高考理数　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

高考理数　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

§4.1 　三角函数的概念、同角三角函数的 基本关系式和诱导公式 高考 理 数 ( 课标专用) 考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1. (2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α =   ,则cos 2 α +2sin 2 α =   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.   A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案    A 　当tan α =   时,原式=cos 2 α +4sin α cos α =   =   =   =   ,故 选A. 思路分析 　利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin 2 α +cos 2 α 代替 1,然后分子、分母同除以cos 2 α ,得到关于tan α 的式子,由此即可代值求解. 评析 　本题主要考查三角恒等变换,用sin 2 α +cos 2 α 代替1是解题关键. 2. (2014大纲全国,3,5分)设 a =sin 33 ° , b =cos 55 ° , c =tan 35 ° ,则(　　) A. a > b > c 　    B. b > c > a 　    C. c > b > a 　    D. c > a > b 答案      C 　∵ b =cos 55 ° =sin 35 ° >sin 33 ° = a ,∴ b > a . 又∵ c =tan 35 ° =   >sin 35 ° =cos 55 ° = b ,∴ c > b .∴ c > b > a .故选C. 3. (2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α +cos β =1,cos α +sin β =0,则sin( α + β )= 　　　     . 答案 　-   解析 　本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式. 由sin α +cos β =1,cos α +sin β =0, 两式平方相加,得2+2sin α cos β +2cos α sin β =1, 整理得sin( α + β )=-   . 解题技巧 　利用平方关系:sin 2 α +cos 2 α =1,进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应 熟练掌握. 考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1. (2017北京,12,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对 称.若sin α =   ,则cos( α - β )= 　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案 　-   解析　 本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得 β =(2 k +1)π- α ( k ∈Z). ∵sin α =   ,∴sin β =sin[(2 k +1)π- α ]=sin α =   ( k ∈Z). 当cos α =   =   时,cos β =-   , ∴cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β =   ×   +   ×   =-   . 当cos α =-   =-   时,cos β =   , ∴cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β =   ×   +   ×   =-   . 综上,cos( α - β )=-   . 解法二:由已知得 β =(2 k +1)π- α ( k ∈Z). ∴sin β =sin[(2 k +1)π- α ]=sin α ,cos β =cos[(2 k +1)π- α ]=-cos α , k ∈Z. 当sin α =   时,cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β =-cos 2 α +sin 2 α =-(1-sin 2 α )+sin 2 α =2sin 2 α -1=2 ×   -1=-   . 2. (2018浙江,18,14分)已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它的终边过点 P   . (1)求sin( α +π)的值; (2)若角 β 满足sin( α + β )=   ,求cos β 的值. 解析 　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由角 α 的终边过点 P   得sin α =-   , 所以sin( α +π)=-sin α =   . (2)由角 α 的终边过点 P   得cos α =-   , 由sin( α + β )=   得cos( α + β )= ±   . 由 β =( α + β )- α 得cos β =cos( α + β )cos α +sin( α + β )sin α , 所以cos β =-   或cos β =   . 思路分析　 (1)由三角函数的定义得sin α 的值,由诱导公式得sin( α +π)的值. (2)由三角函数的定义得cos α 的值,由同角三角函数的基本关系式得cos( α + β )的值,由两角差的 余弦公式得cos β 的值. 考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 (2011课标,5,5分)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2 x 上,则 cos 2 θ =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   C组    教师专用题组 答案      B 　由题意知,tan θ =2,则cos 2 θ =   =   =-   ,故选B. 错因分析 　不能明确 θ 角与直线 y =2 x 的倾斜角的关系或者由tan θ =2计算cos 2 θ 时,忽略负号导 致误选C等. 