江西省南昌市2020届高三第二次模拟数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com NCS20200707项目第二次模拟测试卷理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数，则等于( )‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的乘法运算得到，再利用模的计算公式计算即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的乘法以及复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎2.集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到集合A、B，再按交集定义运算即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查集合交集运算，解题关键是看清集合中代表元，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎3.已知是三条不重合的直线，平面相交于直线c，，则“相交”是“相交”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 - 26 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由公理3可判断充分性成立，作图举反例可判断必要性不成立.‎ ‎【详解】若相交，设交点为O，因为，所以，由平面的基本性质3可 知，故充分性成立；‎ 若相交，如图，可能异面，故必要性不成立.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到空间中点线面的位置关系，考查学生空间想象能力，是一道容易题.‎ ‎4.已知，则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，两种情况讨论，分别解不等式组，再求并集即可.‎ ‎【详解】当时，，解得，所以；‎ 当时，，解得，所以；‎ 综上，不等式的解集是.‎ - 26 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎5.已知中角所对的边分别为，若，则角A等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，结合解方程组即可得到答案.‎ ‎【详解】由及正弦定理可得，‎ 又，‎ 所以，解得或（舍），‎ 又，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到二倍角公式的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎6.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得到，进一步得到，再代入中计算即可.‎ ‎【详解】设的夹角为，由已知，，，，‎ - 26 -‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量模的计算，涉及到向量的投影，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎7.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可排除A、D；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论.‎ ‎【详解】因为，故排除A、D；‎ ‎，‎ 令，‎ 在是减函数，，‎ 在是增函数，‎ ‎，‎ - 26 -‎ 存在，使得，‎ 单调递减，‎ 单调递增，‎ 所以选项B错误，选项C正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题，利用导数研究函数单调性是解题的关键，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎8.直线被圆截得最大弦长为( )‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径，‎ 圆心到直线的距离，解得，‎ 所以弦长为，因为，‎ 所以，所以弦长，‎ 当即时，弦长有最大值.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查直线与圆位置关系，涉及到垂径定理，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎9.函数的部分图象如图所示，则( )‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得周期为4，进一步得到，再由得到，最后由得到A从而得到的解析式，再计算即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，所以，解得，‎ 所以，又，所以，‎ ‎，即①，又，‎ 即，所以②，由①②可得，所以 ‎，故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查已知函数图象求函数的解析式的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎10.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为( )（参考数据）‎ - 26 -‎ A. 30米 B. 50米 C. 60米 D. 70米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，，，再由建立方程即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，作出示意图如图所示，‎ 由已知，，，，，‎ 设，则，‎ ‎，，‎ 所以由，得，解得，又A点所在等高线值为20米，‎ 故B点所在等高线值为米.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，读懂题意，弄清题中数据是代表什么是本题解题关键，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ - 26 -‎ ‎11.已知F是双曲线的右焦点，直线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线左焦点为M，，连接，分别在三角形BMF、ABF中应用余弦定理可得到①，联立，得到，②，由①②即可建立a，b，c之间关系.‎ ‎【详解】如图，设双曲线左焦点为M，，连接，则为平 行四边形，且，由已知，，，，在三角形BMF 中，由余弦定理，得，即①，‎ 又，即②，由①②可得，③，‎ 在三角形ABF中，由余弦定理，得，‎ 即，所以④，‎ 联立，得，所以⑤,‎ 由④⑤可得，即，解得（负值舍），‎ - 26 -‎ 所以离心率.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，关键是建立方程，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.‎ ‎12.已知函数有且只有三个零点，则属于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有且仅有三个不同零点等价于与有且仅有三个不同交点，数形结合知当与相切时，满足题意，利用导数的几何意义可得，进一步得到，所以，再求出的范围即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，有且仅有三个不同零点等价于方程 - 26 -‎ 有且仅有三个 不同实根，等价于与有且仅有三个不同交点，‎ 如图 当与相切时，满足题意，因为，‎ 所以，且，消a得 由诱导公式，有，‎ 又，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查已知函数的零点个数求范围问题，涉及到导数的几何意义，考查学生数形结合的思想，转化与化归思想，是一道有一定难度的题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，，截距为，截距越小，越小，平移直线 - 26 -‎ ‎，数形结合即可得到答案.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示 ‎，截距为，截距越小，越小，平移直线，当与 重合时，截距最小，此时线段AB上任意一点都是最优解，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查学生数形结合思想，是一道基础题.‎ ‎14.已知梯形中，，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别过A、D作BC的垂线，垂足为E、F，连接AC，易得，，在三角形ABC中，由正弦定理可得，进一步得到，，再利用勾股定理即可得到答案.‎ ‎【详解】分别过A、D作BC的垂线，垂足为E、F，连接AC，由已知，，‎ 所以，，在三角形ABC中，由正弦定理，得 ‎，即，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ - 26 -‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎15.已知，则等于_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，只需找到的展开式中的项系数即可得到答案.‎ ‎【详解】因为的展开式通项为，‎ 所以展开式中项为 ‎，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到求指定项的系数，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎16.已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱椎表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3； ④.