高考文科数学复习：夯基提能作业本 (23)

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第三节　三角函数的图象与性质 A组　基础题组 ‎1.函数y=tanπ‎4‎‎-x的定义域是(　　)‎ A.‎x|x≠π‎4‎,x∈R B.‎x|x≠-π‎4‎,x∈R C.‎x|x≠kπ-‎3π‎4‎,k∈Z,x∈R D.‎x|x≠kπ+‎3π‎4‎,k∈Z,x∈R ‎2.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos‎2x+‎π‎6‎,④y=tan‎2x-‎π‎4‎中,最小正周期为π的函数为(　　)‎ A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③‎ ‎3.(2016陕西西安模拟)函数y=2sinπx‎6‎‎-‎π‎3‎(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A.2-‎3‎ B.0 C.-1 D.-1-‎‎3‎ ‎4.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间π‎2‎‎,‎‎3π‎2‎内的图象是(　　)‎ ‎5.若函数f(x)=sinx+‎π‎3‎(x∈R),则f(x)(　　)‎ A.在区间‎-π,-‎π‎2‎上是减函数 B.在区间‎2π‎3‎‎,‎‎7π‎6‎上是增函数 C.在区间π‎8‎‎,‎π‎4‎上是增函数 D.在区间π‎3‎‎,‎‎5π‎6‎上是减函数 ‎6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤fπ‎3‎成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)‎ A.‎-‎2π‎3‎,0‎ B.‎-π‎3‎,0‎ C.‎2π‎3‎‎,0‎ D.‎‎5π‎3‎‎,0‎ ‎7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有fπ‎6‎‎+x=fπ‎6‎‎-x,则fπ‎6‎的值为　　　　. ‎ ‎8.若函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,且|φ|<‎π‎2‎在区间π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎上是单调减函数,且函数值从1减小到-1,则fπ‎4‎=　　　　. ‎ ‎9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<‎‎2π‎3‎的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点π‎6‎‎,‎‎3‎‎2‎,求f(x)的单调递增区间.‎ ‎10.设函数f(x)=sin2ωx+2‎3‎sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称.其中ω,λ为常数,且ω∈‎1‎‎2‎‎,1‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若y=f(x)的图象经过点π‎4‎‎,0‎,求函数f(x)的值域.‎ B组　提升题组 ‎11.若函数f(x)=sinωx+‎π‎6‎(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π‎2‎,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈‎0,‎π‎2‎,则x0=(　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎6‎ ‎12.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若π‎5‎‎,‎‎5π‎8‎是f(x)的一个单调递增区间,则φ的取值范围为(　　)‎ A.‎-‎9π‎10‎,-‎‎3π‎10‎ B.‎2π‎5‎‎,‎‎9π‎10‎ C.π‎10‎‎,‎π‎4‎ D.‎-π,‎π‎10‎∪‎π‎4‎‎,π ‎13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)‎ C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)‎ ‎14.设函数f(x)=3sinπ‎2‎x+‎π‎4‎,若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为　　　　. ‎ ‎15.(2016黑龙江大庆一中月考)已知函数f(x)=cos‎3x+‎π‎3‎,其中x∈π‎6‎‎,mm∈R且m>‎π‎6‎,若f(x)的值域是‎-1,-‎‎3‎‎2‎,则m的最大值是　　　　. ‎ ‎16.已知函数f(x)=a‎2cos‎2‎x‎2‎+sinx+b.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　y=tanπ‎4‎‎-x=-tanx-‎π‎4‎,‎ ‎∴x-π‎4‎≠π‎2‎+kπ,k∈Z,即x≠‎3‎‎4‎π+kπ,k∈Z.‎ ‎2.A　①y=cos|2x|的最小正周期为π;②y=|cos x|的最小正周期为π;③y=cos‎2x+‎π‎6‎的最小正周期为π;④y=tan‎2x-‎π‎4‎的最小正周期为π‎2‎,所以最小正周期为π的函数为①②③,故选A.‎ ‎3.A　∵0≤x≤9,∴-π‎3‎≤π‎6‎x-π‎3‎≤‎7π‎6‎,‎ ‎∴sinπ‎6‎x-‎π‎3‎∈‎-‎3‎‎2‎,1‎,‎ ‎∴y∈[-‎3‎,2],∴ymax+ymin=2-‎3‎.‎ ‎4.D　y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=‎2tanx,x∈π‎2‎‎,π,‎‎2sinx,x∈π,‎‎3π‎2‎,‎故选D.‎ ‎5.B　当‎2π‎3‎≤x≤‎7π‎6‎时,‎2π‎3‎+π‎3‎≤x+π‎3‎≤‎7π‎6‎+π‎3‎,即π≤x+π‎3‎≤‎3π‎2‎,此时函数y=sinx+‎π‎3‎单调递减且y≤0,所以f(x)=sinx+‎π‎3‎在区间‎2π‎3‎‎,‎‎7π‎6‎上是增函数,故选B.