考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1. (2018河北衡水中学2月调研,3)若cos   =   ,则cos(π-2 α )=   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      D 　由cos   =   ,得sin α =   .∴cos(π-2 α )=-cos 2 α =-(1-2sin 2 α )=2sin 2 α -1=2 ×   -1=-   ,故选D. 2. (2018山东寿光一模,4)若角 α 的终边过点 A (2,1),则sin   =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案      A 　根据三角函数的定义可知cos α =   =   ,则sin   =-cos α =-   ,故选A. 3. (2018湖北七州市3月联考,3)已知 α ∈(0,π),且cos α =-   ,则sin   ·tan α =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案      C 　∵ α ∈(0,π),且cos α =-   ,∴sin α =   ,由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin   ·tan α =cos α ·   =sin α =   .故选C. 4. (2018山东日照二模,4)已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x +2 y -3=0垂直,则sin 2 θ 的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.-   答案      B 　由已知得tan θ =2,所以sin 2 θ =2sin θ cos θ =   =   =   . 5. (2017湖南五市十校联考,5)已知角 θ 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 M (-3,4),则cos 2 θ 的值为   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案      A 　根据三角函数的定义可知cos θ =-   ,所以cos 2 θ =2cos 2 θ -1=2 ×   -1=-   ,故选A. 6. (2017广东七校3月联考,5)已知 x ∈(0,π),且cos   =sin 2 x ,则tan   等于   (　　) A.   　    B.-   　    C.3　    D.-3 答案      A 　由cos   =sin 2 x 得sin 2 x =sin 2 x ,∴2sin x ·cos x =sin 2 x ,又由 x ∈(0,π)知sin x ≠ 0,∴2 cos x =sin x ,∴tan x =2,∴tan   =   =   ,故选A. 7. (2017河北石家庄二模,4)若sin(π- α )=   ,且   ≤ α ≤ π,则sin 2 α 的值为   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案      A 　因为sin(π- α )=sin α =   ,   ≤ α ≤ π,所以cos α =-   ,所以sin 2 α =2sin α cos α =2 ×   ×   =-   ,故选A. 8. (2016湖南衡阳一中模拟,3)已知点 P (cos α ,tan α )在第三象限,则角 α 的终边在   (　　) A.第一象限　    B.第二象限　    C.第三象限　    D.第四象限 答案    B 　由题意可得   则   所以角 α 的终边在第二象限,故选B. 9. (2018湖北武汉调研,13)若tan α =cos α ,则   +cos 4 α = 　　　     . 答案 　2 解析 　∵tan α =cos α ,∴   =cos α ,∴sin α =cos 2 α =1-sin 2 α ,即sin 2 α +sin α -1=0,解得sin α =   或 sin α =   (舍).∴cos 2 α =   ,∴   +cos 4 α =   +(cos 2 α ) 2 =   +   =   +   =2. 一、选择题(每题5分,共45分) 1. (2018山东菏泽2月联考,4)已知 α ∈   ,sin   =   ,则tan(π+2 α )=   (　　) A.   　    B. ±   　    C. ±   　    D.   B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 25 分钟　分值:50分) 答案      A 　∵ α ∈   ,sin   =   ,∴cos α =   ,sin α =-   ,由同角三角函数的商数关系知 tan α =   =-2   .∴tan(π+2 α )=tan 2 α =   =   =   ,故选A. 易错警示 　在利用诱导公式化简三角函数式时,一定要注意三角函数的符号,否则易出现错解 现象. 2. (2018山西康杰中学等五校3月联考,4)已知tan θ =2,则   +sin 2 θ 的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      C 　解法一:   +sin 2 θ =   +   =   +   ,将tan θ =2代 入,得原式=   ,故选C. 解法二:tan θ =2=   ,在平面直角坐标系 xOy 中,不妨设 θ 为锐角,角 θ 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上取点 P (1,2),则| OP |=   ,由三角函数的定义,得sin θ =   ,cos θ =   , 所以   +sin 2 θ =   +   =   ,故选C. 3. (2018河南中原名校联盟4月联考,6)已知 θ 为第二象限角,sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程2 x 2 +(   -1) x + m =0( m ∈R)的两根,则sin θ -cos θ =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.