2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题（解析版）

2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题（解析版）

‎2020届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先化简集合，再进行交集运算 ‎【详解】‎ ‎,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，熟练解二次不等式是关键，是基础题 ‎2．设则的实部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用复数的除法运算化简的形式，进而确定实部 ‎【详解】‎ ‎,实部为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题 ‎3．若则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数单调性判断A,特值法排除 ‎【详解】‎ 函数是减函数,由得,取,可知不成立 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质，考查函数单调性，特值排除是常见方法 ‎4．函数的部分图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用奇偶性排除，利用函数值排除 ‎【详解】‎ 为偶函数,从而排除,而当时时,,排除,‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别，结合奇偶性及特值排除是常见方法，是基础题 ‎5．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,利用古典概型求解即可 ‎【详解】‎ ‎“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题 ‎6．两个单位向量满足:,则的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用数量积运算求得再利用夹角公式运算 ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积运算，意在考查计算能力，是基础题 ‎7．已知的面积为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用二倍角公式及平方关系求得，由面积公式求出，再由余弦定理求解即可 ‎【详解】‎ 因为,的面积为,又,所以,由余弦定理,得,,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题 ‎8．在三棱柱中,平面,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先证明平面再将棱柱可以补成长方体，连接,则是与所成角或其补角，利用余弦定理求解即可 ‎【详解】‎ 平面,‎ 平面三棱柱可以补成长方体,连接,则是与所成角或其补角,‎ 令,则,在中,由余弦定理得 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定及性质，考查异面直线所成角，三棱柱补成四棱柱是常见方法 ‎9．已知双曲线的右焦点为,渐近线为,过点的直线与的交点分别为.若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将直线方程联立求得，利用两点间距离公式计算 ‎【详解】‎ 由题的方程为,过与垂直的直线的方程为,由联立得,由 联立得 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线交点及两点间距离，考查计算能力，是基础题 ‎10．若在上是减函数,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简，求得单调减区间，利用集合的包含关系求解 ‎【详解】‎ ‎，令，解得函数的单调减区间为,由题意知 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题 ‎11．已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求出函数在，， ，的最值，进而由交点个数确定的范围 ‎【详解】‎ 当时,最大值为,‎ 当时,‎ 其最大值为,‎ 当时,，在上是增函数,在上是减函数,,‎ 当时,,最大值为,‎ 当时, ,在上是增函数,在上是减函数,‎ 又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与最值，考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，是中档题，逐段分析函数最值是关键 ‎12．已知过点的直线与抛物线交于点,线段AB的垂直平分线过点是抛物线的焦点,则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设方程为与抛物线联立利用韦达定理得中点为,利用垂直斜率乘积为-1，求得 再利用面积公式求解 ‎【详解】‎ 设方程为,显然,联立与 中点为,由条件知 ‎,,,,又的面积为：‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线位置关系，考查垂直的应用，利用韦达定理得直线方程是关键，是中档题 二、填空题 ‎13．某班有男生人,女生24人,现用分层抽样方法,从该班抽出人,则从女生中抽出的人数为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用分层抽样成比例求解 ‎【详解】‎ 由分层抽样的性质得 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的定义与性质，意在考查对定义的理解，是基础题 ‎14．若曲线,在点处的切线过点,则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导得直线的斜率，利用点斜式求方程得a值 ‎【详解】‎ 切线方程为,切线过点 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算及几何意义，考查计算能力，是基础题 ‎15．已知,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】切化弦结合平方关系得，再利用两角差的正切公式求解 ‎【详解】‎ 由得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查切化弦及同角三角函数基本关系，考查两角差的正切公式，意在考查计算能力，是中档题 ‎16．