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 设，因为为正四棱锥，易知平面，过M作∥分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，因为为正四棱锥，易知平面平面，又 ‎，平面平面，平面，所以平面，‎ 过M作∥分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，‎ 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，‎ 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作∥分别交棱 ‎、于点E、Q，所以，即，所以，‎ 如图1，则平面为满足题意的平面，因为，所以，所以 ‎，所以，故①正确；‎ 如图2，过T作∥，过L作∥，易知平面为满足题意的平面，‎ 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以，‎ 所以五边形的面积，‎ 故③正确.当∥与∥是完全相同的，所以，综上选①③.‎ 故答案为：①③‎ - 26 -‎ ‎【点睛】‎ 本题空间立体几何中的截面问题，考查学生空间想象能力，数形结合的思想，是一道有一定难度的题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足____________.（从①）；②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（I）选择①②、①③、②③条件组合，均得﹔（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；‎ ‎（Ⅱ），利用错位相减法计算即可.‎ ‎【详解】（I）①由，得，即；‎ ‎②由，，成等比数列，得，，即﹔‎ ‎③由，得，即； ‎ 选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔ ‎ ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得：， ‎ - 26 -‎ 得.‎ ‎【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎18.如图所示，四棱柱中，底面是以为底边的等腰梯形，且.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线AB与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）要证明平面平面，只需证明平面即可；‎ ‎（Ⅱ）取BD的中点O，易得面ABCD，以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为与，再利用公式计算即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）中，，，，由余弦定理得 ‎， ‎ 则，即， ‎ - 26 -‎ 而，故平面，‎ 又面ABCD，所以平面平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，‎ 由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD 由等腰梯形知识可得，则，，‎ 以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则 设平面的法向量为，则，‎ 令，则，有，‎ 所以，，‎ 即直线AB与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎19.已知双曲线上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为.‎ ‎（I）求双曲线渐近线的方程；‎ - 26 -‎ ‎（Ⅱ）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设，由可得，进一步得到渐近线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，则PM方程为，联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，再利用计算即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 由，知，‎ 所以，，得，即，‎ 即双曲线渐近线方程为； ‎ ‎（Ⅱ）由， ‎ 设，则PM方程为，‎ 由，得；‎ - 26 -‎ 由，得 ‎ 又，所以，所以，，‎ 同理可得，， ‎ 由是平行四边形，知，‎ 所以，，‎ 即 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.‎ ‎【点晴】本题考查椭圆与双曲线的综合运用，涉及到求双曲线渐近线方程以及椭圆的标准方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎20.已知函数（，且，e为自然对数的底）.‎ ‎（I）求函数的单调区间 ‎（Ⅱ）若函数在有两个不同零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（I）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅱ）.‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I），分，两种情况讨论解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）因为有两个正零点，由（I）知且在上单调递减，在上单调递增.当，当，，所以只需，对于①直接解不等式，对于②，构造，结合单调性解决.‎ ‎【详解】（I）由，知 ‎ ‎①当时，定义域为得，得；‎ ‎②当时，定义域为得，得 所以，当时，增区间为，减区间为；‎ 当时，增区间为，减区间为；‎ ‎（Ⅱ）因为有两个正零点，由（I）知 ‎ 且在上单调递减，在上单调递增.‎ 设时，指数函数是爆炸增长，，‎ - 26 -‎ 当，当， ‎ 因为有两个正零点，所以有，‎ 由①得，‎ 对于②，令，，‎ 在上单调递增，且，由知，‎ 由②得 综上所述，‎ ‎【点晴】本题考查利用导数研究函数的单调性以及已知函数零点个数求参数范围的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎21.某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：‎ 组别号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 男同学得分 ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ 女同学得分 ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 分差 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-1‎ 组别号 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ 男同学得分 ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ 女同学得分 ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ - 26 -‎ 分差 ‎-1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎（I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；‎ ‎（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P，.‎ 试问该课题研究小组是否会接受该模型.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 参考公式和数据：‎ ‎，；若，有，.‎ ‎【答案】（I）列联表见解析，没有把握；（Ⅱ）第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（I）由已知可得列联表，再利用卡方公式计算即可；‎ ‎（Ⅱ），由题知，而，故不存在 而满足的i的个数为3，算出的概率为0.043，从服从总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，再利用二项分布概率公式计算即可.‎ ‎【详解】（I）由表可得 男同学 女同学 总计 该次大赛得满分 ‎10‎ ‎14‎ ‎24‎ 该次大赛未得满分 ‎15‎ ‎11‎ ‎26‎ 总计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 所以，‎ 所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； ‎ ‎（Ⅱ）由表格可得； ‎ 由题知，而，‎ 故不存在 ，而满足的i的个数为3，即 当 设从服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于 的个体数为Y，则，‎ 所以，‎ - 26 -‎ ‎，‎ 综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.‎ ‎【点晴】本题考查独立性检验与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，利用代入即可；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数）代入中得到根与系数的关系，再由，利用直线参数方程的几何意义解决.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，‎ 故极坐标方程为﹔‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），‎ 代入，化简得，设所对的参数分别为 ‎，‎ 则，，‎ 且 ‎ - 26 -‎ 由，A在E内部，知，‎ 得或，‎ 所以，当时，解得，‎ 当时，解得 所以或.‎ ‎【点晴】本题考查普通方程与极坐标方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义解决线段长度等问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当时，不等式为，平方转化为解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值三角不等式即可证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式为，平方得，‎ 则，得，即或，‎ 所以，所求不等式的解集； ‎ - 26 -‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎， ‎ 又，‎ 所以，不等式得证.‎ ‎【点晴】本题考查解绝对值不等式以及利用绝对值三角不等式证明不等式，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