【物理】2018届一轮复习人教版万有引力与航天学案
第4讲 万有引力与航天
考点一 万有引力定律及天体质量和密度的估算
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
(2)表达式：F＝，G为引力常量，
G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
2．中心天体质量和密度的估算
(1)“g、R法”：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg得天体质量M＝g。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝m得天体的质量M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
[思维诊断]
(1)只有天体之间才存在万有引力。( )
(2)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。( )
(3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( )
(4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)√
[题组训练]
1．[万有引力的计算](多选)
如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析： 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误。
答案： BC
2．[中心天体质量的求解](2015·江苏单科·3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1
C．5 D．10
解析： 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得M＝，所以恒星质量与太阳质量之比为＝＝3×2≈1，故选项B正确。
答案： B
3．[中心天体密度的求解](2014·全国卷新课标Ⅱ·18)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A. B．
C. D．
解析： 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，又V＝πR3，以上三式联立解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，选项A、C、D错误。
答案： B
易错提醒 对天体质量和密度估算问题的两点提醒
(1)区分两个质量：利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。
(2)区别两个半径：天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。
考点二 星球表面的重力加速度问题
1．计算星球表面(附近)的重力加速度g(不考虑星球自转)：
mg＝G，得g＝。
2．计算星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度
mg′＝，得g′＝。
所以＝。
[题组训练]
1．[地球表面或某一高度处重力加速度的计算](2015·重庆卷)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．
C. D．
解析： 对飞船受力分析知，飞船所受到的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即G＝mg，可得飞船所在位置的重力加速度大小g＝，故选B。
答案： B
2．[其他星体表面重力加速度的计算]一未知星体的质量是地球质量的，
直径是地球直径的，则一个质量为m的人在未知星体表面的重力为(已知地球表面处的重力加速度为g)( )
A．16mg B．4mg
C．mg D．
解析： 在星体表面处有G＝mg，因此未知星体表面的重力加速度为4g，所以该人在未知星体表面的重力为4mg。
答案： B
3．[天体表面的力学问题](2015·海南单科·6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )
A.R B．R
C．2R D．R
解析： 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝gt2，所以x＝v0，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以＝＝，根据公式G＝mg可得R2＝故＝ ＝2，解得R行＝2R，故C正确。
答案： C
考点三 卫星运行参量的比较与计算
1．环绕速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
(2)特点
①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。
②第一宇宙速度是人造卫星最大的环绕速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
①由G＝m得v＝ 。
②mg＝m得v＝。
2．第二、三宇宙速度
(1)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
3．同步卫星的六个“一定”
4．时空观
(1)经典时空观
①在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变。
②在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
(2)相对论时空观
在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
[题组训练]
1．[三种宇宙速度的理解](多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
解析： 根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”
火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确。
答案： CD
2．[同步卫星]由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
解析： 同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定，但质量可以不同，A项正确。
答案： A
3．[绕相同中心天体运动卫星参量的比较与计算](2017·辽宁大连重中点学联考)
如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是( )
A．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s
B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2
C．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4
D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
解析： 近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。根据G＝m，得v＝ ，半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运行速度一定小于7.9 km/s，A错。该卫星从北纬60°到南纬60°，转过120°用时1 h，则其转过360°用时3 h，即周期为3 h，而同步卫星的周期为24 h，即该卫星与同步卫星的周期之比为1∶8。根据G＝mr，得＝，则可得半径之比为1∶4，C正确。再由v＝ 可得该卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，B错。在卫星绕地球做圆周运动情况下，从高轨道到低轨道要减少机械能，所以若卫星质量相同，该卫星在极地轨道上的机械能小于同步卫星的机械能，D错。
答案： C
4．[绕不同中心天体运行卫星参量的比较]如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
解析： 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题。
根据G＝ma得a＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m2r，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝m，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误。
答案： A
方法技巧 人造卫星问题的解题技巧
(1)解决天体圆周运动问题的两条思路
①在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即Gf(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换。(g表示天体表面的重力加速度)
②天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即,Gf(Mm,r2)＝mf(v2,r)＝mrω2＝mf(4π2r,T2)＝man。
(2)卫星运行参量的“两点”注意,①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。
②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。
物理模型盘点⑥——双星模型 多星模型
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近。
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动。
(2)多星系统的结构
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
各行星转动方向相同，周期、角速度相等
2．双星问题的“两等”“两不等”
(1)双星问题的“两等”
①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B．T
C.T D．T
解析： 双星间的万有引力提供向心力。
设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。
答案： B
[即学即练]
(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析： 每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确。
答案： ABC
方法技巧 多星问题的解题技巧,(1)挖掘一个隐含条件：不论双星还是三星在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等；
(2)注意向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供；
(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能误认为一样。
1.
