【数学】2018届一轮复习湘教版随机事件的概率教案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2018届一轮复习湘教版随机事件的概率教案

‎ ‎ ‎1.概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.‎ ‎(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).‎ ‎2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A+B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件 A∩B=∅‎ A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A)+P(B)=1‎ ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)=1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)=0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).‎ ‎【知识拓展】‎ 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生频率与概率是相同的.( × )‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事.( × )‎ ‎(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ )‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × )‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ )‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.( × )‎ ‎1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则b>a的概率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 基本事件的个数有5×3=15,其中满足b>a的有3种,所以b>a的概率为=.‎ ‎2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是(  )‎ A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 答案 B 解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.‎ ‎3.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为(  )‎ A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9‎ 答案 A 解析 依题设知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5.‎ ‎4.(教材改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为________.‎ 答案 ②‎ 解析 ①是互斥不对立的事件,②是对立事件,③④不是互斥事件.‎ 题型一 事件关系的判断 例1 (1)从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数;‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数;‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.‎ 上述事件中,是对立事件的是(  )‎ A.① B.②④ C.③ D.①③‎ ‎(2)设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(3)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是(  )‎ A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 答案 (1)C (2)A (3)A 解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.‎ ‎(2)若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.‎ ‎(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.‎ 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ‎①互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.‎ ‎②对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.‎ ‎(2)判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.‎ ‎ 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:‎ ‎①至少有1个白球与至少有1个黄球;‎ ‎②至少有1个黄球与都是黄球;‎ ‎③恰有1个白球与恰有1个黄球;‎ ‎④恰有1个白球与都是黄球.‎ 其中互斥而不对立的事件共有(  )‎ A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 答案 B 解析 ①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.‎ 题型二 随机事件的频率与概率 例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;‎ ‎(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.‎ 解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.‎ 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ 思维升华 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.‎ ‎(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.‎ ‎ (2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.‎ ‎  商品 顾客人数   ‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;‎ ‎(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?‎ 解 (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,‎ 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.‎ ‎(3)与(1)同理,可得:‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.‎ 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.‎ 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率 例3 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?‎ 解 方法一 从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则有 P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,‎ P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.‎ 方法二 设红球有n个,则=,所以n=4,即红球有4个.‎ 又得到黑球或黄球的概率是,所以黑球和黄球共5个.‎ 又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3(个).‎ 又得到黄球或绿球的概率也是,所以黄球和绿球共5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2(个).‎ 所以黑球有12-4-3-2=3(个).‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 =,=,=.‎ 命题点2 对立事件的概率 例4 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖,一等奖,二等奖的事件分别为A,B,C,求:‎ ‎(1)P(A),P(B),P(C);‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率;‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ 解 (1)P(A)=,P(B)==,‎ P(C)==.‎ 故事件A,B,C的概率分别为,,.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖,一等奖,二等奖.‎ 设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.‎ ‎∵A,B,C两两互斥,‎ ‎∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎==.‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,‎ ‎∴P(N)=1-P(A∪B)=1-=.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ 思维升华 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法:‎ ‎(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率;‎ ‎(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.‎ ‎ 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求:(1)至多2人排队等候的概率;‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率.‎ 解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,‎ 所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H,‎ 则H=D+E+F,‎ 所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 方法二 记“至少3人排队等候”为事件H,‎ 则其对立事件为事件G,‎ 所以P(H)=1-P(G)=0.44.‎ ‎26.用正难则反思想求互斥事件的概率 典例 (15分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)‎ 思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用“正难则反”思想求解.‎ 规范解答 解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,‎ 所以x=15,y=20.[2分]‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 ‎=1.9(分钟).[7分]‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==.[10分]‎ P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1--=.[12分]‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[15分]‎ ‎1.(2016·天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为+‎ eq f(1,3)=.‎ ‎2.(教材改编)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.‎ 在上述事件中,是对立事件的为(  )‎ A.① B.② C.③ D.④‎ 答案 B 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且一定有一个发生.‎ ‎∴②中两事件是对立事件.‎ ‎3.(2016·临安中学模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(  )‎ A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5‎ 答案 C 解析 ∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,‎ ‎∴所求概率P=1-P(A)=0.35.‎ ‎4.(2016·杭州模拟)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(  )‎ A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 答案 A 解析 由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件,故选A.‎ ‎5.(2016·蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个,如果其重量小于30克的概率为0.3,重量在[30,40]克的概率为0.5,那么重量不小于30克的概率为(  )‎ A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3‎ 答案 C 解析 由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1-0.3-0.5=0.2,‎ 又∵0.5+0.2=0.7,∴重量不小于30克的概率为0.7.‎ ‎6.从存放的号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:‎ 卡片号码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 取到次数 ‎13‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎9‎ 则取到号码为奇数的卡片的频率是(  )‎ A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37‎ 答案 A 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为13+5+6+18+11=53,则所求的频率为=0.53.故选A.‎ ‎7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:‎ ‎①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;‎ ‎②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;‎ ‎③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品.‎ 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件.‎ 答案 ③ ② ①‎ ‎8.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是________________.‎ 答案 (,]‎ 解析 由题意可知⇒,⇒⇒
查看更多