【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第1讲 函数及其表示学案
知识点
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函数及其表示
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
了解简单的分段函数，并能简单应用.
单调性
理解函数的单调性及其几何意义．
理解函数最大值、最小值及其几何意义.
奇偶性
结合具体函数了解函数奇偶性的含义.
指数函数
了解指数函数模型的实际背景．
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
知道指数函数是一类重要的函数模型.
对数函数
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
知道对数函数是一类重要的函数模型．
了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
幂函数
了解幂函数的概念．
结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
函数的图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
函数与方程
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
函数模型
及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
第1讲 函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案：B
(教材习题改编)下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝()3
解析：选D.y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域与对应关系与y＝x均相同，故选D.
(教材习题改编)下列对应关系：
①A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f：x→x的平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；
③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方．
其中是A到B的映射的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
答案：C
已知函数f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值为________．
解析：f(a)＝＝5，所以2a＋1＝25，所以a＝12.
答案：12
(教材习题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝________．
解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21，
故f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26.
答案：26
函数的定义域(高频考点)
函数的定义域是高考命题的重点，多以选择题或填空题的形式直接考查，或与其他知识相结合(如函数的单调性、最值等)隐性考查．主要命题角度有：
(1)求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域求参数的取值范围．
[典例引领]
角度一 求函数的定义域
(1)y＝－log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2，0)∪(1，2) B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【解析】 (1)要使函数有意义，必须
所以x∈(－2，0)∪[1，2)．
(2)由解得0≤x<1，即g(x)的定义域是[0，1)．
【答案】 (1)C (2)[0，1)
若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？
解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，
得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，
令得≤x≤且x≠1.
所以g(x)的定义域为[，1)∪(1，]．
角度二 已知函数的定义域求参数的取值范围
(1)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为R，所以2－1≥0对x∈R恒成立，即2≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
(2)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3.
综上所述，a的取值范围是[0，3)．
【答案】 (1)[－1，0] (2)[0，3)
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[注意] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
[通关练习]
1．已知f(x)的定义域是[0，4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．
解析：因为f(x)的定义域为[0，4]，
所以，即，
所以1≤x≤3，即函数f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1，3]．
答案：[1，3]
2．若函数f(x)＝的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0
1的x的取值范围是__________．
【解析】 (1)法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，所以a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6，故选C．
法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，
所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f＝f(4)＝6.
(2)当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1＞1，
所以x＞－，
所以－＜x≤0；
当0＜x≤时，f(x)＋f＝2x＋x－＋1＞1恒成立；
当x＞时，f(x)＋f＝2x＋2x－＞1恒成立．
综上，x的取值范围为.
【答案】 (1)C (2)
(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．
然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
[通关练习]
1．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选C．因为－2＜1，
所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
因为log212＞1，
所以f(log212)＝2＝＝6.
所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C．
2．已知函数f(x)＝且f(a)＝－2，则f(7－a)＝( )
A．－log37 B．－
C．－ D．－
解析：选D.当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a＞0时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－.
3．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．
解析：f(x)≥1等价于或
由得x≤－2或0≤x＜1.
由得1≤x≤10.
综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
理解函数概念应关注的3个易错点
(1)在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．
(2)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B
的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
函数解析式的求法
求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
函数定义域的求法
求函数的定义域的关键在于列全限制条件并准确求解方程(组)或不等式(组)；对于求含有字母参数的函数的定义域问题，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．
解决分段函数问题应关注4点
(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则；(2)在求分段函数的值f(x0)时，要先判断x0属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式；(3)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集；(4)当自变量范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行讨论．
1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选C．由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C．
2．已知函数f(x)＝x|x|，x∈R，若f(x0)＝4，则x0的值为( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．
解析：选B．当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，
即x＝4，解得x0＝2.
当x＜0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，
即－x＝4，无解．
所以x0＝2，故选B．
3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝，则f(f(3))＝( )
A． B．
C．－ D．－3
解析：选A．因为f(3)＝1－log23＝log2 ＜0，
所以f(f(3))＝f(log2)＝2＝2＝，故选A．
4．已知f＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
解析：选C．令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C．
5．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－ B．
C． D．－
解析：选B．令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
6．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A．因为f(1)＝2，所以f(a)＝－f(1)＝－2，
当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，无解；
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.
综上，a＝－3，选A．
7．设函数f(x)＝则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析：选C．若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；
若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，
则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C．
8．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B．用待定系数法，设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
所以解得所以g(x)＝3x2－2x.
9．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域为( )
A．[－3，7] B．[－1，4]
C．[－5，5] D．
解析：选D.因为y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，
所以－1≤x＋1≤4.
由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，
即y＝f(2x－1)的定义域为.
10．(2018·石家庄质量检测(一))设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.
11．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝，则f(f(x))＜2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2，1) D．(1，1＋ln 2)
解析：选B．因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x＜1时，f(x)＝2ex－1＜2，所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1，即2ex－1＜1，解得x＜1－ln 2，所以f(f(x))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B．
12．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B．对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝
即f＝故f＝－f(x)，满足．
13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．
解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1 2
14．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．
解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②
联立①②得f(1)＝2.
答案：2
15．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
16．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________．
解析：由f＋f＝2，
得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，
又f＝＝×2＝1，
所以f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
2．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A．对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，
因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．
3．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋，则的值为( )
A．0 B．504.5
C．1 009 D．2 018
解析：选B．因为f(1－x)＝(1－x)3－(1－x)2＋(1－x)＋＝1－3x＋3x2－x3－＋3x－x2＋－x＋＝－x3＋x2－x＋，所以f(x)＋f(1－x)＝x3－x2＋x＋－x3＋x2－x＋＝，所以＝f＋f＋…＋f＝1 009×＝1 009×＝504.5.故选B．
4．已知定义在D＝[－4，4]上的函数f(x)＝，对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为________．
解析：
作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.
答案：9
5．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝.