(2015·福建卷)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝ B.＝
C.＝2 D.＝2
解析： 本题考查万有引力定律和天体的运动，意在考查考生的分析推理能力。根据万有引力定律可得G＝m，即v＝，所以有＝，所以A项正确。
答案： A
2．(2016·全国丙卷·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析： 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。
答案： B
3．(2015·北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球的公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析： 本题考查万有引力定律与天体运动，意在考查考生的理解能力。地球的公转半径比火星的公转半径小，由＝m2r得T＝，可知地球的公转周期比火星的公转周期小，故A项错误；由＝得v＝，可知地球公转的线速度大，故B项错误；由
＝ma，可知地球公转的加速度大，故C项错误；由＝mω2r得ω＝，可知地球公转的角速度大，故D项正确。
答案： D
4．(2017·宜春模拟)
从吉隆坡飞往北京的马航MH370航班起飞后与地面失去联系，机上有154名中国人。之后，中国紧急调动了海洋、风云、高分、遥感等4个型号近10颗卫星为地面搜救行动提供技术支持。假设“高分一号”卫星与同步卫星、月球绕地球运行的轨道都是圆，它们在空间的位置示意图如图所示。下列有关“高分一号”的说法正确的是( )
A．其发射速度可能小于7.9 km/s
B．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
C．绕地球运行的周期比同步卫星绕地球运行的周期大
D．在运行轨道上完全失重，重力加速度为0
解析： 在地球上发射卫星的最小速度为7.9 km/s，A错误；由＝mω2r＝m·r可得：ω＝ ，T＝ ，“高分一号”的轨道半径小于同步卫星和月球的轨道半径，因此，“高分一号”绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大，绕行周期比同步卫星的绕行周期小，B正确，C错误；卫星在运行轨道上的加速度等于所在处的重力加速度，处于完全失重状态，重力加速度不为零，D错误。
答案： B
5．(2016·海南单科·7)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
解析： 根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力则：＝m，整理可以得到：M＝＝，故选项A正确；由于卫星的质量m
约掉，故与卫星的质量无关，故选项B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则＝m()2r，整理得到M＝，故选项D正确。
答案： AD
6．(2016·全国乙卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
解析： 万有引力提供向心力，对同步卫星有：
＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星A、B、C如图所示分布
则有＝
解得T′≈＝4 h，选项B正确。
答案： B
课时作业
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(1～7题为单项选择题，8～11题为多项选择题)
1.
