2018高考数学新课标2理科真题

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2018高考数学新课标2理科真题

‎1.(2018年新课标Ⅱ理)=( )‎ A.--i B.-+i C.--i D.-+i D 【解析】==-+i.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅱ理)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )‎ A.9 B.8 C.5 D.4‎ A 【解析】当x=-1时,y2≤2,得y=-1,0,1;当x=0时,y2≤3,得y=-1,0,1;当x=1时,y2≤2,得y=-1,0,1.所以集合A中元素有9个.‎ ‎3.(2018年新课标Ⅱ理)函数f(x)=的图象大致为( )‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D B 【解析】f(-x)==-=-f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A;当x=1时,f(1)=e->0,排除D;当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C.故选B.‎ ‎4.(2018年新课标Ⅱ理)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ B 【解析】由题意,a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3.‎ ‎5.(2018年新课标Ⅱ理)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A 【解析】依题意,e==,则====,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A.‎ ‎6.(2018年新课标Ⅱ理)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB=( )‎ A.4 B. C. D.2 A 【解析】cos C=2×2-1=-,由余弦定理,得AB= ‎==4.‎ ‎7.(2018年新课标Ⅱ理)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )‎ A.i=i+1? B.i=i+2? C.i=i+3? D.i=i+4?‎ B 【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S=N-T=++…‎ ‎+,则在空白处应填入“i=i+2?”.‎ ‎8.(2018年新课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )‎ A. B. C. D. C 【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C=45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p==.‎ ‎9.(2018年新课标Ⅱ理)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. C 【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),=(-1,0,),=(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cos θ===.故选C.‎ ‎10.(2018年新课标Ⅱ理)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )‎ A. B. C. D.π C 【解析】f(x)=cos x-sin x=-(sin x-cos x)=-sin.由-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).取k=0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是.‎ ‎11.(2018年新课标Ⅱ理)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )‎ A.-50 B.0 C.2 D.50‎ C 【解析】∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.‎ ‎12.(2018年新课标Ⅱ理)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )‎ A. B. C. D. D 【解析】由题意知A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),直线AP的方程为y=(x+a).由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),代入AP的方程,整理得a=4c,∴C的离心率e==.‎ ‎13.(2018年新课标Ⅱ理)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为________.‎ y=2x-2 【解析】∵y=2ln x,∴y′=.当x=1时,y′=2,∴曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.‎ ‎14.(2018年新课标Ⅱ理)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎ ‎9 【解析】作出可行域如图.z=x+y可化为y=-x+z.当直线y=-x+z过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z=5+4=9.‎ ‎15.(2018年新课标Ⅱ理)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.‎ ‎- 【解析】由sin α+cos β=1,两边平方,得sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,① 由cos α+sin β=0,两边平方,得cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,② ①+②,得2+2(sin αcos β+cos αsin β ‎)=1,即2+2sin(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.‎ ‎16.(2018年新课标Ⅱ理)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.‎ ‎40 【解析】由题意可得sin∠AMB==.S△SAB=|SA|2sin∠AMB=5,即|SA|2·=5,解得SA=4.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为×4=2,则该圆锥的侧面积=×4×4π=40π.‎ ‎17.(2018年新课标Ⅱ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ S3=3a1+3d=3×(-7)+3d=-15,解得d=2.‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9.‎ ‎(2)Sn===n2-8n.‎ ‎∵Sn=n2-8n=(n-4)2-16,‎ ‎∴当n=4时,Sn有最小值为-16.‎ ‎18.(2018年新课标Ⅱ理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)对于模型①,当t=19时,=-30.4+13.5×19=226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.‎ 对于模型②,当t=9时,=99+17.5×9=256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.‎ ‎(2)模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,‎ 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,‎ ‎∴利用模型②的预测值更可靠些.‎ ‎19.(2018年新课标Ⅱ理)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解析】(1)抛物线C的焦点为F(1,0).‎ 当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不合题意.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=1.‎ 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k=1.‎ ‎∴直线l的方程y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为D(3,2),‎ 则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或 ‎∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎20.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)求证:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎【解析】(1)证明:∵AB=BC=2,AC=4,∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形.‎ 又O为AC的中点,∴OA=OB=OC.‎ ‎∵PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC.‎ ‎∴∠POA=∠POB=∠POC=90°.‎ ‎∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=0,∴PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.‎ 易知A(0,-2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),=(-2,2,0).‎ 设=λ=(-2λ,2λ,0),0<λ<1,‎ 则=-=(-2λ,2λ,0)-(-2,-2,0)=(2-2λ,2λ+2,0),‎ 则平面PAC的一个法向量为m=(1,0,0).‎ 设平面MPA的法向量为n=(x,y,z),则=(0,-2,2),‎ 则n·=-2y-2z=0,n·=(2-2λ)x+(2λ+2)y=0.‎ 令z=1,则y=-,x=,即n=.‎ ‎∵二面角MPAC为30°,∴cos 30°==,‎ 即=,解得λ=或λ=3(舍去).‎ ‎∴n=(2,-,1),=(0,2,-2).‎ PC与平面PAM所成角的正弦值sin θ=|cos〈,n〉|===.‎ ‎21.(2018年新课标Ⅱ理)已知函数f(x)=ex-ax2.‎ ‎(1)若a=1,求证:当x≥0时,f(x)≥1;‎ ‎(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.‎ ‎【解析】(1)证明:当a=1时,f(x)=ex-x2,则f′(x)=ex-2x.‎ 令g(x)=ex-2x,则g′(x)=ex-2.‎ 令g′(x)=0,解得x=ln 2.‎ 当x∈(0,ln 2)时,g′(x)<0;当x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)>0.‎ ‎∴g(x)≥g(ln 2)=eln 2-2·ln 2=2-2ln 2>0.‎ ‎∴f(x)在[0,+∞)单调递增,则f(x)≥f(0)=1.‎ ‎(2)f(x)在(0,+∞)只有一个零点,等价于方程ex-ax2=0在(0,+∞)只有一个根,‎ 即a=在(0,+∞)只有一个根,转化为y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.‎ 易得G′(x)=.‎ 当x∈(0,2)时,G′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,G′(x)>0.‎ ‎∴G(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.‎ 当x→0时,G(x)→+∞;当x→+∞时,G(x)→+∞.‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=.‎ ‎22.(2018年新课标Ⅱ理)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解析】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 转换为直角坐标方程为+=1.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 转换为直角坐标方程为xsin α-ycos α+2cos α-sin α=0.‎ ‎(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程,‎ 整理得(4cos2α+sin2α)t2+(8cos α+4sin α)t-8=0,则t1+t2=-.‎ 由于(1,2)为中点坐标,∴=0,‎ 则8cos α+4sin α=0,解得tan α=-2.‎ ‎∴直线l的斜率为-2.‎ ‎23.(2018年新课标Ⅱ理)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=1时,f(x)=5-|x+a|-|x-2|= 当x≤-1时,f(x)=2x+4≥0,解得-2≤x≤1;‎ 当-1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即-1<x<2;‎ 当x≥2时,f(x)=-2x+6≥0,解得2≤x≤3.‎ 综上,不等式f(x)≥0的解集为[-2,3].‎ ‎(2)∵f(x)≤1,∴5-|x+a|-|x-2|≤1.‎ ‎∴|x+a|+|x-2|≥4.‎ ‎∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|≥|x+a+2-x|=|a+2|.‎ ‎∴|a+2|≥4,解得a≤-6或a≥2.‎ ‎∴a的取值范围(-∞,-6]∪[2,+∞).‎
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