福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三上学期期中考试 数学（理）

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三上学期期中考试 数学（理）

泉港一中2020届高三期中考试理科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 ‎ ‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎3．在△ABC中,“AB‎·‎AC>0”是“△ABC为锐角三角形”的(　 　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.设数列‎{an}‎是单调递增的等差数列，a‎1‎‎=2‎且a‎1‎‎-1‎，a‎3‎，a‎5‎‎+5‎成等比数列，则a‎2019‎‎=‎（ ）‎ A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019‎ ‎5.下列数值最接近的是（ ）‎ A. B.‎ ‎ C. D ‎6．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为( )‎ A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤 ‎8．设正实数a,b满足‎6‎a‎=‎2‎b,‎则（ ）‎ A． ‎04‎;‎ ‎(Ⅱ)若不等式fa>‎b+1‎对任意的实数a恒成立，求b的取值范围.‎ 泉港一中2020届高三上期中考试理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B B D D C C D A B B 二、填空题 ‎13 、 4 14 、 4 15、 16、 ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，‎ 当时，也适合时，‎ ‎∴………………………………..5分 ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎…………………………12分 ‎18.‎(‎Ⅰ‎)‎ 在‎△APC中，因为‎∠PAC=‎‎60‎‎∘‎，PC=2‎，AP+AC=4‎， 由余弦定理得PC‎2‎=AP‎2‎+AC‎2‎-2⋅AP⋅AC⋅cos∠PAC，………………2分 所以‎2‎‎2‎‎=AP‎2‎+(4-AP‎)‎‎2‎-2⋅AP⋅(4-AP)⋅cos‎60‎‎∘‎， 整理得AP‎2‎-4AP+4=0‎， 解得AP=2‎． 所以AC=2‎． 所以‎△APC是等边三角形． 所以‎∠ACP=‎‎60‎‎∘‎． ‎ ‎ ………………6分 ‎(‎Ⅱ‎)‎ 法1：由于‎∠APB是‎△APC的外角，所以‎∠APB=‎‎120‎‎∘‎． 因为‎△APB的面积是‎3‎‎3‎‎2‎，所以‎1‎‎2‎‎⋅AP⋅PB⋅sin∠APB=‎‎3‎‎3‎‎2‎． 所以PB=3‎． 在‎△APB中，，AB‎2‎=AP‎2‎+PB‎2‎-2⋅AP⋅PB⋅cos∠APB=‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎-2×2×3×cos‎120‎‎∘‎=19‎ 所以AB=‎‎19‎． 在‎△APB中，由正弦定理得ABsin∠APB‎=‎PBsin∠BAP， 所以sin∠BAP=‎3sin‎120‎‎∘‎‎19‎=‎‎3‎‎57‎‎38‎．……………… 19.（1）当时，是的二次函数，可设.依题意有，解得：，，，即.‎ 当时，，由，可得，即.‎ 综上可得……………………………7分 ‎（2）当时，，即当时，取得最大值12；‎ 当时，单调递减，可得，即当时，取得最大值3.‎ 综上可得，该新合金材料的含量为4时产品的性能达到最佳……………….5分 ‎20.解：（1）因为平面，平面，所以.‎ 因为，是的中点，‎ 所以. 1分 又，‎ 所以，从而. 2分 因为平面，且，‎ 所以四边形为直角梯形.‎ 又是的中点，，‎ 所以与均为等腰直角三角形，‎ 所以. 3分 设，则，‎ 所以. 4分 又，平面，‎ 所以平面. 5分 ‎（2）由（1）知.设的中点为，连接，‎ 则∥，从而.‎ 以为原点，分别为轴，轴，轴 正方向建立如图所示空间直角坐标系.‎ 由题意得，‎ ‎ 6分 则 7分 设平面的法向量为，‎ 由得 8分 令，得，‎ 所以为平面的一个法向量. 9分 因为平面，‎ 所以为平面的一个法向量. 10分 因为， 11分 且由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为 12分 ‎21解：（Ⅰ）由，‎ 得：， ………………1分 设函数，‎ 当时，即时，，，所以函数在上单调递增． ………………2分 当时，即时，令得，，， ………………3分 当时，即时，在上，，；‎ 在上，，．‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减．………………4分 当时，即时，在上，，，‎ 在上，，．‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增． ………………5分 综上，当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为． ………………6分 ‎（2）证明：函数有两个极值点，，且，‎ 有两个不同的正实根，，，即 欲证明，，即证明 …………8分 ‎，所以等价于证明成立.‎ ‎， ………………9分 设函数，，求导可得 ‎ 易得在上恒成立，即在上单调递增，‎ ‎，即在上恒成立 ………………11分 ‎∴函数有两个极值点，，且，． ………………12分 ‎22Ⅰ‎1‎‎∵‎圆C的极坐标方程为ρ‎2‎‎+12ρcosθ+11=0‎． x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ‎2‎‎=x‎2‎+‎y‎2‎， 圆C的直角坐标方程为x‎2‎‎+y‎2‎+12x+11=0‎， 化为圆的标准方程为‎(x+6‎)‎‎2‎+y‎2‎=25.‎ ………………5分 ‎2‎设直线l的参数方程为y=tsinαx=1+tcosα‎(t为参数‎)‎ 将l代入圆C的直角坐标方程‎(x+6‎)‎‎2‎+y‎2‎=25‎中， 化简得t‎2‎‎+14tcosα+24=0‎， 设A，B两点所对应的参数分别为t‎1‎，t‎2‎， 由韦达定理知t‎1‎‎+t‎2‎=-14cosα，t‎1‎t‎2‎‎=24‎， 由t‎1‎，t‎2‎同号    又‎∵PA=‎‎3‎‎4‎PB，‎∴t‎1‎=‎‎3‎‎4‎t‎2‎， 由‎①②‎可知t‎1‎‎=3‎‎2‎t‎2‎‎=4‎‎2‎或t‎1‎‎=-3‎‎2‎t‎2‎‎=-4‎‎2‎， ‎∴-14cosα=7‎‎2‎或‎-14cosθ=-7‎‎2‎，解得cosα=±‎‎2‎‎2‎， ‎∴k=tanα=±1‎， ‎∴l的普通方程为y=±x-1‎………………10分 ‎23.（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 所以解集为：. ………………5分 ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 所以的取值范围为：. ………………10分