‎ ‎6.A　由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=‎1‎‎2‎.因为∀x∈R,f(x)≤fπ‎3‎恒成立,所以f(x)max=fπ‎3‎,即‎1‎‎2‎×π‎3‎+φ=π‎2‎+2kπ(k∈Z),φ=2kπ+π‎3‎(k∈Z),由|φ|<π‎2‎,得φ=π‎3‎,故f(x)=sin‎1‎‎2‎x+‎π‎3‎.‎ 令‎1‎‎2‎x+π‎3‎=kπ(k∈Z),得x=2kπ-‎2π‎3‎(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为‎2kπ-‎2π‎3‎,0‎(k∈Z),当k=0时, f(x)图象的对称中心为‎-‎2π‎3‎,0‎,故选A.‎ ‎7.答案　2或-2‎ 解析　∵fπ‎6‎‎+x=fπ‎6‎‎-x,‎ ‎∴直线x=π‎6‎是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴,‎ ‎∴fπ‎6‎=±2.‎ ‎8.答案　‎‎3‎‎2‎ 解析　由题意得函数f(x)的周期T=2×‎2π‎3‎‎-‎π‎6‎=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),将点π‎6‎‎,1‎代入上式得sinπ‎3‎‎+φ=1,结合|φ|<π‎2‎,可得φ=π‎6‎,所以f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,于是fπ‎4‎=sinπ‎2‎‎+‎π‎6‎=cos π‎6‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎9.解析　由f(x)的最小正周期为π,得T=‎2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时, f(x)=f(-x),‎ 即sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),‎ 展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知可知,∀x∈R上式都成立,‎ ‎∴cos φ=0.∵0<φ<‎2π‎3‎,∴φ=π‎2‎.‎ ‎(2)∵f(x)的图象过点π‎6‎‎,‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴sin‎2×π‎6‎+φ=‎3‎‎2‎,‎ 即sinπ‎3‎‎+φ=‎3‎‎2‎.‎ 又∵0<φ<‎2π‎3‎,∴π‎3‎<π‎3‎+φ<π,‎ ‎∴π‎3‎+φ=‎2π‎3‎,φ=π‎3‎,∴f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+π‎12‎,k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎,k∈Z.‎ ‎10.解析　(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2‎3‎sin ωx·cos ωx+λ ‎=-cos 2ωx+‎3‎sin 2ωx+λ ‎=2sin‎2ωx-‎π‎6‎+λ.‎ 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,‎ 可得sin‎2ωπ-‎π‎6‎=±1,‎ 所以2ωπ-π‎6‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),即ω=k‎2‎+‎1‎‎3‎(k∈Z).‎ 又ω∈‎1‎‎2‎‎,1‎,所以k=1,ω=‎5‎‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是‎6π‎5‎.‎ ‎(2)由y=f(x)的图象过点π‎4‎‎,0‎,得fπ‎4‎=0,‎ 即λ=-2sin‎5‎‎6‎‎×π‎2‎-‎π‎6‎ ‎=-2sinπ‎4‎=-‎2‎,‎ 即λ=-‎2‎.‎ 故f(x)=2sin‎5‎‎3‎x-‎π‎6‎-‎2‎,‎ 函数f(x)的值域为[-2-‎2‎,2-‎2‎].‎ B组　提升题组 ‎11.A　由题意得T‎2‎=π‎2‎,T=π,则ω=2.又由题意得2x0+π‎6‎=kπ(k∈Z),则x0=kπ‎2‎-π‎12‎(k∈Z),而x0∈‎0,‎π‎2‎,所以x0=‎5π‎12‎.‎ ‎12.C　令2kπ+π‎2‎≤2x+φ≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,得kπ+π‎4‎-φ‎2‎≤x≤kπ+‎3π‎4‎-φ‎2‎,k∈Z,又π‎5‎‎,‎‎5π‎8‎是f(x)的一个单调递增区间,所以‎5π‎8‎≤kπ+‎3π‎4‎-φ‎2‎,且π‎5‎≥kπ+π‎4‎-φ‎2‎,k∈Z,解得π‎10‎+2kπ≤φ≤π‎4‎+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以π‎10‎≤φ≤π‎4‎.‎ ‎13.A　∵ω>0,∴T=‎2πω=π,∴ω=2.又A>0,‎ ‎∴f‎2π‎3‎=-A,即sin‎4π‎3‎‎+φ=-1,得φ+‎4π‎3‎=2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,即φ=2kπ+π‎6‎,k∈Z,‎ 又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin‎2x+‎π‎6‎,‎ ‎∴f(2)=Asin‎4+‎π‎6‎, f(-2)=Asin‎-4+‎π‎6‎, f(0)=Asinπ‎6‎.∵π<4+π‎6‎<‎3π‎2‎,∴f(2)<0.∵-‎7π‎6‎<-4+π‎6‎<-π,且y=sin x在‎-‎7π‎6‎,-π上为减函数,‎ ‎∴sin‎-4+‎π‎6‎sin(-π)=0,从而有00时,‎2‎a+a+b=8,‎b=5,‎∴a=3‎2‎-3,b=5.‎ ‎②当a<0时,b=8,‎‎2‎a+a+b=5,‎∴a=3-3‎2‎,b=8.‎ 综上所述,a=3‎2‎-3,b=5或a=3-3‎2‎,b=8.‎