如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是( )
A．线速度vA
FB>FC
C．角速度：ωA>ωB>ωC
D．向心加速度aAvB>vC，ωA>ωB>ωC，aA>aB>aC，故A、D错误，C正确。
答案： C
2．在地球表面某高度处以一定的初速度水平抛出一个小球，测得水平射程为x。在另一星球表面以相同的水平速度抛出该小球，需将高度降低一半才可以获得相同的水平射程。忽略一切阻力。设地球表面重力加速度为g，该星球表面的重力加速度为g′，则g∶g′为( )
A．1∶2 B．1∶
C.∶1 D．2∶1
解析： 因为x＝v0t，h＝gt2，而x＝v0t′，＝g′t′2，联立可得＝2。
答案： D
3．(2017·湖南十三校二联)据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面最多能举起64 kg物体的人在这个行星表面能举起的物体最大质量为(地球表面重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
解析： 由mg＝G得g＝
则：＝
又M行＝6.4M地，R行＝2R地
故＝1.6
根据F举＝m0g地＝m′0g行得：
m′0＝·m0＝40 kg，故选A。
答案： A
4．(2017·山东冲刺)我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0。地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，地球和月球的密度之比为( )
A. B．
C．4 D．6
解析： 设星球的密度为ρ，由G＝m′g得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得ρ＝，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则＝，将＝4，＝6代入上式，解得＝，选项B正确。
答案： B
5．(2017·福建泉州洛江区一诊)我国研制的北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，系统由5颗地球同步轨道卫星和30颗低轨卫星组网而成(见图)，这些卫星的运动均可看作匀速圆周运动。北斗导航系统正式投入运营，计划到2020年完全建成。关于该导航系统，下列说法正确的是( )
A．系统中的地球同步轨道卫星可以定位在成都正上方
B．系统中从地面发射质量为m的同步卫星比发射质量为m的低轨卫星所需的能量更多
C．系统中卫星的运行周期和月亮绕地球运行的周期可能相同
D．系统中卫星的运行速度可以大于11.2 km/s
解析： 同步卫星相对地球静止，同步卫星位于赤道平面内，成都不在赤道上，因此地球同步轨道卫星不能定位在成都正上方，故A错误；卫星轨道半径越大，发射卫星时克服地球引力做功越多，因此系统中从地面发射质量为m的同步卫星比发射质量为m的低轨卫星所需的能量更多，故B正确；卫星绕地球做圆周运动的周期T＝2π ，卫星的轨道半径小于月亮的轨道半径，则卫星的周期小于月亮的周期，故C错误；11.2 km/s是地球的第二宇宙速度，达到此速度的物体可以脱离地球的吸引，系统中的卫星没有脱离地球的吸引，系统中的卫星的运行速度小于7.9 km/s，故D错误。
答案： B
6．据悉，“嫦娥五号”将于2017年左右发射。“嫦娥五号”到达月球后，将先围绕月球做匀速圆周运动，然后择机释放着陆器登陆月球。若“嫦娥五号”在围绕月球转动的过程中，经过时间t(t小于“嫦娥五号”围绕月球转动的周期)，运动的弧长为s，与月球中心的连线扫过的角度为θ(弧度制)，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥五号”围绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为
B．“嫦娥五号”围绕月球做匀速圆周运动的周期为
C．月球的质量为
D．月球的平均密度为
解析： 轨道半径r＝，选项A错误；由ω＝可知，T＝＝，选项B错误；设月球的质量为M，“嫦娥五号”的质量为m，则由万有引力提供向心力可得G＝m，可解得M＝，选项C正确；由于不知道月球的半径，所以无法计算出月球的平均密度，选项D错误。
答案： C
7．(2017·江苏启东中学月考)“马航MH370”客机失联后，我国已紧急调动多颗卫星，利用高分辨率对地成像、可见光拍照等技术对搜寻失联客机提供支持。关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )
A．低轨卫星和地球同步卫星，可能具有相同的速率
B．低轨卫星和地球同步卫星，可能具有相同的周期
C．低轨卫星(环绕半径远小于地球同步卫星的环绕半径)都是相对地球运动的，
其环绕速率可能大于7.9 km/s
D．地球同步卫星相对地球是静止的，可以固定对一个区域拍照，但由于它距地面较远，照片的分辨率会差一些
解析： 根据G＝m＝mr得v＝ ，T＝2π，低轨卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则低轨卫星的速率大于同步卫星，周期小于同步卫星，选项A、B错误；同步卫星相对地球静止，低轨卫星相对地球是运动的，根据G＝m，得v＝ ，第一宇宙速度的轨道半径等于地球的半径，所以低轨卫星的线速度小于第一宇宙速度，选项C错误；同步卫星的周期与地球的周期相同，相对地球静止，可以固定对一个区域拍照，但由于它距地面较远，照片的分辨率会差一些，选项D正确。
答案： D
8．冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可视为双星系统，质量比约为7∶1，两星体绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析： 冥王星、星体“卡戎”依靠彼此间的万有引力作向心力而做匀速圆周运动，因此轨道圆心一定始终在两星体的连线上，所以两星体具有相同的角速度，B错；两星体彼此间的万有引力是作用力与反作用力，故向心力大小相等，因此有m1ω2r1＝m2ω2r2，所以＝＝，A对，D错；由角速度与线速度的关系可得＝，所以＝＝，C对。
答案： AC
9．(2017·贵州三校联考)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R、地球北极表面附近的重力加速度为g、引力常量为G、地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为( )
A．2π B．
C. D．2π
解析： 取地球赤道上一质量很小的质元，设其质量为m
，要维持该质元刚好随地球一起转动，则质元与地球之间的万有引力等于向心力，有G＝mRω2，解得ω＝ ，选项A错误，B正确。在地球北极表面附近，G＝m′g，则有GM＝gR2，则ω＝ ，选项C正确，D错误。
答案： BC
10.
