2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二5月考数学试题（Word版）

2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二5月考数学试题（Word版）

‎2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二5月考数学试卷 命题 茹卫明 审核 石生润 本试卷有卷I和卷II组成，卷I为《数学选修2—2》的模块考卷，分值100分；卷II为加试部分，分值50分，总分150分。‎ 卷I 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1．“a＝‎0”‎是“复数z＝a＋bi为纯虚数”的 (　 　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝(　　)‎ A．18 B．‎29 C．47 D．76‎ ‎4．证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间式子等于 (　 　)‎ A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ ‎5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)‎ A．a‎1a2a3…a9＝29　B．a1＋a2＋…＋a9＝‎29 C．a‎1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9‎ ‎6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°‎ C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎7．复数 在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )‎ A．(-1，6) B．(－∞，1) C．(4,6) D．(1，＋∞)‎ ‎8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间(-3,-1)内单调递增；②当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间内单调递增；④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．‎ 则上述判断中正确的是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．③‎ ‎9．设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则= ( )‎ A． B．‎6 C． D． ‎10．设函数f(x)＝xex，则(　　)‎ A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为____________．‎ ‎12．复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部是________．‎ ‎13．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________. ‎ ‎14．已知f(x)＝sin x＋cos x，则f′(p)＝________．‎ ‎15．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．‎ 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）求经过点A（1,3）的曲线的切线方程.‎ ‎17．用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.‎ ‎18．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－1，f′(－1)＝0.‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，求b的取值范围．‎ 卷II 一、选择题（每小题5分，共10分）‎ ‎1．已知A,B分别是复数在复平面内对应的点，O是原点，若，则一定是( )‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎2．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A. 0 B. ‎1 C. D.3 ‎ 二、填空题（每小题6分，共12分）：‎ ‎3．设函数f（x）=，f（2）= ，若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是 。‎ ‎4．某空间几何体的三视图(单位：cm),如图所示，‎ 则此几何体侧视图的面积为______，‎ 此几何体的体积为________.‎ 三、解答题：本大题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎5.已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若的面积为，求 6. 在四棱锥中，底面为菱形,‎ 且，，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： ‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成的角的正弦值． ‎ ‎ 杭西高2018年5月考高二数学参考答案 卷I 一、 选择题（每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B B B D D B C D A D 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎11．a>b ； 12． ； 13．3 ； 14． -1 ； 15．m≥ ．‎ 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）求经过点A（1,3）的曲线的切线方程.‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ 可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3﹣2+1=2，切点为（1，3），‎ 即有曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为2x﹣y+1=0； ‎ 由切线经过点（1，3），可得3﹣（m3﹣m2+m+2）=（‎3m2‎﹣‎2m+1）（1﹣m），‎ 化为m（m﹣1）2=0，解得m=0或1．‎ 则切线的方程为y﹣2=x或y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为y=x+2或y=2x+1．‎ ‎17．用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.‎ 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；‎ 那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k ‎＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，‎ 即当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．[]‎ ‎18．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－1，f′(－1)＝0.‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，求b的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）因为f′(x)＝ax2＋2x－‎2a，因为f′(－1)＝0，‎ 所以a＝－2.所以f′(x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x2－x－2)＝－2(x＋1)(x－2)．‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2.随着x的变化，f′(x)和f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 即f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）因为对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，‎ 即bx＋3≥－x3＋x2＋4x－1，‎ 所以b≤－x2＋x＋4－.‎ 设h(x)＝－x2＋x＋4－.‎ 则h′(x)＝－x＋1＋，‎ 因为x∈[－2,0)，所以－x>0，>0.‎ 所以h′(x)>0.‎ 所以h(x)在[－2,0)上单调递增．所以hmin(x)＝h(－2)＝.即b≤.故b的取值范围为.‎ 卷II 一、选择题（每小题5分，共10分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ 答案 C D 二、填空题（每小题6分，共12分）：‎ ‎3．， 4． ； ‎ 三、解答题：本大题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎5.已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若的面积为，求 解：（Ⅰ）由及正弦定理得.‎ 由于，则有， 所以. 又，故. （Ⅱ）的面积 而，故. 解得. 在四棱锥中，底面为菱形,[来源:.且，，是的中点. （Ⅰ）求证： ‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成的角的正弦值． ‎ ‎（答题时请超出密封线）‎ 试题解析;‎ ‎（Ⅰ）连，交于点，连接 ‎ ‎∵底面为菱形 ∴为中点，又∵是的中点 ‎∴是△的中位线，∴‎ 又∵∴‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz ‎ ‎ ‎（略写）求得平面PBC的法向量， ‎ ‎∴‎ ‎ ∴直线和平面所成的角的正弦值为 说明：用其他方法也酌情给分。‎