【数学】云南省曲靖二中2020届高三适应性考试试题(理)

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【数学】云南省曲靖二中2020届高三适应性考试试题(理)

云南省曲靖二中2020届高三适应性考试数学试题(理)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项符合要求.)‎ ‎1.已知集合,则的真子集的个数为( )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎2.设是虚数单位,若复数是实数,则的值为( )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎3. 命题“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.已知,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设变量满足约束条件 ,则目标函数的最大值为( )‎ A.3 B.4 C.18 D.40‎ ‎6.已知双曲线的焦距为,且渐近线经过点,则此双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知为不共线的两个单位向量,且在上的投影为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”。已知某 ‎“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题,他们说,他们下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金700法郎,赌了半天,甲赢了4局,乙赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占,每局输赢相互独立,那么这700法郎如何分配比较合理( )‎ A.甲400法郎,乙300法郎 B.甲500法郎,乙200法郎 C.甲525法郎,乙175法郎 D.甲350法郎,乙350法郎 ‎10.已知函数.则关于它有关性质的说法中不正确的是( )‎ A.周期为 ‎ B.将其图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称 C.对称中心为()‎ D.上单调递减 ‎11.已知函数 ,则的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.上,下两面为平行矩形的六面体有外接球,且,,,,平面与平面间的距离为,则该六面体外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.‎ ‎14.设常数,若的二项展开式中第二项的系数为,则_______.‎ ‎15.直线过抛物线的焦点,交抛物线于点(点在轴上方),过点作直线的垂线,垂足为,若垂足恰好在线段的垂直平分线上,则直线的斜率为_______.‎ ‎16.是等边三角形,点D在边的延长线上,且,,则______;______.‎ 三、 解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)‎ ‎17.(本小题满分12分)为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?‎ ‎(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?‎ 参考公式: ,其中. ‎ 参考数据:‎ ‎0. 50‎ ‎0. 40‎ ‎0. 25‎ ‎0. 05‎ ‎0. 025‎ ‎0. 010‎ ‎0. 455‎ ‎0. 708‎ ‎1. 321‎ ‎3. 840‎ ‎5. 024‎ ‎6. 635‎ ‎18.(本小题满分12分)已知数列是等比数列,,是和 的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,点为的中点,平面平面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设点在线段上,且平面,求二面角的大小.‎ ‎20.(本小题满分12分)设(其中为常数且)在处取得极值.‎ ‎(1)当时,求的单调区间; ‎ ‎(2)已知在上的最大值为1,求实数的值 ‎21.(本小题满分12分)已知,是椭圆:上的两点,线段的中点在直线上.‎ ‎(1)当直线的斜率存在时,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设是椭圆的左焦点,若椭圆上存在一点,使,求的值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】‎ 在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),为该曲线上的任意一点.‎ ‎(1)当时,求点的极坐标;‎ ‎(2)将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点,求的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若,,,求证:.‎ ‎ ‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17. 解:(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时, ‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时,‎ 因为1.15小时小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”;‎ ‎(2)由联立表可得,‎ ‎, ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎18.解:(1)设数列的公比为,因为,所以,.‎ 因为是和的等差中项,所以.即,‎ 化简得.‎ 因为公比,所以.所以().‎ ‎(2)因为,所以..‎ 则,①‎ ‎.②‎ ‎①-②得,‎ ‎,所以.‎ ‎19.‎ ‎20. 解:‎‎1‎因为fx=lnx+ax‎2‎+bx所以f'x=‎1‎x+2ax+b,‎ 因为函数fx=lnx+ax‎2‎+bx在x=1‎处取得极值,‎ f'‎1‎=1+2a+b=0‎‎,‎ 当a=1‎时,b=-3‎,f'x=‎‎2x‎2‎-3x+1‎x,‎ f'‎x‎,fx随x的变化情况如下表:‎ x ‎0,‎‎1‎‎2‎ ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎1‎ ‎1,+∞‎ f'‎x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ fx 增 极大值 减 极小值 增 所以fx的单调递增区间为‎0,‎‎1‎‎2‎,‎1,+∞‎,单调递减区间为‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎2‎因为f'x=‎‎2ax-1‎x-1‎x 令f'x=0‎,x‎1‎‎=1‎,‎x‎2‎‎=‎‎1‎‎2a 因为fx在 x=1‎处取得极值,所以x‎2‎‎=‎1‎‎2a≠x‎1‎=1‎,‎ 当‎1‎‎2a‎<0‎时,fx在‎0,1‎上单调递增,在‎1,e上单调递减 所以fx在区间‎0,e上的最大值为f‎1‎,‎ 令f‎1‎=1‎,解得a=-2‎ 当a>0‎,‎x‎2‎‎=‎1‎‎2a>0‎ 当‎1‎‎2a‎<1‎时,fx在‎0,‎‎1‎‎2a上单调递增,‎1‎‎2a‎,1‎上单调递减,‎1,e上单调递增 所以最大值1可能在x=‎‎1‎‎2a或x=e处取得 而f‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a+a‎(‎1‎‎2a)‎‎2‎-‎2a+1‎‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a-‎1‎‎4a<0‎ 所以fe=lne+ae‎2‎-‎2a+1‎e=1‎,解得a=‎‎1‎e-2‎ 当‎1≤‎1‎‎2a
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