2018-2019学年湖南省浏阳、株洲等湘东六校高二下学期期末联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖南省浏阳、株洲等湘东六校高二下学期期末联考数学（文）试题（解析版）

机密 ★ 启用前 湖南省湘东六校 2019 年上学期高二期末联考 理科数学试题 分值：150 分 时量：120 分钟 考试时间：2019 年 7 月 2 日 由醴陵市一中·浏阳市一中·株洲市二中·株洲市八中·株洲市四中·攸县一中 联合命题 姓名：___________________ 考号：____________________ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。 一、选择题（每题 5 分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．已知集合 ，则 A． B． C． D． 2． 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 A．-1 B．0 C．1 D．0 或 1 3．“m＞2”是“ 表示双曲线”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 i ( )( )1 i 1 im+ + m = A 1 2 3 4 5 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到 组数据 ， ， ， ， ， .根据收集到的数据可知 ，由最小二乘法求得回归直线方程为 ，则 A． B． C． D． 5．已知向量 =（4,2）， - =（1,-2），则 在 方向上的投影为 A．2 B．3 C．4 D．5 6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称 数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思 想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这 样一个整除问题：将 到 这 个整数中能被 除余 且被 除余 的数按从小到大的顺序排成一列，构 成数列 ，那么此数列的项数为 A．58 B．59 C．60 D．61 7．已知 f(x)=2x-sinx， ，若 ，则 m 的值为 A． B．-2 C．1 D．-2 或 1 8．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若 α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β； ②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β； ③若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β； ④若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β. 其中正确命题的个数有 A．1 B． 2 C．3 D．4 9．小球 在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下底面的某个出口落出，则一次投放小球，从 “出口 3”落出的概率为 A． B． C． D． 10．已知过点 作曲线 的切线有且仅有 1 条，则实数 的取值是 A． 0 B．4 C．0 或-4 D．0 或 4 A 1 5 1 4 3 16 3 8 a a b a b 1− 11．设 F2 是双曲线 的右焦点，O 为坐标原点，过 F2 的直线交双曲线的右支 于点 P，N，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M，若|MF2|＝3|PF2|，且 ∠MF2N＝60°，则双曲线 C 的离心率为 A．3 B．2 C． D． 12．已知函数 ， ，若存在实数 ，使得 成立，则 实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 13．若 的二项展开式的各项系数之和为 729，则该展开式中常数项的值为________． 14．已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，点 在所给平面区域内，则 的最大 值为_____. 15．三棱锥 P-ABC 中，AB⊥AC,PA⊥平面 ABC，PA=3，AB=4，AC=5，则三棱锥 P-ABC 外接球的表面积为 . 16．已知函数 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，则 __________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题满分 10 分 ）在 中， 、 、分别是角 、 、 的对边，且 . （1）求角 的值； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围. 18．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ，且 ， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 19．（本题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ． 20．（本题满分 12 分）已知点 ，直线 ， 为平面上的动点，过点 作直线的垂线，垂足为 ， 且 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 的直线交抛物线于 两点，当 时，求直线的方程. 21．（本题满分 12 分）在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学 2018 年已就业的 A、B 两个专业的大 学本科毕业生中随机抽取了 200 人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在 3000 元到 9000 元之间，具体统计数据如下表： 月薪（百元） [30,40 ) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 人数 20 36 44 50 40 10 将月薪不低于 7000 元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校 2018 届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为 3500 元． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 2×2 列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不 超过 0.025 的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关? 非高薪收入群体 高薪收入群体 合计 A 专业 B 专业 20 110 合计 （2）经统计发现，该大学 2018 届的大学本科毕业生月薪 X(单位：百元)近似地服从正态分布 N( ，196)， 其中 近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)．若 X 落在区间( )的左侧，则可认为该 大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供 更好的指导。 ①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生； ②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于 的获赠两次 随机话费，月薪不低于 的获赠一次随机话费，每次赠送的话费 Z 及对应的概率分别为： 则李阳预期获得的话费为多少元? 附： ，其中， ． P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．（本题满分 12 分 ）已知函数 (e 为自然对数的底数)． （1）求函数 的值域； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 k 的取值范围； 湖南省湘东六校 2019 年上学期高二期末考试 数学（ 文 科） 分值：150 分 时量：120 分钟 考试时间：2019 年 07 月 月 2 日 由醴陵一中 浏阳市一中 株洲市二中 株洲市八中 株洲市四中 攸县一中联合命题 姓名： 考号： 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．设 U＝{1，2，5，7，9}，A＝{1，2，5}，B＝{2，5，7}，则下列结论中正确的是（　　） A．A⊆B B．A∩B＝{2} C．A∪B＝{1，2，5，7，9} D．A∩∁UB＝{1} 【答案】D． 【解析】解：∵∁UB＝{1，7}，A＝{1，2，5}，∴A∩∁UB＝{1}故选：D． 2．已知 为虚数单位,复数 ,则 的实部与虚部之差为(　　) A． 1 B．0 C．-2 D．2 【答案】B 【解析】： 【答案】A 【解析】 i 1z i= + z ..- 0111 故答案为，虚部为实部为∴−= iz ( )=42603 cos. 2 3 2 1 2 3 2 1 −− .... DCBA 2 16060360300300113604260 ==−==+×=  cos)cos(cos)cos(cos 4.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（　　） A. B. C. 11.25% D. 【答案】B 【解析】 由图 1，图 2 可知：该学期的水电费开支占总开支的百分比为 ×20%=16.25%， 故选：B． 【答案】C 【解析】由于 c>1,0>>>>>>> .... ,a c b c⊥ ⊥ / /a b 450 002516 /. 150450200 450200 ++ + 【解析】若 则 a 与 b 可能平行，相交，异面，所以,A 假;若直线在平面内,则在平面内必可作出 其垂线,若直线在平面外,作出直线在平面内的射影,在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线,B 真;设 当 a,b 与平面 α 所成的角都为 45°,则 a∥b,a⊥b 都有可能,C,D 均为假,故选 B. 7．曲线 在点 处的切线的倾斜角为(　　)． A．－135° B．135° C．45° D．－45° 【答案】B 【解析】 因此，倾斜角为 135°.答案 B 8. 已知向量 ＝（1，﹣3）， ＝（3，m），若 ⊥ ，则|2 + |等于（　　） A．10 B．16 C． D．4 【答案】B 【解析】解：∵ ⊥ ，∴ • ＝3﹣3m＝0，解得 m＝1． ∴2 + ＝（5，﹣5），则|2 + |＝ ．故选：C． 9．要得到函数 y＝sin（2x+ ）的图象，只需将函数 y＝cos（2x﹣ ）的图象上所有点（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】：D 【解析】：函数 y＝cos（2x- ） ＝cos(-2x+ ）＝sin(2x+ )=sin[2（x+ ）+ ]， ∴要得到函数 y＝sin（2x+ ）的图象， ,a c b c⊥ ⊥ 3 21 5( ) 43 3f x x x= − − ( )3, (3)f ' 2 '10( ) , = (3) 13f x x x k f= − ∴ = −切 25 252525 =+ 9 π 9 π 18 5π 18 5π 36 5π 36 5π 9 π 9 π 18 7π 36 5π 9 π 9 π 只需将函数 y＝cos（2x﹣ ）的图象上所有点向右平移 个单位长度．故选：D． 10．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，排除 B，C， 11.设双曲线 C: (a,b>0)的一条渐近线与抛物线 y2=x 的一个交点为 A,若点 A 到直线 的 距离大于 ，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.(1, ) C.( ,+∞) D. 