云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

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云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

官渡一中高二年级2019-2020学年上学期期中考试 数学试卷(文科)‎ ‎(试卷满分150分,考试时间120分钟)‎ ‎ 第Ⅰ卷 (选择题,共60分)‎ 一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ 1. 设集合,则 ( )‎ A.[3,5] B.{2,3,4,5} C.{3,4,5} D.(1,5]‎ ‎2. 复数,则 = ( )‎ A.-1+i B.-i+1 C.i+1 D. -1-i ‎3.“a=-3”是“直线 ”的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知函数为R上的偶函数,当,则函数在区间[-2,1]上的最大值与最小值的和为 ( )‎ A. B. ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,若输入的a=8,b=3,则输出的n= ( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎6.函数的大致图象是 ( )‎ ‎7.已知圆外切,则圆与直线的位置关系是 ( )‎ ‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.与a,b的取值有关 ‎8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,现欲用草扇将米盖上”.具体数据见下面三视图,如图网格纸上小正方形的边长为1尺,粗线画出的是该米堆的三视图,圆周率估算为3.则此草扇的面积估计最少为 ( )‎ A.12平方尺 B.20平方尺 C.15平方尺 D.16平方尺 ‎9.由的图象向左平移个单位长度,现把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后,所得的图象对应的函数解析式为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若实数x,y满足不等式组 ,则z=2x-y的取值范围为 ( )‎ A.[-5,3] B.[-5,1] C.[1,3] D.[-5,5]‎ ‎11.在中,AB=10,BC=6,CA=8,且O是,则= ( )‎ A.16 B.32 C.-16 D.-32‎ ‎12已知长方体ABCD-中,,则异面直线与所成角的余弦值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)‎ ‎13.向量 是互相垂直的单位向量,若向量=1,则实数m = .‎ ‎14.曲线在点(0,1)处的切线方程为 .‎ ‎15.三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC两两垂直,且SA=3,SB=4,SC=5,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .‎ ‎16.已知数列的前n 项和 的前5项和 = .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)在中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且满足bc=1, .‎ ‎(1)求的面积;‎ ‎(2)若cosBcosC=,求 ‎ ‎18.(12分)某校学业水平考试中,某两个班共100名学生,物理成绩的优秀率为20%,数学成绩的频率分布直方图如图所示,数学成绩大于90分的为优秀.‎ ‎(1)利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数(中位数保留小数点后两位);‎ ‎(2)如果数学、物理都优秀的有12人,补全下列2×2列表,并根据列联表,判断是否有99.9%以上的把握认为数学与物理优秀有关? ‎ ‎19.设数列的前n项和为,已知 .‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求{}的前n 项和 .‎ ‎20.如图,已知四边形ABCD为梯形,AB//CD,,四边形为矩形,且平面平面ABCD,又AB=AD=B=1,CD=2 .‎ ‎(1)证明:C平面 ; ‎ ‎(2)求点到平面AC的距离.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,恒成立,求a 的取值范围. ‎ ‎22.椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线与椭圆交于E、F两点,以EF为直径的圆过坐标原点O,求证:坐标原点O到直线的距离为定值。‎ ‎ 官渡一中高二年级2019-2020学年上学期期中考试 数学试卷(文科)答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C C C B C C A A D D 二、 填空题 ‎13.14.y=2x+1 15.16.‎ 三、 解答题 ‎17.(1) ‎ 则= ,由于故 又bc=1,故 .‎ ‎(2) cosA=-cos(B+C)= , ,故得cosBcosC=‎ 从而sinBsinC=‎ 而故 sinB= , sinC= .故sinBsinC==,从而得a=1 .‎ 故=‎ 故三角形周长为a+b+c=1+2=3 .‎ ‎18.(1)众数是85,中位数是 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 ‎12‎ ‎12‎ ‎24‎ 数学非优秀 ‎8‎ ‎68‎ ‎76‎ 总计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎(2)‎ 故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关。‎ ‎19.(1)由题意有,故,即 当n>1时, , 即 所以 ‎(2)因为,所以,故 当n>1时,‎ 故当n>1时,=‎ ‎,‎ 两式相减,得=‎ ‎=‎ 故 ‎20.(1)证明:四边形BD为矩形,且平面BD平面ABCD ‎ 平面ABCD,D平面ABCD,则 .‎ 在梯形ABCD中,,AD=AB=1,DC=2 ,从而,BC 在中,,,可知 在中,,, ,可知 所以,又,故 ‎(2)在中,A,则=‎ 故 在中,AC= C=, A,故等腰三角形上的高为 故 设点的距离为h,故有 得 h=1 .‎ 故点的距离为1.‎ ‎21.(1)由,有=‎ ‎① 若a>0,由得x>1;由得x<1,又,所以f(x)在单调递增,在(0,1)单调递减.‎ ‎②若a<0,由得x<1;由得x>1,又,所以f(x) 在(0,1)单调递增,在单调递减。‎ 综上所述,a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(0,1);a<0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为。‎ ‎(2)时,恒成立,即在恒成立.‎ 令 ,则 .则01时,‎ ‎ g(x)在(0,1)上单调递增,在上单调递减,则 .‎ ‎ .‎ ‎22.(1)由椭圆定义可知,=4,又因c=,故a=2.从而有b=1,椭圆C:‎ ‎(2)由 得+4‎ ‎ ‎ 设E( ,则 ‎ ‎=‎ 所以,,满足 所以坐标原点到直线的距离为定值
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