【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第35讲　基本不等式学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第35讲　基本不等式学案

第35讲　基本不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解基本不等式的证明过程．‎ ‎2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ ‎2016·江苏卷，14‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，12‎ ‎2015·福建卷，6‎ 对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.‎ 分值：5分 ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：__a>0，b>0__.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式：‎ ‎(1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)．‎ ‎(2)＋≥__2__(a，b同号)．‎ ‎(3)ab≤2(a，b∈R)．‎ ‎(4)≥2(a，b∈R)．‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为____，基本不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则：‎ ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，x＋y有最__小__值是__2__(简记：积定和最小)；‎ ‎(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最__大__值是____(简记：和定积最大)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)‎ ‎(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)‎ ‎(3)x＞0，y＞0是＋≥2的充要条件．(　×　)‎ ‎(4)若a＞0，则a3＋的最小值为2.(　×　)‎ 解析 (1)错误．因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2.‎ ‎(2)错误．利用基本不等式时，等号不成立．‎ ‎(3)错误．不是充要条件，当x<0，y<0时也成立．‎ ‎(4)错误．最小值不是定值，故不正确．‎ ‎2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(　A　)‎ A．18　　 B．‎36　‎　‎ C．81　　 D．243‎ 解析 ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．‎ ‎3．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为(　A　)‎ A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)　　　　‎ B．(－∞，－4]‎ C．[4，＋∞)　　　　‎ D．[－4,4]‎ 解析 M＝＝a＋，当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4.‎ ‎4．若x＞1，则x＋的最小值为__5__.‎ 解析 x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．‎ ‎5．若x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为__2__.‎ 解析 由已知条件lg x＋lg y＝1，可知xy＝10.‎ 则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10.即x＝2，y＝5时等号成立．‎ 一　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的方法 ‎(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“‎1”‎的代换法等．‎ ‎(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．‎ ‎【例1】 (1)已知x＞0，y＞0，z＞0，‎ 求证：≥8.‎ ‎(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.‎ 证明 (1)∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，‎ ＋≥＞0，＋≥＞0，‎ ‎∴≥＝8，‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立．‎ ‎(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋ ‎＝3＋＋＋＋＋＋ ‎＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．‎ 二　利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值应注意的问题 ‎(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．‎ ‎【例2】 (1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎(2)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　C　)‎ A．1＋　　 B．1＋　　‎ C．3　　 D．4‎ 解析 (1)∵02，∴x－2>0，‎ ‎∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，‎ 即(x－2)2＝1时，等号成立，‎ ‎∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a＝3.‎ ‎【例3】 (1)(2018·山东烟台期末)已知正实数x，y满足＋＝1，若x＋2y>m2＋‎2m恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)‎ A．(－2,4)　　 B．(－4,2)‎ C．(－∞，2]∪[4，＋∞)　　 D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)‎ ‎(2)(2018·福建南平一模)已知x，y都是非负实数，且x＋y＝2，则的最小值为(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．1　　 D．2‎ ‎(3)(2018·河南许昌二模)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　C　)‎ A．24　　 B．‎32　‎　‎ C．20　　 D．28‎ 解析 (1)因为x>0，y>0，＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当 x＝4，y＝2时取等号，所以x＋2y的最小值是8.‎ 所以m2＋‎2m<8，解得－40恒成立，得k＋1<3x＋.‎ ‎∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.‎ ‎2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　B　)‎ A．60件　　 B．80件 C．100件　　 D．120件 解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．‎ ‎3．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是__2__.‎ 解析 因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.‎ ‎4．(2018·山东济宁二模)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为__8__.‎ 解析 由题意知，圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即x＋y＝2，又点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，所以a＋b＝2，则＋＝(a＋b)＝＝5＋·≥5＋×2＝8，所以＋的最小值为8.‎ 易错点　不会凑出常数 错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．‎ ‎【例1】 已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则λ的最小值为________.‎ 解析 由已知得λ≥恒成立．‎ ‎∵＝≤＝2，(当且仅当x＝2y时取等号)∴λ≥2，λ的最小值为2.‎ 答案 2‎ ‎【跟踪训练1】 已知x为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值．‎ 解析 因为x>0，‎ 所以x·＝≤.‎ 又x2＋＝＋＝.‎ 所以x≤＝，当且仅当x2＝＋，‎ 即x＝时，等号成立．故(x)max＝.‎ 课时达标　第35讲 ‎[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．‎ 一、选择题 ‎1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　C　)‎ A．最大值为0　　 B．最小值为0‎ C．最大值为－4　　 D．最小值为－4‎ 解析 ∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，取等号．‎ ‎2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　C　)‎ A．a＋b≥2 B．＋> C．＋≥2 D．a2＋b2>2ab 解析 ∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎3．若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，则a＋b的最小值为(　C　)‎ A．　　 B．4‎ C．2　　 D．2 解析 ∵a≥0，b≥0，∴a＋2b≥0，又∵a(a＋2b)＝4，‎ ‎∴4＝a(a＋2b)≤，当且仅当a＝a＋2b＝2时等号成立．‎ ‎∴(a＋b)2≥4，∴a＋b≥2.‎ ‎4．函数y＝^(x>1)的最小值是(　A　)‎ A．2＋2　　 B．2－2‎ C．2　　 D．2‎ 解析 ∵x＞1，∴x－1＞0.‎ ‎∴y＝＝＝ ‎＝＝x－1＋＋2‎ ‎≥2＋2＝2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．‎ ‎5．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　B　)‎ A．1　　 B． C．9　　 D．16‎ 解析 ＋＝·＝×≥(5＋2)＝，当且仅当＝，b＋1＝2(a＋1)时取等号，故选B．‎ ‎6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0)图象上的点，则x＋y的最小值为__2__.‎ 解析 因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．‎ ‎8．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__.‎ 解析 由已知得＝1，则＝＋＝·＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．‎ ‎9．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为__2__.‎ 解析 由≤得＋≤＝＝2，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号．‎ 三、解答题 ‎10．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；‎ ‎(2)设00，‎ ‎∴y＝(2x－3)＋＋ ‎＝－＋ ‎≤－·2＋＝－4＋＝－，‎ 当且仅当3－2x＝，即x＝－时，ymax＝－.‎ ‎∴函数y的最大值为－.‎ ‎(2)∵00，‎ ‎∴y＝＝≤＝，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，ymax ‎＝.‎ ‎11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解析 (1)∵x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0，‎ ‎∴xy＝2x＋8y≥2＝8，‎ ‎∴(－8)≥0，又≥0，∴≥8即xy≥64.‎ 当且仅当x＝4y即8y＋8y－4y2＝0时，即y＝4，x＝16时取等号，‎ ‎∴xy的最小值为64.‎ ‎(2)∵2x＋8y＝xy>0，∴＋＝1，‎ ‎∴x＋y＝(x＋y) ‎＝10＋＋≥10＋2＝18.‎ 当且仅当＝，即x＝2y即4y＋8y－2y2＝0时，即y＝6，x＝12时取等号，∴x＋y的最小值为18.‎ ‎12．某地需要修建一条大型输油管道通过‎240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．‎ ‎(1)试将y表示成x的函数；‎ ‎(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？‎ 解析 (1)设需要修建k个增压站，‎ 则(k＋1)x＝240，即k＝－1，‎ 所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)‎ ‎＝400·＋(x2＋x)‎ ‎＝＋240x－160.‎ 因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x＜240.‎ 故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0＜x＜240)．‎ ‎(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当 ‎＝240x，即x＝20时等号成立，‎ 此时k＝－1＝－1＝11.‎ 故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．‎