【答案】抛物线的性质与求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围得综合 【解析】联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程,消去 y 得 x2=x, 由 x0> 知 <2,即 <2,故 e2<3.又 e>1,所以 1∴>− 2 2 2 2 1x y a b − = 1 4x = − 3 4 2 0 2 ax b ∴ = 12．设数列{an}满足 a1＝2，a2＝6，且 an+2﹣2an+1+an＝2，若[x]表示不超过 x 的最大整数，（例如 ）则 ＝（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【解析】解：∵an+2﹣2an+1+an＝2，∴an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2， a2﹣a1＝4． ∴{an+1﹣an}是等差数列，首项为 4，公差为 2． ∴an+1﹣an＝4+2（n﹣1）＝2n+2． ∴n≥2 时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1 ＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2＝ ＝n（n+1）． ∴ ＝ ．∴ ＝ ＝1． ∴ ＝2+2017＝2019． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.） 13．已知函数 f（x）＝ ，则 f（f （1））的值为 【答案】1 【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f（x）＝ ， [ ] [ ] 261161 −=−= .,.    ++   +    2018 2 2 2 1 2 201932 aaa     ++   +    2018 2 2 2 1 2 201932 aaa     ≤ > 0192 0 x x x x ,. ,logπ    ≤ > 0192 0 x x x x ,. ,logπ ∴f（1）＝0， f（f （1））＝f（0）＝1 14.在等差数列 中, 则数列{an}的前 9 项之和等于 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】90 【解析】.由 得首项为 2，d=2,故 S9=9a1+ ×d=90. 【答案】 【解析】 16．在四面体 中， ， ，，当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积 为 【答案】外接球的问题 【解析】∵ ,该三角形的外接圆半径径为 ， 当 平面 时，四面体 的体积取最大值， 此时，其外接球的半径为 ， 因此，四面体 的外接球的表面积为 ． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的 制定区域内. 17.（本题 10 分）新高考 最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、 生物、政治、历史、地理这 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全文（选择 222±=t { }na 1 6 2 50, 14, 40,d a a a a> + = =公差 1 6 2 50, 14, 40,d a a a a> + = =公差 值为 的相切，则实数：与圆若直线 tyxyxCtyxl 0961612015 22 =+−−+=+−:. ( ) ( ) ( ) 2222222 086486 22 ±=∴=−= =+−=−+− td tyxyxC t, ,: 故 的距离为到直线故圆心由题意知：圆 ABCD 2AD = 3AB BC CA= = = ABCD 3AB BC CA= = = 3r = AD ⊥ ABC ABCD 2 2 23 1R = + = ABCD 24π 4π 4 16πR = × = 3 3+ 6 政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的 1000 名学生中随机抽取男生，女生各 人进行模拟选科．经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少 人． 选择全文 不选择全文 全计 男生 5 女生 合计 （1）估计在男生中，选择全文的概率. （2）请完成下面的 列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由； 附： ，其中 ． 【解析】 （1）由题中数据可知，男生总共 25 人，选择全文的 5 人，故选择全文的概率为 ………………………4 分 选择全文 不选择全文 全计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 25 10 2 2× ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −= dcban +++= .5 1 25 5 ==p 因为 ，所以至少有 99.5%的把握认为选择全文与性别有 关。………………………10 分 18.（本题 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ，，数列 为等比数列， ． （Ⅰ）求数列 、 的通项公式； （Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和为 ． 【解析】：（1） …………………………3 分 由题意得 ， 故 ……………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由(Ⅰ)，可求得 ………………………………………9 分 ………………………………12 分 879.7333.83 25 30202525 )2015105(50 2 2 >≈=××× ×−×=K { }na n nS 21 3 2 2ns n n= +且 { }nb 1 1 3 2 12, ,b a b a a= 且 是 的等差中项 { }na { }nb 2 1 n n n bc a a + = ⋅ { }nc n nT 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 n n n n a s n a s s n n − = = = ≥ = − = + = ） 时， ） 时， 时也符合此式 1na n∴ = + 1 1 3 3 2 2, 8..........................52 3 13 b bb = ∴ = = = + b 分 2n nb = 2 1 4 1 14( )( 1)( 2) 1 2n n n bc a a n n n n+ = = = −⋅ + + + + 1 1 24( )2 2 2n nT n n ∴ = − =+ + 19.