-   答案    B 　∵sin θ ,cos θ 是方程2 x 2 +(   -1) x + m =0( m ∈R)的两根,∴sin θ +cos θ =   ,sin θ ·cos θ =   ,可得(sin θ +cos θ ) 2 =1+2sin θ ·cos θ =1+ m =   ,解得 m =-   . ∵ θ 为第二象限角,∴sin θ >0,cos θ <0,即sin θ -cos θ >0, ∵(sin θ -cos θ ) 2 =1-2sin θ ·cos θ =1- m =1+   , ∴sin θ -cos θ =   =   ,故选B. 思路分析　 利用根与系数的关系表示出sin θ +cos θ ,sin θ ·cos θ ,然后由sin θ +cos θ 与sin θ ·cos θ 的关系列方程求出 m 的值,再利用sin θ ·cos θ 与sin θ -cos θ 的关系结合 θ 的范围求sin θ -cos θ . 4. (2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ ABC 为锐角三角形,若角 θ 的终边过点 P (sin A -cos B ,cos A -sin C ),则   +   +   的值为   (　　) A.1　    B.-1　    C.3　    D.-3 答案    B 　由△ ABC 为锐角三角形,可知 A + B >   ,即 A >   - B ,又 A , B ∈   ,所以sin A >cos B ,所 以sin A -cos B >0,同理cos A -sin C <0,所以 θ 为第二象限角,所以sin θ >0,cos θ <0,tan θ <0,所以   +   +   =1-1-1=-1,故选B. 思路分析 　由题意先得出sin A -cos B 与cos A -sin C 的正负,从而得出角 θ 所属的象限,进而确定 其三角函数的符号,最后求出代数式的值. 解题关键 　正确判断角 θ 所属的象限是求解本题的关键. 5. (2017河南适应性测试,4)已知tan   =   ,则   的值为   (　　) A.   　    B.2　    C.2   　    D.-2 答案      B 　由tan   =   =   ,解得tan α =3,所以   =   =   =2. 6. (2017安徽江南十校3月联考,4)已知tan α =-   ,则sin α ·(sin α -cos α )=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      A     sin α ·(sin α -cos α )=sin 2 α -sin α ·cos α =   =   ,将tan α =-   代入, 得原式=   =   ,故选A. 思路分析 　利用同角三角函数的基本关系将sin α ·(sin α -cos α )化成仅含tan α 的形式,再将tan α 的值代入,进而求结果. 方法总结 　解此类问题的一般方法:利用同角三角函数的基本关系将含cos α ,sin α 的齐次式转 化为仅含tan α 的形式,再将tan α 的值代入求解. 7. (2017河南八市联考,6)已知函数 y =log a ( x -1)+3( a >0且 a ≠ 1)的图象恒过定点 P ,若角 α 的顶点与 原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P ,则sin 2 α -sin 2 α 的值为   (　　) A.   　    B.-   　    C.   　    D.-   答案    D　 根据已知可得点 P 的坐标为(2,3),根据三角函数的定义,可得sin α =   ,cos α =   , 所以sin 2 α -sin 2 α =   -2 ×   ×   =-   ,故选D. 8. (2017福建四地六校联考,6)已知 α 为锐角,且2tan(π- α )-3cos   +5=0,tan(π+ α )+6sin(π+ β )-1= 0,则sin α 的值是(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　由已知可得-2tan α +3sin β +5=0,tan α -6sin β -1=0,可解得tan α =3,又 α 为锐角,故sin α =   . 思路分析 　先根据诱导公式化简已知等式,然后求出tan α ,最后根据同角三角函数的基本关系 及 α 的范围求出sin α 的值. 9. (2016河南八市3月联考,6)已知函数 f ( x )=sin x -cos x ,且 f '( x )=   f ( x ),则tan 2 x 的值是   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.   答案     D 　由 f '( x ) = f(x) cos x +sin x =　sin x - 　 cos x ， 所以 tan x =-3 ，所以 tan 2 x = 　　　　　　　 ，故选 D. 思路分析 　由 f ( x )=sin x -cos x 得 f ′( x ), 利用 f ′( x )=　 f ( x ) 求得 tan x 的值，进而求出 tan 2 x 的值 . 易错警示 　在求解 f ′( x ) 时，易把 (cos x )′ 错求为 sin x , 从而导致错解 . 9. (2016河南八市3月联考,6)已知函数 f ( x )=sin x -cos x ,且 f '( x )=   f ( x ),则tan 2 x 的值是   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.   答案     D 　由 f '( x ) = f(x) cos x +sin x =　sin x - 　 cos x ， 所以 tan x =-3 ，所以 tan 2 x = 　　　　　　　 ，故选 D. 思路分析 　由 f ( x )=sin x -cos x 得 f ′( x ), 利用 f ′( x )=　 f ( x ) 求得 tan x 的值，进而求出 tan 2 x 的值 . 易错警示 　在求解 f ′( x ) 时，易把 (cos x )′ 错求为 sin x , 从而导致错解 . 答案        二、填空题(每题 5 分，共 5 分) 10 . ( 2016 福建漳州二模， 14 )已知 θ 是三角形的一个内角，且 sin θ 、 cos θ 是关于 x 的方程 4 x 2 + px -2=0 的两根，则 θ 等于= 　　　     . 解析 　由题意知sin θ ·cos θ =-   ,联立   得   或   又 θ 为三角 形的一个内角,∴sin θ >0,则cos θ =-   ,∴ θ =   . 思路分析 　由条件利用韦达定理及同角三角函数的基本关系及 θ 的范围求得cos θ 的值,从而确 定 θ 的值. 易错警示　 本题易直接求出cos θ = ±   ,进而出现增解的错误.要注意由sin θ >0舍去cos θ =   .