高考数学一轮复习练案29第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积含解析

高考数学一轮复习练案29第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积含解析

‎ [练案29]第三讲　平面向量的数量积 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2020·江西名校高三质检)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝(　C　)‎ A．1　 B．2　‎ C．3　 D．4‎ ‎[解析]　由题意可得a·b＝|a|·|b|·cos a，b＝2××cos 30°＝3，故选C.‎ ‎2．(2020·安徽六校联考)向量a＝(2,4)，b＝(5,3)，则a·(a－b)＝(　D　)‎ A．－10　 B．14　‎ C．－6　 D．－2‎ ‎[解析]　∵a－b＝(－3,1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.‎ ‎3．(2020·郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D．4‎ ‎[解析]　依题意得a·b＝，‎ ‎|a＋3b|＝＝，故选C.‎ ‎4．(2020·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，＝，且||＝2，||＝8，∠ACB＝，则·＝(　A　)‎ A．24　 B．12　‎ C．24　 D．12 ‎[解析]　设||＝x，∵2＝＋，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴·＝(＋)·＝(2＋·)＝×(64－16)＝24.故选A.‎ ‎5．(2020·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　解法一：设a与b－a的夹角为θ.‎ - 7 -‎ 因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，‎ 即|a|2＋‎2a·b＋|b|2＝|a|2－‎2a·b＋|b|2，‎ 所以a·b＝0.‎ 因为a，b为非零单位向量，‎ 所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.‎ 因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cos θ，‎ 所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，‎ 所以θ＝.‎ 解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为.‎ 解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.‎ ‎6．(2020·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则在方向上的投影等于(　C　)‎ A．－　 B．　‎ C．　 D．3‎ ‎[解析]　因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，‎ 所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，‎ 所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.‎ - 7 -‎ 因为||＝||＝||，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.‎ 在Rt△ABC中，||＝||sin 60°＝，‎ 所以在方向上的投影为 ‎||cos ∠ABC＝||cos 30°＝×＝.‎ 二、多选题 ‎7．(2020·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(　CD　)‎ A．a＋b　　 B．a＋b C．a－b　　 D．a－b ‎[解析]　∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝，∴|a－b|2＝a2－‎2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|a－b|2＝(‎4a2－‎4a·b＋b2)＝1，故选C、D.‎ ‎[优解]　如右图，令＝a，＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴||＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，‎ ‎∴a－b是单位向量.a－b＝(a－b)＝，又∵(||)＝，故选C、D.‎ ‎8．(2020·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(　BC　)‎ A．(－∞，－)　　 B．(－，2)‎ C．(2，＋∞)　　 D．(－2，)‎ ‎[解析]　∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是(－，2)∪(2，＋∞)．故选B、C.‎ - 7 -‎ 三、填空题 ‎9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos a，b＝　－　.‎ ‎[解析]　cos a，b＝＝＝－.‎ ‎10．(2020·湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a＝(3,4)，b＝(x,1)，若(a－b)⊥a，则实数x等于__7__.‎ ‎[解析]　∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，‎ 即a2＝a·b,25＝3x＋4，解得x＝7.‎ ‎11．(2020·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为__－1__.‎ ‎[解析]　∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.‎ ‎∴|a－b|2＝25＋b2－‎2a·b＝36，‎ ‎|a＋b|2＝25＋b2＋‎2a·b＝16.‎ ‎∴a·b＝－5，|b|＝1，‎ ‎∴向量b在向量a上的投影为 ‎|b|·cos a，b＝|b|·＝＝＝－1.‎ ‎12．(2020·武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝__2__.‎ ‎[解析]　由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.‎ 四、解答题 ‎13．(2020·贵阳质检)已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎[解析]　由已知得，a·b＝4×8×(－)＝－16.‎ ‎(1)①因为|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4.‎ ‎②因为|‎4a－2b|2＝‎16a2－‎16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|‎4a－2b|＝16.‎ ‎(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ - 7 -‎ ‎14．(2020·湖北宜昌高三适应性训练)在△ABC中，AB＝‎3AC＝9，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，求·的值．‎ ‎[解析]　由·＝2，得·＝0，‎ 所以⊥，即∠C＝，‎ 则BC＝＝6.‎ 以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(3,0)，B(0,6)，设P(x，y)，‎ 则2＋2＋2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2　‎ ‎＝3x2－6x＋3y2－12y＋81‎ ‎＝3[(x－1)2＋(y－2)2＋18]，‎ 所以当x＝1，y＝2时取得最小值，此时P(1,2)，‎ 则·＝(2，－2)·(0，－6)＝24.‎ B组能力提升 ‎1．(2020·广东百校联考)若向量a，b满足|a|＝，b＝(－2,1)，a·b＝5，则a与b的夹角为(　C　)‎ A．90°　 B．60°　‎ C．45°　 D．30°‎ ‎[解析]　∵b＝(－2,1)，∴|b|＝＝，∵|a|＝，a·b＝5，∴cos a，b＝＝＝.又a，b∈[0，π]，∴a与b的夹角为45°.故选C.‎ ‎2．(2020·河南中原名校指导卷)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，c＝‎2a－b，则向量c在向量a方向上的投影为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．2　 D．3‎ - 7 -‎ ‎[解析]　∵a＝(－1,2)，b＝(1,3)，∴|a|＝，c＝‎2a－b＝(－3,1)，∴a·c＝5，∴向量c在向量a方向上的投影为＝.故选B.‎ ‎3．(2020·辽宁葫芦岛六中月考)已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　B　)‎ A．2　 B．3　‎ C．4　 D．5‎ ‎[解析]　∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.‎ ‎4．(2020·浙江省杭州市富阳区新登中学高三上学期期末模拟数学试题)设单位向量e1，e2对任意实数λ，都有|e1＋e2|≤|e1＋λe2|，则e1，e2的夹角为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　设e1与e2的夹角为θ，θ∈[0，π]，|e1＋e2|≤|e1＋λe2|两边平方得，1＋cos θ＋≤λ2＋2λcos θ＋1化角为λ2＋2λcos θ－cos θ－≥0，由于对任意实数λ都成立，所以Δ≤0，即(2cos θ)2＋4cos θ＋3≤0也就是(2cos θ＋)2≤0，∴cos θ＝－，θ＝，故选D.‎ ‎5．(2020·贵阳质检)已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)因为(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－‎4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－‎4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ - 7 -‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ 所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||·sin ∠ABC ‎＝×4×3×＝3.‎ - 7 -‎