（本题 12 分）在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ,（1） 求 的值， (2)若 a=3， ，求 的面积. 【解析】（1）由 ，由正弦定理得 sinB(1-cosA)=3sinAcosB,………………2 分 化简得 sinB=3sinC, 又 ……………4 分 所以 ……………………6 分 （2）由 b=3c,且 ，解得 b=3,c=1,……………………8 分 又由 cosA= ，可解得 ……………………10 分 所以 ……………………12 分 20.（本题 12 分）如图，在直三棱柱 中，D 为 AC 的中点. （1）求证： （2）若 ,求 所成角的正弦值. ABC∆ BaAb cos3)cos31( =− c b 6 1cos =A ABC∆ BaAb cos3)cos31( =− C B c b sin sin= 3= c b bccb 3 19 22 −+= 6 1 6 35sin =A 4 35 6 35312 1 =×××=∆ABCs 111 CBAABC − DBCAB 11 面// 21 π=∠== ABCBBBCAB , DBCCC 11与面 证明：（1 ）连接 交 于点 O ，连接 DO -----------------1 分 则 O 为 的中点，又 D 为 AC 的中点 (2)连接 BD，过点 C 作 CH 交 与点 H, 由于三棱柱 为直三棱柱故 21、（本题 12 分）已知动点 G(x,y)满足 （1）求动点 G 的轨迹 C 的方程； （2）过点 Q(1,1)作直线 L 与曲线 交于不同的两点 ,且线段 中点恰好为 Q.求 的面积； 【解析】（1）由动点 G(x,y)满足 可知，动点 G 的轨迹是以（－1，0） 和（1，0）为焦点，长轴长为 4 的椭圆，其方程为 ……………4 分 CB1 1BC CB1 .// .,// DBCAB DBCABDBCODABOD 11 1111 面故 面面又 ⊄⊂∴ DC1⊥ DC1 111 CBAABC − . , , , , 所成的角与平面为 内的射影，故在平面为 面又 故面面 面、又 的中点为又 故面面 DBCCCDCC DBCCCHC DBCCHDCCH CHBDACCCHACCBD ACCACCCCACCC ACBDACDBCAB BDCCABCBDABCCC 111 111 11 11 111 11 ∠ ∴ ⊥∴⊥ ⊥⊂⊥∴ ⊂= ⊥∴= ⊥⊂⊥  .sin ,, 3 3 6 2 622 1 1 1 ===∠∴ === a a DC CDDCC aDCaCDaAB 则设 411 2222 =+−+++ yxyx )()( C ,A B AB OAB∆ 411 2222 =+−+++ yxyx )()( 134 22 =+ yx ------------6 分 ---------------9 分 ---------------12 分 ------------5 分 （2）由于直线 L 与曲线 C 相交所得线段 中点恰好为 Q（1， 1）可知，直线 L 的斜率一定存在，设直线 L 的方程为 y-1=k(x-1)，联立 ，消去 y 可得 ， 所以 ，……………………6 分 又线段 AB 中点的横坐标为 1， ，解得 ，……………………7 分 ，……………………8 分 直线 L 的方程为 3x+4y-7=0,……………………9 分 弦长 ……………………10 分 原点到直线 L 的距离为 ，……………………11 分 ……………………12 分 AB    −=− =+ )1(1 134 22 xky yx 0)884()88()34( 2222 =−−+−−+ kkxkkxk      + −−= + −=+ 34 884 34 88 2 2 21 2 2 21 k kkxx k kkxx ∴ 234 88 2 2 21 =+ −=+ k kkxx 4 3−=k    = =+ ∴ 21 1 2 21 21 xx xx 21 1055)21 144)(16 91(|| =×−+=AB 5 7=d 6 105 5 7 21 1055 2 1 =××=∴ ∆ABCS ( ) ( ) ( ) ( ) .)ln( .)()( sin)(. 有且仅有一个零点，在）证明：（ 的极值，在求函数 已知分本题      ∞++−= ⋅= 212 01 1222 π π xe xfxg xf xexf x x （2）当 x∈（ ，π）时，cosx＜0，﹣ ＜0，于是 f′（x）＝cosx﹣ ＜0，f（x）单调递减，其 中 f（ ）＝1﹣ln（1+ ）＞1﹣ln（1+ ）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0， f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0． 由函数零点存在性定理可知，f（x）在（ ，π）上有且只有一个零点 x1.………9 分 当 x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数 f（x）在 [π， +∞）上无零点．……………11 分 综上，f（x）有且仅有 1 个零点．……………12 分 ( ) 分无极小值故 递减，，递增，在，在 分得令 得令 分故又得令 分【解析】 极大值 62 2 4 3 4 3 4 30 44 30 4 300 34 304 30 2421 4 3     .,)()( )( ,)( ,)( ,,)( sin)cos(sincossin)()( ππ πππ ππ π ππππ π efxf xf xxf xxf xxkxxf xexxexexexf xxxx ==         ∴ <<<′ <<>′ =∈+==′      +=+=⋅+⋅=′