北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”——开普勒452b。将开普勒452b简化成如图所示的模型：MN为该星球的自转轴，A、B是该星球表面的两点，它们与地心O的连线OA、OB与MN的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A、B两点处放置质量分别为mA、mB的物体。设该星球的自转周期为T，半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．该星球的第一宇宙速度为
B．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧秤称量质量为mA的物体，平衡时示数为F，则星球的质量为
C．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为
D．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为
解析： 该星球的第一宇宙速度v＝ ，而是星球自转的最大线速度，所以A错误；若不考虑该星球自转，A点处的重力加速度g＝，由G＝mg得M＝，B正确；放在A、B两处的物体随星球自转的向心力大小分别为FA＝mAω2rA＝mAω2Rsin α，FB＝mBω2rB＝mBω2Rsin β，＝＝，C正确，D错误。
答案： BC
11．2016年6月25日20时00分，长征七号运载火箭成功发射，6月26日
15时04分许，围绕地球飞行了13圈的多用途飞船缩比返回舱 返回。假设多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动，若已知地面的重力加速度和地球半径，根据以上信息，可以求出的物理量为( )
A．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力
B．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的轨道半径
C．地球质量
D．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度
解析： 根据题述信息，可求出多用途飞船围绕地球飞行13圈的时间，进而求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的周期T。由G＝mg，解得地球质量M＝gR2/G，由于引力常量G未知，所以不能得出地球质量，选项C错误。由G＝mg，G＝mr2，解得r＝ ，选项B正确。多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力F＝m2r，由于不知飞船的质量m，不能求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力，选项A错误。已知轨道半径r和运动周期T，可以求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度v＝2πr/T，选项D正确。
答案： BD
二、非选择题
12．(2017·德州模拟)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地。(取地球表面重力加速度g地＝10 m/s2，阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′。
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。
解析： (1)设竖直上抛初速度为v0，
则v0＝＝g′·，
故g′＝g地＝2 m/s2
(2)设小球质量为m，
则＝mg，M＝，
故＝＝×＝。
答案： (1)2 m/s2 (2)
专题四 “两类问题”的突破
考点一 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关系比较
比较内容
赤道上的物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力与支持力的合力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万
有引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
线速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)
＝
v1vⅡB，vⅡA>vⅠ。
②同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)，图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡAvⅢ。
(2)卫星的对接
航天飞机与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
1.
(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析： 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2＞r3，则a2＞a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G＝ma，由题目中数据可以得出，r1＜r2，则a2＜a1；综合以上分析有，a1＞a2＞a3，选项D正确。
答案： D
2．我国于2016年9月15日发射“天宫二号”空间实验室，10月19日凌晨“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接成功。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析： 对于绕地球做圆周运动的人造天体，由＝m，有v＝ ∝，可见v与r
是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同，不能对接；而从同一轨道上加速或减速时由于发生变轨，二者不能处于同一轨道上，亦不能对接，A、B皆错误。飞船处于半径较小的轨道上，要实现对接，需增大飞船的轨道半径，飞船加速则轨道半径变大，飞船减速则轨道半径变小，C正确，D错误。
答案： C
3．(2016·北京理综·18改编)
如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度
解析： 人造卫星从轨道1变轨至轨道2要在P点加速，故在P点卫星在1轨道速度小于2轨道的速度，A错。在P点时卫星受到地球引力F＝，R是P到地心距离，据牛顿第二定律可知加速度相同，B正确。卫星在轨道1的任何位置受到的万有引力方向都指向地心，因此，产生的加速度都不相同，C错。卫星在轨道2上瞬时速度方向沿轨道切线方向，故速度方向不相同，D错。
答案： B
4．(2017·浙江杭州外国语学校月考)据报道，美国探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示。设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法中正确的是( )
A．探测器的最小发射速度为7.9 km/s
B．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度
C．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度
D．探测器运行的周期小于5.74年
解析： 要想脱离地球控制，发射速度要达到第二宇宙速度11.2 km
/s，故选项A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律＝ma，得a＝，可知近日点的加速度大，故选项B正确；根据开普勒第二定律可知，行星绕日运动的近日点的线速度大，远日点的线速度小，故选项C错误；探测器的运行轨道高度比彗星低，根据开普勒第三定律＝k可知探测器的运行周期一定比彗星的运行周期小，故选项D正确。
答案： BD
5.