已知正方体的各棱长为,圆锥的底面圆是正方形的内切圆,顶点是正方形的中心,则圆锥的体积为 ____________,侧面积为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意得底面半径及母线长，，再利用体积与表面积公式求解 ‎【详解】‎ 圆锥的高为,底面半径为 ,母线长为, 所以体积为 ‎,侧面积为 故答案为：； ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的性质，考查体积与表面积公式，考查计算能力，是基础题 三、解答题 ‎17．如图,三棱锥中,是中点,‎ 求证：平面 求二面角的正弦值 ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】（1）推导平面得，由得即可证明；‎ ‎（2）)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,求得两个平面的法向量得二面角 ‎【详解】‎ 证明：是中点,‎ 平面平面 平面 是边上中线,‎ 平面,平面;‎ ‎(2)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 设平面的一个法向量为,则 取,得 同样可求得平面的- -个法向量 面角的正弦值为 ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定，考查二面角的向量求法，考查推理能力及空间想象能力，是中档题 ‎18．“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.‎ ‎(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;‎ ‎(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在 分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.‎ ‎【答案】（1）；60‎ ‎（2）的分布列为 的数学期望为 ‎【解析】（1）利用面积和为1求得进而求得频率则人数可求 ‎（2）建立二项分布求得分布列及期望 ‎【详解】‎ 解:依题意,故 故成绩在上的频率为 答卷成绩在上的人数为 ‎ 由样本的频率分布直方图知成绩在分以上(含分)的频率为 依题意,‎ 故,‎ 所以的分布列为 的数学期望为 ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布，熟练掌握二项分布是关键，是中档题 ‎19．已知数列和满足 求证：是等比数列,是等差数列 求数列和的通项公式 ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】（1）解方程组得，并构造，即可证明 ‎（2）利用（1）得，解方程组求得通项公式 ‎【详解】‎ 证明:‎ 是首项为,公比为的等比数列,‎ ‎······‎ 是首项为,公差为的等差数列.‎ 由知, ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推关系证明等差与等比数列，考查变形求解能力，熟记等差与等比的定义与性质是关键，是中档题 ‎20．已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为 求椭圆的标准方程 若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）利用，得，设椭圆方程，与直线联立由弦长公式得c=1，方程可求 ‎（2）过与直线平行的直线方程，与椭圆联立韦达定理得，向量坐标化得，代入椭圆方程，利用点在椭圆上整体代入得，结合基本不等式求最值即可 ‎【详解】‎ 设椭圆的焦距为,则 椭圆的方程化为 由得 由条件知 椭圆的方程为.‎ 由知,过与直线平行的直线方程 由得 设,则 由点是椭圆上一点,得 ‎,当且仅当时,取等号,‎ 的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，考查弦长公式，考查向量坐标化及点在曲线上的综合运用，考查计算能力及整体代入思想，是难题 ‎21．已知函数 若在处取得极值,求函数的单调区间 若是函数的两个极值点,且,求证：‎ ‎【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为 ‎（2）见解析 ‎【解析】（1）求导，由得，进而确定单调区间 ‎（2）由,有两个极值点,得，利用根与系数的关系即可证明 ‎【详解】‎ ‎(1)的定义域为, ,‎ 在处取得极值,‎ ‎.‎ 时,；时,‎ 的单调增区间为,单调减区间为 ‎,有两个极值点,‎ ‎,‎ 故得证 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值与单调性，考查利用极值证明不等式，考查转化与化归能力，是中档题 ‎22．‎ 在平面直角坐标系中,圆的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与圆交于两点 当时,求的取值范围 若的中点为点,求点的轨迹的参数方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）（）‎ ‎【解析】（1）讨论直线倾斜角,当时，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式求解 ‎（2）利用,得的轨迹是以为直径的圆,去掉点，进而得参数方程 ‎【详解】‎ 圆的圆心为,半径为,‎ 当时,直线的方程为到距离为,圆与相切，不合题意；‎ 当时,设直线方程为即,‎ 设到距离为,则，‎ 又 即,‎ 由及与圆相交知 过点与圆交于两点中点满足,‎ 的轨迹是以为直径的圆,去掉点, ‎ 中点为,点的轨迹方程为(参数).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的中点弦的几何性质，熟记几何性质是关键，是基础题 ‎23．已知函数 当时,求不等式的解集 当时,不等式成立,求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）分类讨论去绝对值解不等式 ‎（2）去绝对值分离参数求最值即可 ‎【详解】‎ 时,,‎ 当时,不成立，‎ 当时，，‎ 当时,不等式成立，‎ 的解集为 ‎(2)当时，化为,，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上是减函数，故；在上是增函数，故 ‎,的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题求参数，注意分离参数是常见方法，是中档题