八年级下数学课件《矩形及其性质》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.4 矩形 第1课时 矩形及其性质 1 u矩形及其对称性 u矩形的边角性质 u矩形的对角线性质 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ▱ ABC D A C 平行四 边形的 性质： 边 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 角 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补； 对角线 平行四边形的对角线互相平分； 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此 平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性 质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平 行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行 四边形——矩形. 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 1 矩形及其对称性 1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形 的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形. 矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？ 知1－讲 2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长 保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使 一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角 α由钝角先变成直角，再变成锐角. 知1－讲 在这个过程中： (1)这个四边形总是平行四边形吗？ (2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？ (3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？ 知1－讲 归 纳 知1－讲 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. （来自教材） 知1－讲 例1 [一题多解]如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交 点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝ 4，那么阴影部分的面积为________． 导引：由题意易得到△OEB≌ △OFD， 将阴影部分的面积转化为规则 的几何图形的面积进行计算． 3 知1－讲 方法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO， ∴阴影部分的面积为矩形面积的 . ∴S阴影部分＝S△ABO＝ ×3×4＝3. 方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝ ∠FDO. 在△OEB与△OFD中， ∴△OEB≌ △OFD. ∴S阴影部分＝S△ABO＝ S矩形ABCD＝ ×3×4＝3. EBO FDO OB OD EOB FOD ＝ ， ＝ ， ＝ ，       1 4 1 4 1 4 1 4 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对 称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积 求解．体现了转化思想． 知1－讲 知1－练 下列说法不正确的是(　　) A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 1 B 知1－练 【中考·菏泽】在▱ ABCD中，AB＝3，BC＝4， 连接AC，BD，当▱ ABCD的面积最大时，下列 结论正确的有(　　) ①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°； ③AC⊥BD；④AC＝BD. A．①②③　　 B．①②④ C．②③④　　 D．①③④ 2 B 2 矩形的边角性质 知2－导 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形 的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考 知2－导 (1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在 的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗?如果是，它 有几条对称轴？ (2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你 发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论． 归 纳 知2－导 矩形的四个角都是直角. 知2－讲 例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E， ∠DAE∶ ∠BAE＝3∶ 1，求∠BAO和 ∠EAO的度数． 由∠DAE与∠BAE之和为矩形 的一个内角及两角之比即可求 出∠DAE和∠BAE的度数，从 而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝ ∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝ ∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数． 导引： 知2－讲 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD. ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE∶ ∠BAE＝3∶ 1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°. ∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°. 1 2 1 2 解： 知2－讲 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形， 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决． 1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接 BE，CE. 求证：△EBC是等腰三角形. 知2－练 （来自教材） 在矩形ABCD中，AB＝CD， ∠A＝∠D＝90°， ∵E为AD的中点，∴AE＝DE， 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌ △DCE. ∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形． AB CD A D AE DE ＝ ， ＝ ， ＝ ，      解： 知2－练 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对 角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别 与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的 面积为________． 2 3 知2－练 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一 点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接 AO，下列结论中不正确的是(　　) A．△AOB≌ △BOC B．△BOC≌ △EOD C．△AOD≌ △EOD D．△AOD≌ △BOC 3 A 知2－练 【中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角 线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝ 3，BC＝10，则OB的长为(　　) A．5 B．4 C. D. 4 D 34 34 2 知2－练 【中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝ 4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE 交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为(　　) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 5 C 知2－练 【中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学 名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图 中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点， F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA. 若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(　　) A．7° B．21° C．23° D．24° 6 C 3知识点 矩形的对角线性质 知3－导 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们 的长．你有什么发现? 已知：如图所示，四边形ABCD是矩形． 求证：AC=DB． 知3－导 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)． ∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB． ∴△ABC≌ △DCB(SAS). ∴AC=DB． 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等. 归 纳 知3－导 矩形的对角线相等. 知3－讲 例4 如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长. （来自教材） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=OC=BO=OD. ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°. ∴∠AOB是等边三角形. ∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm), 即矩形ABCD对角线的长为8 cm. 解： 知3－讲 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的 对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可 得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形 的性质即可求解． 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 __________________________________________ ________________________________. 知3－练 1 ①矩形的四个内角都是直角； ②矩形的两条对角线相等 （来自教材） 如图，四边形ABCD为矩形，指 出图中相等的线段和角. 知3－练 2 （来自教材） 相等的线段：AB＝CD，AD＝BC， AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC， ∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC， ∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD， ∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB. 解： 已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC的 长. 知3－练 3 （来自教材） 如图，在矩形ABCD中， AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°. ∴AC＝ 2 2 2 24 5 41AB BC .    解： 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄 CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且 CE=EF. 求AE的长. 知3－练 4 （来自教材） 知3－练 （来自教材） 在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝ CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋ ∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 在△AEF和△DCE中， ∴△AEF≌ △DCE， ∴AE＝CD，设AE＝x，则CD＝x，AD＝x＋2. ∵矩形的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3. 即AE＝3. A D AEF DCE EF EC ＝ ， ＝ ， ＝ ，       解： 知3－练 （来自教材） 在矩形ABCD中， AB∥CD，AC＝BD， 因为AB∥CE，BE∥AC， 所以四边形ABEC是平行四边形． 所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线 于点E.求证：BD=BE. 5 证明： 知3－练 （来自教材） 已知：如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4， P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂 足分别为E，F.求PE+PF的值. 6 连接PO，在矩形ABCD中， AC＝BD＝ ＝5.OA＝OD＝ AC＝ BD＝ . S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA·PE＋ OD·PF＝ OA·(PE＋PF)＝ S△ADC＝ × AD·DC＝3. 故PE＋PF＝ . 2 2 2 23 4AB AD   1 2 1 2 5 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 212 5 解： 知3－练 （来自教材） 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD 的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F， 连接DF.求DF的长. 7 知3－练 （来自教材） 连接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E为CD的中点，所以 DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE. 在△ADE和△FCE中， 所以△ADE≌ △FCE， 所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF， 又因为DC⊥BF， 所以DF＝BD＝ ＝5. DAE CFE ADE FCE DE CE ＝ ， ＝ ， ＝ ，       2 2 2 23 4AB AD   解： 【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则 AB的长是(　　) A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 知3－练 8 A 9 【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与 BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝ DE＝2，则四边形OCED的面积为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 知3－练 3 3 2 3， A 10 【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是 6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距 离之和是(　　)　 A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 知3－练 A 1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相 等． 2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角 形．在解题的时候常用到等腰三角形的性质． 3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对 称轴． 1 矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分， 则这个矩形的面积为______________． 2 易错小结 4 cm2或12 cm2 易错点：对题意理解不透彻导致漏解 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！