(多选)(2017·西安市质检)2013年4月出现了“火星合日”的天象，“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知( )
A．“火星合日”约每1年出现一次
B．“火星合日”约每2年出现一次
C．火星的公转半径约为地球公转半径的倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
解析： 由开普勒定律可得：＝，＝ ＝，选项C正确，选项D错误；地球绕太阳的公转周期为1年，根据“火星合日”的特点，可得t－t＝2π，可得：t＝＝2年，选项A错误，选项B正确。
答案： BC
6.
(多选)假设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g0。“神舟九号”飞船沿距地球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ
的近地点B再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为1∶2
B．飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为2∶1
C．飞船在轨道Ⅰ绕地球运动一周所需的时间为2π
D．飞船在轨道Ⅰ绕地球运动一周所需的时间为16π
解析： 飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，均由万有引力提供向心力，设地球的质量为M，飞船的质量为m，则由牛顿第二定律得G＝m，解得：v＝ ，故＝＝，选项A错误，B正确；飞船在轨道Ⅰ绕地球运动，万有引力充当向心力，则G＝m·4R，又GM＝g0R2，解得T＝16π ，选项C错误，D正确。
答案： BD高考热点专项练(四) 曲线运动 万有引力与航天
热点一 天体运动的分析与计算
1．(2016·江苏单科·7)(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A．TA＞TB B．EkA＞EkB
C．SA＝SB D．＝
解析： 卫星做匀速圆周运动时有＝m＝mRω2＝mR，则T＝2π ∝，故TA＞TB，＝，A、D皆正确；Ek＝mv2＝∝，故EkA＜EkB，B错误；S＝ωR2＝∝，故C错误。
答案： AD
2.
“嫦娥五号”在西昌卫星发射中心发射升空，并在8天后以“跳跃式再入”方式成功返回地面。“跳跃式再入”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层，如图所示，虚线为大气层的边界。已知地球半径为R，地心到d点距离为r，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”在b点处于完全失重状态
B．“嫦娥五号”在d点的加速度小于gR2/r2
C．“嫦娥五号”在a点速率大于在c点的速率
D．“嫦娥五号”在c点速率大于在e点的速率
解析： “嫦娥五号”在b点处于失重状态，由于受到阻力作用，不是完全失重状态，A错误；在d点，“嫦娥五号”的加速度a＝＝，又GM＝gR2，所以a＝，B错误；“嫦娥五号”从a点到c点，万有引力不做功，由于阻力做负功，则a点速率大于c点速率，C正确；从c点到e点，没有空气阻力，机械能守恒，则c点速率和e点速率相等，D错误。
答案： C
3．(2017·河北百校联盟质检)“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，由此可得地球和月球的密度之比为( )
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A. B．
C．4 D．6
解析： 设星球的密度为ρ，由G＝mg得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得ρ＝
。设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则＝，将＝4，＝6代入上式，解得＝，选项B正确。
答案： B
4．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
解析： 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T＝知直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π ，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝ ，C项错误；由2Gcos 30°＝ma得a＝，D项正确。
答案： BD
热点二 平抛运动规律的应用
5.
如图所示，在同一竖直平面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb
沿水平方向抛出，经时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，则( )
A．ta>tb，vatb，va>vb
C．tavb
解析： 由平抛运动规律可知：h＝gt2，x＝v0t，根据题中条件，因为ha>hb，所以ta>tb，又因为xa＝xb，故va
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