2017-2018学年吉林省白城市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版
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吉林省白城市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合,，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，
又因为，所以，所以，选B.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意
，故选B.
3．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4
0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意，可得函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，利用函数奇偶性的定义可判断出f（﹣x）=f（x），从而可知f（x）的奇偶性；
（2）由（1）知f（x）为偶函数，故只需讨论x＞0时的情况，依题意，当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，即可求得a的取值范围．
【详解】
(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝ (－x)3
＝ (－x)3
＝ (－x)3
＝x3＝f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此a>1时，f(x)>0.
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的判定及性质的应用，考查推理运算能力，判断f（x）是偶函数是关键，也是难点，属于中档题．
19．f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；
(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。
【答案】(1)0,(2)见解析(3)(4)
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法令x=y，进行求解即可．
（2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．
（3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
（4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域
【详解】
（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=0，x＞0
（2）设0＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），
∵＞1，∴f（）＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，
原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴解得0＜x＜．故原不等式的解集为（0，）
（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数．
∴f（x）min=f（1）=0，f（x）max=f（16）．
∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），
∴ f（16）=2f（4）=4，∴ f（x）在[1，16]上的值域为[0，4]
【点睛】
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
20．（1）化简求值：
（2）化简求值：+
【答案】(1)1，(2)
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；
（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积化简求值．
【详解】
（1）=
==；
（2）+
=+
=
=（﹣）
=
=．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
21．设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.
【答案】(1)见解析(2)3
【解析】
【分析】
（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；
（2）化简不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，讨论k，分k≤2，k＞2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值．
【详解】
（1）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
函数f（x）的导数f'（x）=﹣2x+，
令f'（x）＞0则＞2x，
解得，
令f'（x）＜0则，
解得x＞或x＜，
∵x＞﹣1，
∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），
单调减区间为（，+∞）；
（2）不等式f（x）＞﹣x2
即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，
即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则
g'（x）=2+ln（x+1）﹣k，
∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，
若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，
∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，
∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；
若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，
结合K为正整数，故k的最大值为3．
【点睛】
本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g（x），运用导数说明g（x）＞0恒成立，从而得到结论．这种思想方法要掌握．
22．已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围；
（3）设函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) （3）
【解析】
【分析】
（1）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；
（3）构造函数ϕ（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）max＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x）max，从而求出a的范围．
【详解】
（1）解: 当时,,, ,
曲线在点处的斜率为, 故曲线在点处的切线方程为,即
（2）解: . 令,要使在定义域内是增函数,只需≥在区间内恒成立. 依题意,此时的图象为开口向上的抛物线,,其对称轴方程为,,则只需≥,即≥时,≥,≥,
所以定义域内为增函数,实数的取值范围是.
（3）解: 构造函数,,依题意,
由（2）可知≥时,为单调递增函数,
即在上单调递增,
,则,
此时,,即成立.
当≤时,因为,,
故当值取定后,可视为以为变量的单调递增函数,
则≤,,
故≤,
即≤,不满足条件.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
