“必要”的涵义. ⑵ p 与 q 之间的因果关系有四种情况： ① qp  ，且 pq  ，称 是 的充分不必要条件； ② ，且 pq  ，称 是 的必要不充分条件； ③ qp  ，且 pq  ，称 是 的充分必要条件； ④ qp  ，且 pq  ，称 是 的既不充分又不必要条件. ⑶ 是 的充分条件即 ，可以从字面上理解为“若 真则充分保证 也为真”， 是 的 必要条件即 ，可以从字面上理解为“若要 真，必须要 真”. ⑷当 时，既可以称 是 的充分条件，也可说成“ 的充分条件是 ”. 当 时，既可以称 是 的必要条件，也可说成“ 的必要条件是 ”. 例 4 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件（指“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”， 或“既不充分又不必要条件”）： （1） p ：抛物线 )0(2  acbxaxy 经过点 A（1，0）， q ： )0(0  acba ； （2） ： x 为偶数，且 y 为偶数， ： yx  为偶数； （3） ： 21 x ， ： 0322  xx ； （4） ： 0a ， q ： ),(022 Rbaba  ; (5) : 2x , 或 3x ， ： 17  xx . 解：（1）若 真，即 0,110 2  cbacba ，故 . 若 真，即 )0(0  acba ，则 0112  cba ，抛物线 cbxaxy  2 经过点 A（1,0），故 . ∴ 是 q 的充要条件. （2）若 真，即 x 为偶，且 y 为偶数，则 yx  为偶数，故 . 若 真, 即 为偶数，则 x 、 y 可能都是奇数，因此 . ∴ 是 的充分不必要条件. （3）若 真，即 21 x ，则 31  x ， 为 1x 或 3x ，故 ， . ∴ 是 的既非充分又非必要条件. （4）显然 ，（当 0a ， 0b 时， 022  ba ），又若 真，即 ),(022 Rbaba  ，则 0a ，且 0b ，故 p 真， . ∴ 是 的必要不充分条件. （5）解方程 2,32,06,127,17 22  xxxxxxxxxx 或 是增根， q ： 3x . 若 p 真，即“ ,2x 或 ”不一定有 ，∴ qp  . 若 q 真, 即 ，则“ 或 ”必真，∴ pq  . ∴ 是 q 的必要不充分条件. 评析：判断 是 的什么条件，应从 和 能否成立两个方面进行考虑. 例 5 指出下列各题中， 是 的什么条件（指“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条 件”或“既不充分又不必要条件”）： （1） ： 2x ，且 3y ， q ： 5 yx ； （2） a 、 Rb ， ：   ， ：  sinsin  . 解：（1）考虑“ ”的等价命题“┐ q ┐ p ”. ┐ q ： 5 yx ， ┐ ： 2x ，或 3y . 显然有┐ ┐ ，知 . 同样，由┐ ┐ ，知 . ∴ 是 的既不充分又不必要条件. （2）┐ ：  sinsin  ， ┐ ：   . ∵┐ ┐ ， ∴ . ∵┐ ┐ ， ∴ . ∴ 是 的必要不充分条件. 评析： （1）在不易确定 与 的关系时，也可以分别用“ ”的等价命题“ ”和“ ”的等价命题“ ”来判断. （2）在判断 时，也可以用举反例的方法，如第（2）题可以用   2 ，但  sin)2sin(sin  ，知 . 例 6 已知 是 的充分不必要条件，s 是 的必要不充分条件，t 是 s 的充要条件， 是 r 的必要 不充分条件. （1） 是 的什么条件？ （2） 是 的什么条件？ （3） 是 的什么条件？ 解 由已知，可以将 、 、 、 、 之间的关系表示为： rtsqp  . 由此可知， 是 的充分不必要条件， 是 的既不充分也不必要条件， 是 的必要不充分条件. 评析： 只要用符号“ ”、“  ”或“  ”分别表示已知条件中各个命题之间的关系，就可以判 断其中两个命题之间的关系. 例 7 求证：若 a 、b 、 Rc ,则 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02  cbxax 有两个异号 实根的充要条件. 证 充分性：若 ，则 0a ，且 0 ac ， ∵ 02 b ， ∴△ 042  acb ，故方程有两个相异实根，设两根为 1x 、 2x . ∵ 021  a cxx ， ∴两根 、 异号 . 必要性：若关于 x 的方程 有两个异号实根，设两根为 ， ，则 ， ∴ . ∴ 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02  cbxax 有两个异号实根的充要条件. 例 8 求证：关于 的不等式 012  axax 对一切实数 成立的充分条件是 40  a ，这个条 件是必要条件吗？请证明之. 