云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

官渡一中高二年级2019－2020学年上学期期中考试 数学试卷（文科）‎ ‎（试卷满分150分，考试时间120分钟）‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 1. 设集合，则 ( )‎ A.[3，5] B.{2，3，4，5} C.{3，4，5} D.（1，5]‎ ‎2. 复数，则 ＝ ( )‎ A.－1+i B.-i+1 C.i+1 D. -1-i ‎3.“a＝－3”是“直线 ”的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知函数为R上的偶函数，当，则函数在区间[－2，1]上的最大值与最小值的和为 （ ）‎ A. B. ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输入的a=8，b=3，则输出的n= ( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎6.函数的大致图象是 （ ）‎ ‎7.已知圆外切，则圆与直线的位置关系是 （ ）‎ ‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.与a，b的取值有关 ‎8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，现欲用草扇将米盖上”.具体数据见下面三视图，如图网格纸上小正方形的边长为1尺，粗线画出的是该米堆的三视图，圆周率估算为3.则此草扇的面积估计最少为 （ ）‎ A.12平方尺 B.20平方尺 C.15平方尺 D.16平方尺 ‎9.由的图象向左平移个单位长度，现把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得的图象对应的函数解析式为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若实数x，y满足不等式组 ,则z=2x-y的取值范围为 ( )‎ A.[-5,3] B.[-5,1] C.[1,3] D.[-5,5]‎ ‎11.在中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是，则＝ （ ）‎ A.16 B.32 C.－16 D.－32‎ ‎12已知长方体ABCD－中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13.向量 是互相垂直的单位向量，若向量=1，则实数m = .‎ ‎14.曲线在点（0，1）处的切线方程为 .‎ ‎15.三棱锥S－ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝3，SB＝4，SC＝5，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .‎ ‎16.已知数列的前n 项和 的前5项和 = .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（12分）在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且满足bc=1， .‎ ‎(1)求的面积；‎ ‎（2）若cosBcosC=，求 ‎ ‎18.（12分）某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀.‎ ‎（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；‎ ‎（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列2×2列表,并根据列联表,判断是否有99.9%以上的把握认为数学与物理优秀有关? ‎ ‎19.设数列的前n项和为,已知 .‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求{}的前n 项和 .‎ ‎20.如图,已知四边形ABCD为梯形,AB//CD,,四边形为矩形,且平面平面ABCD,又AB=AD=B=1,CD=2 .‎ ‎(1)证明:C平面 ; ‎ ‎(2)求点到平面AC的距离.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,恒成立,求a 的取值范围. ‎ ‎22.椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线与椭圆交于E、F两点,以EF为直径的圆过坐标原点O，求证：坐标原点O到直线的距离为定值。‎ ‎ 官渡一中高二年级2019－2020学年上学期期中考试 数学试卷（文科）答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C C C B C C A A D D 二、 填空题 ‎13.14.y=2x+1 15.16.‎ 三、 解答题 ‎17.（1） ‎ 则= ,由于故 又bc=1，故 .‎ ‎（2） cosA=-cos(B+C)= , ,故得cosBcosC=‎ 从而sinBsinC=‎ 而故 sinB= , sinC= .故sinBsinC==，从而得a=1 .‎ 故=‎ 故三角形周长为a+b+c=1+2=3 .‎ ‎18.(1)众数是85，中位数是 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 ‎12‎ ‎12‎ ‎24‎ 数学非优秀 ‎8‎ ‎68‎ ‎76‎ 总计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎（2）‎ 故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关。‎ ‎19.（1）由题意有，故，即 当n>1时， , 即 所以 ‎（2）因为，所以，故 当n>1时，‎ 故当n>1时，=‎ ‎，‎ 两式相减，得=‎ ‎=‎ 故 ‎20.（1）证明：四边形BD为矩形，且平面BD平面ABCD ‎ 平面ABCD，D平面ABCD，则 .‎ 在梯形ABCD中，,AD=AB=1,DC=2 ,从而，BC 在中，，，可知 在中，，， ，可知 所以，又，故 ‎（2）在中，A，则=‎ 故 在中，AC= C=, A,故等腰三角形上的高为 故 设点的距离为h，故有 得 h=1 .‎ 故点的距离为1.‎ ‎21.（1）由，有=‎ ‎① 若a>0，由得x>1；由得x<1，又，所以f(x)在单调递增，在（0，1）单调递减.‎ ‎②若a<0，由得x<1；由得x>1，又，所以f(x) 在（0，1）单调递增，在单调递减。‎ 综上所述，a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为（0，1）；a<0时，f(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。‎ ‎（2）时，恒成立，即在恒成立.‎ 令 ，则 .则01时，‎ ‎ g(x)在（0，1）上单调递增，在上单调递减，则 .‎ ‎ .‎ ‎22.（1）由椭圆定义可知，=4，又因c=，故a=2.从而有b=1，椭圆C：‎ ‎（2）由 得+4‎ ‎ ‎ 设E( ，则 ‎ ‎=‎ 所以，，满足 所以坐标原点到直线的距离为定值