北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第6节

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北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第6节

第四章 第六节 一、选择题 1.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2 [答案] B [解析] 本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形,由正弦定理得:3 2 sin60° = AC sin45° , 即 AC=2 3. 2.(2014·广东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b” 是“sinA≤sinB”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 [答案] A [解析] 本题考查三角形内角和,诱导公式及充要条件.由 a≤b 得 A≤B.当 B 为锐角 时,sinA≤sinB;当 B 为直角时,sinA≤sinB;当 B 为钝角时,π-B=A+C>A,此时π-B 为锐角,所以 sin(π-B)>sinA,即 sinB>sinA,综上:sinA≤sinB.反之亦成立,选 A. 3.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,C.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c =( ) A.2 3 B.2 C. 2 D.1 [答案] B [解析] 本题考查正弦定理、二倍角公式等. 由正弦定理得 1 sinA = 3 sinB = 3 sin2A = 3 2sinAcosA , 即 2sinAcosA= 3sinA, 又 sinA>0,∴cosA= 3 2 ,A=π 6 ,B=π 3 ,C=π 2 , ∴c=2. 4.(文)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( ) A.(0,π 6] B.[π 6 ,π) C.(0,π 3] D.[π 3 ,π) [答案] C [解析] 本题主要考查正余弦定理, ∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC, ∴由正弦定理得:a2≤b2+c2-bc,即 b2+c2-a2≥bc, 由余弦定理得:cosA=b2+c2-a2 2bc ≥ bc 2bc =1 2 , ∴0a,所以 B=π 3 或2π 3 . (理)(2014·天津高考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b-c =1 4a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为________. [答案] -1 4 [解析] ∵2sinB=3sinC,∴2b=3c, 又∵b-c=1 4a, ∴b=3 4a,c=1 2a, ∴cosA=b2+c2-a2 2bc = 9 16a2+1 4a2-a2 2×3 4a×1 2a =-1 4. 8.(文)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A=π 3 ,则∠C 的大小为________. [答案] π 2 [解析] 本题考查已知两边及其一边的对角解三角形,由正弦定理得 a sinA = b sinB ,即 3 sinπ 3 = 3 sinB , ∴sinB=1 2 ,又∵a>b,∴A>B,∴B=π 6. 又 A+B+C=π,∴C=π 2. (理)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若c b0,∴cosB<0.故 B 为钝角. ∴△ABC 为钝角三角形. 9.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,且 2cos(A+B) =1,则 AB=________. [答案] 10 [解析] 设 AB=c, ∵ a+b=2 3, ab=2, cosA+B=1 2 , ∴cosC=-1 2. 又∵cosC=a2+b2-c2 2ab =a+b2-2ab-c2 2ab =8-c2 4 =-1 2 , ∴c2=10,∴c= 10,即 AB= 10. 三、解答题 10.在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45°,求 A、C 和 C. [分析] 已知两边和其中一边的对角解三角形问题,可运用正弦定理来求解,但应注意 解的情况.或借助余弦定理,先求出边 c 后,再求出角 C 与角 A. [解析] 解法 1:∵B=45°<90°,且 b90° ∴ 30°c,已知 BA→·BC→=2,cosB=1 3 ,b=3,求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. [解析] (1)由BA→·BC→=2 得 c·acosB=2. 又 cosB=1 3 ,所以 ac=6. 由余弦定理得 a2+c2=b2+2accosB. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6×1 3 =13. 解 ac=6, a2+c2=13, 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos2B= 1-1 3 2=2 2 3 . 由正弦定理,得 sinC=c bsinB=2 3 ×2 2 3 =4 2 9 . 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin2C= 1-4 2 9 2=7 9. 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=1 3·7 9 +2 2 3 ·4 2 9 =23 27.
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