解 设 p ：关于 的不等式 对一切实数 成立， q ： 40  a . 要证 的充分条件是 ，即证 是 的充分条件，即证 pq  . 当 真，即 时， 41)2 1(1 22 axaaxax  ， ∵ , ∴ 041  a . ∵ 0)2 1( 2 xa . ∴ . ∴ 是 的充分条件，即 的充分条件是 . 当 0a 时， 对一切实数 x 都成立，而 )4,0(0 ， ∴ qp  ， 不是 的必要条件，即 的必要条件不是 . 评析 在证明“ 的充分条件是 ”时，一般把问题改成证明“ 是 的充分条件”，即证明 .在证明“ 的必要条件是 ”时，一般把问题改成证明“ 是 的必要条件”， 即证明 . 练 习 一、选择题： 1．用反证法证明“方程 02  cbxax ”最多有两个实根，应假设 （ ） A．方程至少有一个实根 B．方程至少有 2 个实根 C．方程至少有 3 个实根 D．方程有一个实根 2．“ BA  ”是“ BA  ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若 a 、b R ，则“ 0ab ”的一个必要非充分条件是 （ ） A． 0a ，且 0b B． 0a ，且 0b C． 0a b D． 0b a 4．用反证法证明“ 2 不是有理数”，应假设 （ ） A． q p2 B． （ p 、 q 为整数） C． （ 、 为互质整数） D． （ 、 为正整数） 5．已知 、 ，则“ ba 11  ”是“ ba  ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要 D．既不充分又不必要条件 6．下列几个说法：①“ 1x ”是“ 2x ”的必要条件；②“ 0xy ”是“ 0x ”的充分条件；③ “ 022  yx ”是“ ”的充分条件；④“ 12 x ”是“ 1x ”的充分条件，其中正确的命题 是 （ ） A．②、③、④ B．③、④ C．①、③ D．②、④ 二、填空题 7．用反证法证明命题“若关于 x 的整系数一元二次方程 02  cbxax 有有理根，那么 a 、b 、 c 中至少有一个是偶数，”应假设 . 8．若 a 、b 、 Rc ，则“ ba  ”是“ 22 bcac  ”的 条件. 9．若 、 、 ，则“ 0ab ”是“ 022 ba ”的 条件. 10． 042  acb 是关于 x 的方程 02  cbxax 有两个实数根的 条件. 三、解答题 11．用反证法证明： 3 是无理数. 12．已知 A 是 D 的充分条件，D 是 B 的必要条件又是 C 的充分条件，B 是 C 的必要条件.问： （1）A 是 C 的什么条件？A 是 B 的什么条件？ （2）A、B、C、D、中有几对互为充要条件？ 13．求关于 的二次方程 032  pxx 有两个大于 1 的根的充要条件. 14．若 x 、 Ry  ，求证： 09822 22  yxyx 的充要条件是 1x ，且 2y . 答案与提示 [答案] 一、1．C 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 二、7． 、 、 都是奇数 8．必要不充分 9．充分不必要 10．充分不必要 三、12．（ 1）A 是 C 的充分条件，A 是 B 的充分条件； （2）有 3 对，B、C 互为充要条件，B、D 互为充要条件，C、D 互为充要条件. 13．充要条件是 324  p . [提示] 二、8．若 0c ， 22 bcacba  10．若 0,04,0 22  cbxaxacba 只有一个实数根 b cx  . 三、11．假设 3 不是无理数，即 3 是有理数，则 q p3 （ p 、 q 为互质的正整数）， pq 3 ， 223 pq  ，由此 2p 是 3 的倍数. ∵3 是质数，∴ p 是 3 的倍数. 设 )(3  Nmmp ， 代入 223 pq  ，得 22 93 mq  ， 22 3mq  .由此知 2q 是 3 的倍数， q 是 3 的倍数，设 )(3  Nnnq ，与 p 、 q 互质矛盾. ∴ 必是无理数. 12．由已知，A、B、C、D 之间有关系： CDA  B 13．设方程的两个实根为 1x 、 2x ，则 1x >1 且 2x >1 的充要条件是 1x -1>0 且 2x -1>0，所求充要条件为 △ = 0122 p ， （ 11 x ）（ 12 x ）>0， 由 3, 2121  xxpxx ， （ 11 x ）+（ 12 x ）>0. 解得 324  p . 14．即证“ ,1x 且 2y ”是“ 09822 22  yxyx ”的充要条件. 充分性：若 且 ，则 09)2(812)2(219822 2222  yxyx 必要性：若 09822 22  yxyx ，即 0)2(2)1( 22  yx ， ∵ x 、 y R ， 0)1( 2 x ， 0)2(2 2 y ， ∴ 01x ，且 02 y ，即 1x ，且 2y . ∴ 09822 22  yxyx 的充要条件是 ，且 .